高中数学论文：在解题反思中培养学生能力

1、在解题反思中培养学生能力摘要：解题后学会积极反思，解题过程的合理性、严谨性和正确性是否完善？有无最快捷的解法？能否对问题进行总结深入并作出新的判断，探究新的变题，培养学生的创新思维。关键词：反思、总结、提高创新思维能力纵观这几年的浙江高考试卷中的一些题目，能力要求高、内在知识联系密切、思维方法灵活，稳中求变。这正体现了教师在教学中要注重知识的形成过程，关注学生获取知识的过程，不断地培养学生创新精神和实践能力。由于学生普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节,也不善于纠正和找出自己的错误，缺乏解题后对解题方法的概括。一道数学题在解出答案后，必须认真进行如下探索：解题过程的合理性、严谨性和正确性是否完善

2、？有无最快捷的解法？通过解题后改进解题过程、探讨知识联系、知识整合、探究规律等一系列思维活动，让学生的思维在解题后有一个总结和探究发展。下面就解题后如何反思提出我的几点观点。（一）使学生学会积极反思，确保解题过程的合理性、严谨性和正确性学生在解数学题时，有时由于审题不正确，忽视条件，考虑不周或计算出错，难免产生错误。所以解题后，必须对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性、严谨性和合理性进行验证。解完一道题后，应作进一步的思考：题目中所有的条件都用过了吗？题目所要求的问题解决了吗？解题中所引用的知识是否是书中已证过的结论？可是一些同学把完成作业当成是赶任务，解完题目心满意足，由此产生大量谬误，

3、应该引起重视。例1. 已知，且，求的值。错解：， 由，则所以。反思：这是一类典型的错误，主要原因是忽视了范围条件的挖掘与使用。事实上，由 知；，知，故，应取。（二）使学生学会在解题中探求一题多解和多题一解，提高综合解题能力解题后要多角度思考，看是否还有其他解法，通过寻找新的方法，可以开拓思路，防止思维定势，及时总结出各类解题技巧，并养成“从优、从快”的解题方式。例2：已知，且，求x的最小值。法一：均值不等式法此题答案有误。因为，式的等号不能同时成立，所以式等号不能取。但事实上推导过程无误，只不过扩大了的范围。此种推导在选择题时，其选择项若是6，8，12，16，当可排除6，8，12得16。此法作

4、为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少。法二：构造x+y不等式法变式：已知x+xy+4y=5 （x,yr）求xy取值范围法三：换元后构造均值不等式法法四：判别式法注意实根分布情况讨论。类似地，如2x+y=6,求的范围也可用判别式法。法五：三角代换法变：0x0,b0，则的最小值以上所涉及到的方法都是学生应掌握的。通过一道例题讲解即可复习多种方法。（三）使学生学会重视探究问题所含知识的系统性，挖掘“题形异，质相同”题型解题之后，要不断地探究问题的知识结构和系统性。数学问题是形式多样的，有些题的形式虽然不一样，但可归结到一种题型上去，通过这一道题的解决，达到会解一类题，所以解题后要反思题目

5、实质，并进行归类，总结通解通法。把问题所蕴含孤立的知识“点”，扩展到系统的知识“面”，形成认知结构中知识的系统性。例3将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？例4集合a有5个元素，集合b有三个元素，共能构成多少个不同的函数，使得集合b刚好是函数的值域？两个问题从表面上看是完全不同的知识范畴的题型，但深入研究它们本质上都属于“5封信投入三个信箱”的问题。所以要重视挖掘“题型异，质相同”题型。（四）使学生学会提高辨别能力，防止错解，挖掘“题相似，质不同”题型有些数学问题具有一定的迷惑性，如果概念不清，见识不广，就容易混淆，错误地将不同问题混为一谈了。所以通过反思形相似，但质不同

6、的题目，能够提高辨别能力，避免错解的发生，这是一种总结性的反思。例5. 对不等式，分别求满足下列条件的实数a的取值范围；（1）不等式的解集为；（2）不等式在上有解；（3）不等式在上恒成立；（4）不等式的解集是的子集。分析：由当时，无解，原不等式解集为空集；当时，原不等式解集为则（1）必须且只须时，故；（2）必须且只须，则时均适合，即；（3）必须且只须，且且，则，即；（4）应有时，此时或为空集），故注：上述四个小题常容易混淆，通过反思各种解决方法的不同，弄清了四个不同的概念及相应的解题方案。（五）使学生学会提高反思后的整合知识及创新设问能力要让学生明白，问题与问题之间不是孤立的，许多表面上看似无

7、关的问题却有着內在的联系，解题不能就题论题，要寻找问题与问题之间本质的联系，要质疑为什么有这样的问题？他和哪些问题有联系？能否受这个问题的启发，将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合，创造性地设问？改变题目的条件，会导出什么新结论？保留题目的条件结论能否进一步加强？条件作类似的变换，结论能扩大到一般等等。象这样富有创造性的全方位思考，常常是学生发现新知识、认识新知识的突破口。例6：点p在圆上运动，求定点a（0，2）到动点p的距离|ap|的最大值。分析： 这是一道简单题，学生很容易得出|ap|的最大值。但应进一步扩展学生的思维，考虑此题可能有的变式问题。变题1：将求|ap|的最大值改为求|ap|的最小值。 变题2：将圆改为双曲线，结论改为求|ap|的最小值。 变题3：将圆改为抛物线，结论改为求|ap|的最小值。 变题4：已知点p在圆上运动，定点a（0，a）（a0），求|ap|的最大值。 变题5：动点q在圆上运动，动点p在圆上运动，求|pq|的最大值。（将圆方程化为，则圆心a（0，2），问题就转化为原题了） 通过这种反思让学生掌握一类题型的解法，可以达到事倍功半的效果。总之，解题后引导学生不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，让学生体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感。常此以往，逐步养成学生独立思考