高中数学必修5人教新课标a版1.1.2余弦定理教案

1、课题 :112 余弦定理授课类型： 新授课【教学目标】1知识与技能 : 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。2. 过程与方法 : 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。【教学重、难点】重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。【教学过程】 创设情景 C如图 1 1-4 ，在

2、ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b 和C，求边 cbaAcB( 图 1 1-4) 探索研究 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、 B 均未知，所以较难求边 c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。rrAruurruurruurrrr如图 1 1-5 ，设 CBa ， CA b ， ABc ，那么 cab ，则bcr 2rrrrrrcc crababrrrrrrCBa ab b2a bar2r2rrab2a b从而c 2a2b22abcos C(图 1 1-5)同理可证a2b2c22bc cos Ab2a2c22a

3、c cos B于是得到以下定理余弦定理 ：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2b2 c 22bc cos Ab2a2c22cosBac思考： 这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：b2c2a2cosA2bca2c2b2cosB2acb2a2c2cosC2ba 理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系， 余弦定

4、理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中， C=900 ，则 cosC 0 ，这时 c2 a2 b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。【典例分析】例 1在 ABC中，已知 a2 3 ， c62 ， B 600 ，求 b 及 A解： b2 a2c22accosB= (23) 2( 62) 22 23 ( 62) cos 450=12( 62) 243( 31)= 8 b 2 2.求 A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一： cosb2c2a2(2 2) 2 ( 62 )2(2 3) 21A2bc2 2 2(

5、62)2 , A060.解法二： sinA a sinB 23 sin45 0 ,b22又 62 2.4 1.43.8,2 3 2 1.8 3.6, a c ，即 00 A 900 , A 60.0评述：解法二应注意确定A 的取值范围。【变式训练1】在 ABC中，若 (ac)(ac)b(bc) ，则A解： a2c2b2bc,b2c2a2bc ,cos A1 , A 12002例 2在 ABC中，已知 a 134.6cm ， b 87.8cm ， c 161.7cm ，解三角形（见课本第 8 页例 4，可由学生通过阅读进行理解）例 3.例2. 在 ABC 中， BC = a ， AC = b ，

6、且 a ， b 是方程x 223x20 的两根，2cos AB1。（ 1）求角 C 的度数；（ 2）求 AB 的长；（ 3）求 ABC的面积。解： (1)cosCcosAB cos AB1C12002（ 2）因为 a ， b 是方程 x 223x20 的两根，所以ab2 3ab2AB2b2a22ab cos1200ab210AB10ab（ 3） S ABC1 ab sin C322评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。【变式训练2】在 ABC中， A1200 , cb, a21, SVABC3 ，求 b, c

7、 。解： S ABC1bc sin A3, bc4,2a2b2c22bc cos A, bc5 ，而 cb所以 b1,c4【课堂演练】1边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是（）A 90 0B 1200C 1350D 1500解： 设中间角为，则 cos5282721,600 ,180 06001200 为所求答案： B25822.以 4、 5、 6 为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D. 锐角或钝角三角形解：长为6 的边所对角最大，设它为，则答案： A3. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）5B.3C.3D.7A.42

8、818解：设顶角为C，因为 l5c, ab2c ，由余弦定理得：a2b2c24c24c2c27cosC2ab22c2c8答案： DABCb( acb) tan B3ac ，则角 B 的4.在ABC中，角的对边分别为 a、 c ，若22、 、2值为（）A.B.C.6或 5D.或 263633解：由 (a2c22) tan B(a2 +c 2b2 )3 cos B3 cos Bb3ac 得2ac=sin B即 cos B=sin B22sin B=3, 又 B 为 ABC的内角，所以B 为或 2答案： D2335在 ABC中，若 a7, b8,cosC13），则最大角的余弦是（14A1B 1C 1156D 871解： c2a2b22ab cosC 9, c3， B 为最大角， cos B答案： C76.在中，则三角形为（）A.直角三角形B. 锐角三角形C.等腰三角形D. 等边三角形解：由余弦定