127离心率的五种求法

1、离心率的五种求法椭圆的离心率0l,抛物线的离心率e = .一、直接求出c,求解 已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式丘=来解决。a2例1：已知双曲线二一 y2=i（ 0）的一条准线与抛物线y2 =-6x的准线重合，则该双曲线的离心CT率为（）A. 11B. -C.总D.22232221 a解：抛物线y2 = -6X的准线是即双曲线的右准线x = - = - = -9则2川一3。一2 = 0,2c c 2解得c = 2, a = yl3, = - = ,故选 Da 3变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为片（1Q）、厲（3,0），则其离心率为（3 21A. B. C. D.4 3

2、2解：由 F （1,0）x fjGO）知 2c = 3 1, c = 1,又椭圆过原点，.“一c = l, c 1C = l,所以离心率e = = 故选C.a 2变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为（）变式练习3：点P （-3, 1）在椭圆*+ y = l（Gb0）的左准线上，过点P且方向为7 = （2,5）的光线，经直线y = -2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A逅BlC返 D丄3322解：由題意知，入射光线为y 1 = （兀+ 3）,关于），= 2的反射光线（对称关系）为5x-2y + 5=0, 2则0.b 0）的两焦点，以线段斥人为边作正

3、三角形MF”, cr lr若边MF】的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. 4 + 23 B. V3-1 C. 空上！ D. 循+12解：如图，设MF】的中点为P，则P的横坐标为一彳，由焦半径公式PF=-exp-a,-2 = 0，解得s得2” c即 c = Xac = = + y3(1 舍去)，故选 D变式练习1：设双曲线r r = l（ 0ab的半焦距为c,直线厶过仏0）,（0）两点已知原点 cr Zr斤到克线的距禱为c,则双曲线的离心率为（）4A. 2B. y/3C. y2D.2V3解：由映直线如程为加+,由点到直线的距离公式，得岛 4又c2 =a2+b29 :. 4ab = y/3

4、c2 9 两边平方，得6a2(c2 -a2)=3c 整理得3e4-16e2+16 = 0 ,r4得/=4 或 e= .又 0 a 2 , /. e2 = 4 9 .e = 2.故选 A cr变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为斤、F-=120,则双曲线的离心率为（）V6T解：如图所示，不妨设M（0）,巧（c,0）,F2(g0),则MF = MF2 = Jc2+b2 9 又FF = 2c.在M；MF，中，由余弦定理，得cosZFM只“可计一中厲1 2|M百坷讣宀4拾戶b2-c2 _1/r+c2 2专业WORD.*.* b2 = c2 a2, /.上 =3（/2 = 2c2, e2 =

5、 , /. e =-, 故选 B2c2-a2222三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为峙、竹，过竹作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若厶FPF2为等腰直角 三角形，则椭圆的离心率是。_c 2c2c2c1r- t解.e = = = = = U 2 2 PF + PF2 2、反+ 2c J2 + 1四、根据圆锥曲线的统一定义求解2 2例4：设椭圆二一二=1 （。0上0）的右焦点为仟，右准线为厶，若过仟cr b且垂直于x轴的弦的长等于点仟到厶的距离，则椭圆的离心率是解：如图所示，A3是过仟且垂直于X轴的弦，V AD丄厶于为仟到准线厶的距离，根据椭 圆的第二定义， =饵=单聲

6、=2AD AD 2变式练习：在绐定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为血，焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的 离心率为（）A V2B 逼2张AE12五、构建关于e的不等式，求的取值围例5：设&日0,，则二次曲线x2cot6-y2 tan/9 = 1的离心率的取值围为（）（兀、-B.D. （2,+oo）C.0e 0.-41A.-2另：由 x2 cot- y2 tan & = 1 ,c2 =a2 +b2 =tan& + cot&t/ =- aV6e 0,- L cot?&1 /2, ：.ey2 9 故选 D4 J专业WORD.例6：如图，已知梯形ABCD中，|AB| = 2|cq，点E分有向线段花

7、所成的比为几，双曲线过C、D.2 3E三点，且以A. 3为焦点当一S/IS二时，求双曲线离心率a的取值围。3 4解：以AB的垂直平分线为y轴，直线A3为x轴，建立如图所示的直角坐标系q討氓儿)xoy,则CD丄y轴因为双曲线经过点C、D,且以A. B为焦点，由双曲线的对称性知D关于y轴对称.依题意，记A(-gO), 其中c = A为双曲线的半焦距，是梯形的高.由定比分点坐标公式得心=卜,儿1 + 2c, “2Y 22乖书，zo-.设双曲线的方程为庐-庐=1,则离cC2/?2心率 = _,由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得 r = 1 a4cr Zr将点E的坐标代入双曲线方程

8、得上仝二？| -1 1 =1402(1 + 2丿 b2 + A)Ce2 h2h2e2再将e =、得一 =L = 一1a4 yir4V-2、24 1 + A ylr 11 +兄丿将式代入式，整理得宁(4亠)十2是，由题设彳“弓得:-1-3e2+2解得7 oe 0）的离心率为 馅，且它的一条准线与抛物线V2 = 4X的准线重（C 合，则此双曲线的方程为（）A- i2_ir=1 B- i_%=1c.J2. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）1A.-31C.222A3. 已知双曲线二一二=1的一条渐近线方程为y = x,cr3则双曲线的离心率为（4.在绐定椭圆中，过焦点且垂直于长轴

9、的弦长为迈，焦点到相应准线的距离为1.则该椭圆的离心率为5-在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为屈焦点到相应准线的距离为芥则该双曲线的离心率为（）6. 如图，人和&分别是双曲线右一右=1 CaO.h 0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|O可为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且厶F.AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）D V3+17.设匚耳分别是椭吟+升心沁。）的左、右焦点,P是其右准线上纵坐标为辰（c为半焦距）的点，且|fF2| = |/sP|,则椭圆的离心率是（）cd2专业WORD.&设仟、笃分别是双曲线缶一討=1的左、右焦点，若双曲线上存在点A,使ZF.AF, =90,且卜斤

10、|=3卜耳则双曲线离心率为（）B迥C逅 D亦2 2 2，v29.已知双曲线=一亍=1 （。000）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的 cr lr右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值围是（）A 1,2B （1,2）C 2,+oo）D（2,*o）2 210 椭圆二+二=1 （/?0）的焦点、为F、F-两条准线与x轴的交点分别为M、N、若|mn|s2|片用，则该椭圆离心率的取值围是（）AB.C討D.专业WORD.答案：1由- = x/3,= 1 可得a = g = gc = 3.故选 Dac2. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，a = 2b,椭圆的离心率e = =当，选D。

11、a 23. 双曲线焦点在x轴，由渐近线方程可得- =-故选Aa 3a 334. 不妨设椭圆方程为4 + 4 = 1 (小方0),则有匹 =VIM -c = l,据此求出e=cr lrac25.不妨设双曲线方程为二一二=cr ZrC f 22 -=1 (日 0, A0),则有 T- = VlBc-=-,据此解得 e=V2 选 Cac 2x r6 解析：如图，仟和化分别是双曲线=一 r = l(aAOAO)的两个焦点，A和B是以。为圆心，以 a ZrO川为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB是等边三角形，连接AF ZARF1=30 , : AF,|=c,!AF2| = /3c, A 2a = (苗一 1)c,双曲线的离心率为1+ J5,选D。7. 由已知 p (乞,JJc ),所以2c = J(-c)2+(V3c)2 化简得a2-2c2 =0e = - = cv ca 22 28设九F?分别是双曲线二一厶 = 1的左、右焦点。若双曲线上存在点儿使ZFiAFHO?.且i AFt I =3 ARL cr b，设 |AFJ 二 1, AF, | =3,双曲线中 2a =1 AF-AF21=2 , 2c = AFx 2 +AF212 =710, 漓心率9双曲线二一二= i(d0