2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第二课时 等差数列的性质及简单应用课件 新人教A版必修5

1、第二课时等差数列的性质及简单应用第二课时等差数列的性质及简单应用 目标导航目标导航 课标要求课标要求 1.1.能根据等差数列的定义与通项公式能根据等差数列的定义与通项公式, ,推导出等差数列的推导出等差数列的 重要性质重要性质. . 2.2.能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的 计算问题计算问题. . 3.3.能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题. . 素养达成素养达成 通过对等差数列性质的学习通过对等差数列性质的学习, ,培养学生观察、归纳能力以培养学生观察、归纳能力以 及培养

2、学生直观想象的能力及培养学生直观想象的能力. . 新知导学新知导学 课堂探究课堂探究 等差数列的常见性质等差数列的常见性质 新知导学新知导学素养养成素养养成 (1)(1)对称性对称性:a:a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1 n-1=a =a3 3+a+an-2 n-2=a =am m+ + (nm);(nm); (2)a(2)an n=a=a1 1+(n-1)d=a+(n-1)d=a2 2+(n-2)d=a+(n-2)d=am m+ + ; ; (3)(3)若若m,n,p,qm,n,p,q均为正整数均为正整数, ,则则m+n=p+q=2km+n=p+q=2k ; ; (4)(4

3、)若若m,p,nm,p,n均为正整数且均为正整数且m,p,nm,p,n成等差数列成等差数列, ,则则a am m,a,ap p,a,an n也成等差数列也成等差数列; ; (n-m)d(n-m)d a an-m+1 n-m+1 a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q=2a=2ak k (5)(5)若若aan n,b,bn n 分别是公差为分别是公差为d,dd,d的等差数列的等差数列, ,则有则有 数列数列结论结论 c+ac+an n 公差为公差为 的等差数列的等差数列(c(c为任一常数为任一常数) ) cca an n 公差为公差为 的等差数列的等差数列(c(c为任一常数为任一

4、常数) ) aan n+a+an+k n+k 公差为公差为 的等差数列的等差数列(k(k为常数为常数,k,kN N* *) ) papan n+qb+qbn n 公差为公差为 的等差数列的等差数列(p,q(p,q为常数为常数) ) d d cdcd 2d2d pd+qdpd+qd 思考思考: :等差数列的公差等差数列的公差d d与等差数列单调性有何关系与等差数列单调性有何关系? ? 答案答案: :公差公差d d与等差数列单调性的关系与等差数列单调性的关系: : 当当d0d0时时,a,an n 是递增数列是递增数列; ; 当当d0d1n1时时,a,a2n 2n-a -a2(n-1) 2(n-1)

5、=4n-4(n-1)=4. =4n-4(n-1)=4. 所以所以bbn n 是以是以4 4为首项为首项,4,4为公差的等差数列为公差的等差数列. . 所以所以b bn n=b=b1 1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.+(n-1)d=4+4(n-1)=4n. 备用例备用例11(1)(1)已知两个等差数列已知两个等差数列5,8,11,5,8,11,和和3,7,11,3,7,11,都有都有100100项项, ,则这则这 两个数列中有多少个相同的项两个数列中有多少个相同的项? ? 又因为又因为ttN N* *, , 所以所以1t25,1t25,且且ttN N* *. . 所以这两个数列中共有所

6、以这两个数列中共有2525个相同的项个相同的项. . 法二法二设由两数列的公共项组成的新数列为设由两数列的公共项组成的新数列为ccn n,则则ccn n 是首项为是首项为1111 的等差数列的等差数列, ,而这两个数列的公差分别为而这两个数列的公差分别为3 3和和4,4,则则ccn n 的公差为的公差为 d=3d=34=12.4=12. 所以所以c cn n=11+12(n-1)=12n-1.=11+12(n-1)=12n-1. 数列数列5,8,11,5,8,11,与与3,7,11,3,7,11,的第的第100100项分别为项分别为302302与与399,399, 所以所以c cn n302,

7、302,即即n25.25,n25.25,又又nnN N* *, , 所以原来的两个数列有所以原来的两个数列有2525个相同的项个相同的项. . 如果如果a a1 1+a+a3 3+a+a25 25=130,a =130,a2 2+a+a4 4+a+a26 26=117, =117,试求数列试求数列aan n 的公差的公差d d及通及通 项公式项公式. . 解解: :因为因为a a1 1+a+a3 3+ +a+a25 25=130,a =130,a2 2+a+a4 4+ +a+a26 26=117, =117, 所以两式相减得所以两式相减得13d=-13,13d=-13,所以所以d=-1.d=-

8、1. 因为因为a a1 1+a+a3 3+ +a+a25 25=130, =130, 所以所以13a13a13 13=130 =130a a13 13=10 =10a a1 1+12d=a+12d=a1 1-12=10,-12=10, 所以所以a a1 1=22,=22, 所以所以a an n=22+(n-1)=22+(n-1)(-1)=23-n.(-1)=23-n. 题型三等差数列的实际应用题型三等差数列的实际应用 例例33有一批影碟机原销售价为每台有一批影碟机原销售价为每台800800元元, ,在甲、乙两家商场均有销售在甲、乙两家商场均有销售. . 甲商场用如下方法促销甲商场用如下方法促销

9、: :买一台单价为买一台单价为780780元元, ,买两台单价为买两台单价为760760元元, ,依此依此 类推类推, ,每多买一台则所买各台单价均减少每多买一台则所买各台单价均减少2020元元, ,但每台最少不低于但每台最少不低于440440元元; ; 乙商场一律都按原价的乙商场一律都按原价的75%75%销售销售. .某单位需购买一批此类影碟机某单位需购买一批此类影碟机, ,问去哪问去哪 一家商场购买花费较少一家商场购买花费较少? ? 解解: :设某单位需购买影碟机设某单位需购买影碟机n n台台, ,在甲商场购买每台售价不低于在甲商场购买每台售价不低于440440元时元时, , 售价依台数成

10、等差数列售价依台数成等差数列aan n,则则a an n=780+(n-1)(-20)=800-20n,=780+(n-1)(-20)=800-20n, 解不等式解不等式a an n440,800-20n440,440,800-20n440,得得n18.n18. 当购买台数小于当购买台数小于1818时时, ,每台售价为每台售价为(800-20n)(800-20n)元元, , 在台数大于或等于在台数大于或等于1818时时, ,每台售价每台售价440440元元. . 到乙商场购买到乙商场购买, ,每台售价为每台售价为80080075%=600(75%=600(元元).). 又又(800-20n)n

11、-600n=20n(10-n),(800-20n)n-600n=20n(10-n),所以所以, ,当当n10n10时时,600n(800-20n)n;,600n(800-20n)n; 当当n=10n=10时时,600n=(800-20n)n;,600n=(800-20n)n;当当10n1810n18时时,(800-20n)n600n;,(800-20n)n600n; 当当n18n18时时,440n600n.,440n600n. 所以当购买台数少于所以当购买台数少于1010台时台时, ,到乙商场购买花费较少到乙商场购买花费较少; ;当购买当购买1010台时台时, , 到两商场购买花费相同到两商场

12、购买花费相同; ;当购买多于当购买多于1010台时台时, ,到甲商场购买花费较少到甲商场购买花费较少. . 方法技巧方法技巧 (1)(1)在实际问题中在实际问题中, ,若涉及一组与顺序有关的数的问题若涉及一组与顺序有关的数的问题, ,可考虑利用数可考虑利用数 列方法解决列方法解决, ,若这组数依次呈直线上升或递减若这组数依次呈直线上升或递减, ,则可考虑利用等差数则可考虑利用等差数 列方法解决列方法解决. . (2)(2)在利用数列方法解决实际问题时在利用数列方法解决实际问题时, ,一定要分清首项、项数等关键一定要分清首项、项数等关键 问题问题. . 即时训练即时训练3 3- -1:1:某公司

13、经销一种数码产品某公司经销一种数码产品, ,第第1 1年可获利年可获利200200万元万元. .从第从第2 2年起年起, , 由于市场竞争等方面的原因由于市场竞争等方面的原因, ,其利润每年比上一年减少其利润每年比上一年减少2020万元万元, ,按照这一按照这一 规律规律, ,如果公司不开发新产品如果公司不开发新产品, ,也不调整经营策略也不调整经营策略, ,从哪一年起从哪一年起, ,该公司经该公司经 销这一产品将亏损销这一产品将亏损? ? 解解: :由题设可知第由题设可知第1 1年获利年获利200200万元万元, ,第第2 2年获利年获利180180万元万元, ,第第3 3年获利年获利160

14、160万万 元元, , ,每年获利构成等差数列每年获利构成等差数列aan n,且当且当a an n00时时, ,该公司会出现亏损该公司会出现亏损. . 设从第设从第1 1年起年起, ,第第n n年的利润为年的利润为a an n, ,则则a a1 1=200,a=200,an n-a-an-1 n-1=-20,n2,n =-20,n2,nN N* *. . 所以每年的利润所以每年的利润a an n可构成一个等差数列可构成一个等差数列aan n,且公差且公差d=-20.d=-20.从而从而a an n=a=a1 1+ + (n-1)d=220-20n.(n-1)d=220-20n. 若若a an

15、n0,0,则该公司经销这一产品将亏损则该公司经销这一产品将亏损, ,所以由所以由a an n=220-20n0,=220-20n11,n11,即从第即从第1212年起年起, ,该公司经销此产品将亏损该公司经销此产品将亏损. . 备用例备用例22(2019(2019山东菏泽高二检测山东菏泽高二检测) )我国北方某地区为了防止沙漠流动我国北方某地区为了防止沙漠流动, , 缓解沙尘暴的侵蚀缓解沙尘暴的侵蚀, ,决定建立若干条防沙林带决定建立若干条防沙林带, ,其中最前面一条长其中最前面一条长133 km,133 km, 最后面一条长最后面一条长293 km,293 km,各条的长度成等差数列且公差为

16、各条的长度成等差数列且公差为40 km.40 km.试求该防试求该防 沙林带的条数沙林带的条数. . 解解: :用用aan n 表示防沙林带从前至后各条的长度所成的等差数列表示防沙林带从前至后各条的长度所成的等差数列, , 由已知条件由已知条件, ,有有a a1 1=133,a=133,an n=293,d=40.=293,d=40. 由通项公式由通项公式, ,得得293=133+(n-1)293=133+(n-1)40,40,解得解得n=5.n=5. 答答: :该防沙林带一共有该防沙林带一共有5 5条条. . 题型四易错辨析题型四易错辨析应用等差数列性质的易错点应用等差数列性质的易错点 例例

17、44等差数列等差数列aan n 中中, ,已知已知a a3 3=2,a=2,a6 6=5,=5,求求a a9 9. . 错解错解: :因为因为3+6=9,3+6=9,所以所以a a9 9=a=a3 3+a+a6 6=2+5=7.=2+5=7. 纠错纠错: :(1)(1)使用性质使用性质“若若m+n=p+q,m+n=p+q,则则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q”时时, ,一定注意结论中等一定注意结论中等 式两边项数相同式两边项数相同. . (2)(2)性质性质a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q中必须是两项相加等于两项相加中必须是两项相加等于两项相加, ,

18、并不是下标和相并不是下标和相 等即相等等即相等. . 正解正解: :a a3 3,a,a6 6,a,a9 9构成一个新的等差数列构成一个新的等差数列, ,其中其中a a3 3是第一项是第一项,a,a6 6是第是第2 2项项,a,a9 9 是第是第3 3项项, ,故故2a2a6 6=a=a3 3+a+a9 9, ,所以所以a a9 9=2a=2a6 6-a-a3 3=8.=8. 学霸经验分享区学霸经验分享区 弄清等差数列性质弄清等差数列性质a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q=2a=2ak k(m+n=p+q=2k)(m+n=p+q=2k)源于等差数列的定源于等差数列的定 义义

19、, ,注意两项和一定等于两项和或等于某一项注意两项和一定等于两项和或等于某一项2 2倍倍. .切忌两项和等于某切忌两项和等于某 一项一项, ,也可变化为也可变化为a am m+a+an n+a+ap p=a=aq q+a+as s+a+at t=3a=3ak k( (其中其中m+n+p=q+s+t=3k)m+n+p=q+s+t=3k)等等. . 课堂达标课堂达标 解析解析: :由等差数列性质知由等差数列性质知,a,a4 4+a+a5 5=a=a7 7+a+a2 2, ,所以所以a a2 2=(a=(a4 4+a+a5 5)-a)-a7 7=3.=3.故选故选A.A. A A 2.2.(2019

20、(2019山东济南期中检测山东济南期中检测) )已知等差数列已知等差数列aan n 的公差为的公差为d(d0),d(d0),且且a a3 3+ + a a6 6+a+a10 10+a +a13 13=32, =32,若若a am m=8,=8,则则m m等于等于( ( ) ) (A)8(A)8(B)4(B)4(C)6(C)6(D)12(D)12 A A 解析解析: :因为因为a a3 3+a+a6 6+a+a10 10+a +a13 13=4a =4a8 8=32,=32,所以所以a a8 8=8,=8,即即m=8.m=8.故选故选A.A. 3.3.若若aan n 是等差数列是等差数列, ,且

21、且a a1 1+a+a4 4+a+a7 7=45,a=45,a2 2+a+a5 5+a+a8 8=39,=39,则则a a3 3+a+a6 6+a+a9 9等于等于( ( ) ) (A)39 (A)39 (B)20(B)20 (C)19.5 (C)19.5 (D)33(D)33 D D 解析解析: :因为因为a a1 1+a+a4 4+a+a7 7=3a=3a4 4=45,=45,所以所以a a4 4=15.=15.因为因为a a2 2+a+a5 5+a+a8 8=3a=3a5 5=39,=39,所以所以 a a5 5=13,=13,所以所以d=ad=a5 5-a-a4 4=-2,=-2,所以所以a a6 6=a=a5 5+d=11,+d=11,所以所以a a3 3+a+a6 6+a+a9 9=3a=3a6 6=3=311=33,11=33, 故选故选D.D.