2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性 第一课时 函数奇偶性的定义与判定课件 新人教A版必修1

1、1.3.21.3.2奇偶性奇偶性 第一课时函数奇偶性的定义与判定第一课时函数奇偶性的定义与判定 目标导航目标导航 课标要求课标要求 1.1.结合具体函数结合具体函数, ,了解函数奇偶性的含义了解函数奇偶性的含义. . 2.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. . 3.3.掌握判断函数奇偶性的方法掌握判断函数奇偶性的方法. . 素养达成素养达成 1.1.通过运用符号表示函数的奇偶性的过程培养数通过运用符号表示函数的奇偶性的过程培养数 学抽象的核心素养学抽象的核心素养. . 2.2.通过函数的奇偶性的证明过程培养逻辑推理的通过函数的奇偶性的证明过程培养

2、逻辑推理的 核心素养核心素养. . 3.3.通过奇偶函数的图象性质培养直观想象的核心通过奇偶函数的图象性质培养直观想象的核心 素养素养. . 新知导学新知导学素养养成素养养成 1.1.奇函数、偶函数的定义奇函数、偶函数的定义 (1)(1)偶函数偶函数: :一般地一般地, ,如果对于函数如果对于函数f(x)f(x)的定义域内的定义域内 一个一个x,x,都都 有有 , ,那么函数那么函数f(x)f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数. . (2)(2)奇函数奇函数: :一般地一般地, ,如果对于函数如果对于函数f(x)f(x)的定义域内的定义域内 一个一个x,x,都都 有有 , ,那么函数那么函数f(x

3、)f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数. . 任意任意 f(-x)=f(x) f(-x)=f(x) 任意任意 f(-x)=-f(x) f(-x)=-f(x) 思考思考1 1: :若函数具有奇偶性则它的定义域有何特点若函数具有奇偶性则它的定义域有何特点? ? 答案答案: :定义域关于原点对称定义域关于原点对称. . 思考思考2:2:对于一个函数来说对于一个函数来说, ,它的奇偶性有哪些可能它的奇偶性有哪些可能? ? 答案答案: :对于一个函数来说对于一个函数来说, ,它的奇偶性有四种可能它的奇偶性有四种可能: :是奇函数但不是偶函是奇函数但不是偶函 数数; ;是偶函数但不是奇函数是偶函数但不是奇函数

4、; ;既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数; ;既不是奇函数也不既不是奇函数也不 是偶函数是偶函数. . 2.2.奇、偶函数的图象特征奇、偶函数的图象特征 若函数若函数y=f(x)y=f(x)是偶函数是偶函数, ,那么它的图象关于那么它的图象关于 对称对称; ; 若函数若函数y=f(x)y=f(x)是奇函数是奇函数, ,那么它的图象关于那么它的图象关于 对称对称. . 思考思考3 3: :从函数图象看从函数图象看, ,奇、偶函数在对称区间上单调性是否一致奇、偶函数在对称区间上单调性是否一致? ? 答案答案: :奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致,

5、,偶函数在关于原点对偶函数在关于原点对 称的区间内单调性相反称的区间内单调性相反. . 思考思考4 4: :若函数若函数y=f(x)y=f(x)是奇函数是奇函数, ,且点且点(a,f(a)(a,f(a)是是y=f(x)y=f(x)图象上一点图象上一点, ,点点(-(- a,-f(a)a,-f(a)是否在函数图象上是否在函数图象上? ? 答案答案: :由由f(-a)=-f(a)f(-a)=-f(a)知点知点(-a,-f(a)(-a,-f(a)一定在函数一定在函数y=f(x)y=f(x)图象上图象上. . y y轴轴 原点原点 名师点津名师点津 (2)(2)若一个函数是奇函数且在若一个函数是奇函数

6、且在x=0 x=0处有定义处有定义, ,则有则有f(0)=0.f(0)=0. (3)(3)设非零函数设非零函数f(x),g(x)f(x),g(x)的定义域分别是的定义域分别是F,G,F,G,若若F=G,F=G,则奇、偶函数则奇、偶函数 的运算性质及复合函数的奇偶性如下表所示的运算性质及复合函数的奇偶性如下表所示: : f(x)f(x)g(x)g(x) f(x)+f(x)+ g(x)g(x) f(x)-f(x)- g(x)g(x) f(x)f(x) g(x)g(x) fg(x)fg(x) 偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数 偶函数偶函数奇函数奇函数 不能确定

7、不能确定 奇偶性奇偶性 奇函数奇函数偶函数偶函数 奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数偶函数偶函数 奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数 注意注意: :上述表格中不考虑上述表格中不考虑f(x)f(x)g(x)=0;fg(x)g(x)=0;fg(x)中中, ,需需xG,g(x)F.xG,g(x)F. (4)(4)常见的函数常见的函数( (一次、二次、反比例函数一次、二次、反比例函数) )奇偶性如下表所示奇偶性如下表所示: : 课堂探究课堂探究素养提升素养提升 题型一函数奇偶性的判定题型一函数奇偶性的判定 例例1 1 (12(12分分) )判断下列函数的奇偶性判

8、断下列函数的奇偶性: : (1)f(x)=x(1)f(x)=x3 3+x;+x; 规范解答规范解答: :(1)(1)函数的定义域为函数的定义域为R R, ,关于原点对称关于原点对称. . 1 1分分 又又f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)3 3+(-x)=-(x+(-x)=-(x3 3+x)=-f(x), +x)=-f(x), 2 2分分 因此函数因此函数f(x)f(x)是奇函数是奇函数. . 3 3分分 (3)(3)函数函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是(-,-1)(-1,+), (-,-1)(-1,+), 7 7分分 不关于原点对称不关于原点对称, ,所以所以f(x)f(x)既

9、不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数. .8 8分分 方法技巧方法技巧 根据函数解析式判断函数奇偶性的方法根据函数解析式判断函数奇偶性的方法 (1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的定义域的定义域; ; (2)(2)判断函数判断函数f(x)f(x)的定义域是否关于原点对称的定义域是否关于原点对称, ,若不关于原点对称若不关于原点对称, ,则则 该函数既不是奇函数该函数既不是奇函数, ,也不是偶函数也不是偶函数, ,若关于原点对称若关于原点对称, ,则进行下一步则进行下一步; ; (3)(3)结合函数结合函数f(x)f(x)的定义域的定义域, ,化简函数化简函数f(x)f(x)的解析

10、式的解析式; ; (4)(4)求求f(-x);f(-x); (5)(5)根据根据f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)之间的关系之间的关系, ,判断函数判断函数f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性; ;奇函数、奇函数、 偶函数偶函数, ,既奇又偶函数既奇又偶函数, ,非奇非偶函数非奇非偶函数; ;其中既奇又偶函数的表达式是其中既奇又偶函数的表达式是 f(x)=0,xA,Af(x)=0,xA,A是关于原点对称的非空数集是关于原点对称的非空数集. . 解解: :函数函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是(-,0)(0,+),(-,0)(0,+),关于原点对称关于原点对称. . 当当x0 x0时时,

11、-x0,-x0, 则则f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)3 3+3(-x)+3(-x)2 2-1=-x-1=-x3 3+3x+3x2 2-1=-(x-1=-(x3 3-3x-3x2 2+1)=-f(x).+1)=-f(x). 当当x0 x0,-x0, 则则f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)3 3-3(-x)-3(-x)2 2+1=-x+1=-x3 3-3x-3x2 2+1=-(x+1=-(x3 3+3x+3x2 2-1)=-f(x).-1)=-f(x). 由知由知, ,当当x(-,0)(0,+)x(-,0)(0,+)时时, , 有有f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所

12、以所以f(x)f(x)为奇函数为奇函数. . 备用例备用例1 1 判断函数判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|(af(x)=|x+a|-|x-a|(aR R) )的奇偶性的奇偶性. . 解解: :函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(-,+),(-,+),关于原点对称关于原点对称. . 当当a=0a=0时时,f(x)=|x+a|-|x-a|=0,f(x)=|x+a|-|x-a|=0,函数既是奇函数又是偶函数函数既是奇函数又是偶函数. . 当当a0a0时时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x).,f(-x)=|-x+

13、a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x). 此时函数为奇函数此时函数为奇函数. . 综上可知综上可知, ,当当a=0a=0时时, ,函数既是奇函数又是偶函数函数既是奇函数又是偶函数, ,当当a0a0时时, ,函数是函数是 奇函数奇函数. . 题型二函数奇偶性的图象特征题型二函数奇偶性的图象特征 例例2 2 (1)(1)如图是奇函数如图是奇函数y=f(x)y=f(x)在在x0 xf(5).f(3)f(5). 法二法二由函数的图象可知由函数的图象可知, ,函数函数y=f(x)y=f(x)在在-5,-3-5,-3上是减函数上是减函数, ,由奇函由奇函 数图

14、象的性质可知数图象的性质可知, ,函数函数y=f(x)y=f(x)在在3,53,5上是减函数上是减函数, ,故故f(3)f(5).f(3)f(5). (2)(2)如图是偶函数如图是偶函数y=g(x)y=g(x)在在x0 x0部分的图象部分的图象. . 试根据图象写出不等式试根据图象写出不等式f(x)0f(x)0的解集的解集. . 解解: :(2)(2)根据偶函数根据偶函数y=g(x)y=g(x)的图象关于的图象关于y y轴对称的性质轴对称的性质, ,作出函数作出函数 y=g(x)y=g(x)在在(-,0)(-,0)上的图象如图所示上的图象如图所示. .由图象可知由图象可知,f(x)0,f(x)

15、0的解集的解集 为为(-,-2)(2,+).(-,-2)(2,+). 方法技巧方法技巧 求解与奇偶函数有关的图象问题求解与奇偶函数有关的图象问题, ,常借助奇偶函数图象的对称性常借助奇偶函数图象的对称性, ,根根 据已知的函数部分图象作出函数的另一部分图象据已知的函数部分图象作出函数的另一部分图象, ,根据图象直观研根据图象直观研 究函数性质究函数性质. . 即时训练即时训练2 2- -1:1:(1)(1)已知奇函数已知奇函数f(x)f(x)在区间在区间1,61,6上是增函数上是增函数, ,且最大值且最大值 为为10,10,最小值为最小值为4,4,则在区间则在区间-6,-1-6,-1上上 f(

16、x) f(x) 的最大值、最小值分别是的最大值、最小值分别是 ( () ) (A)-4,-10(A)-4,-10(B)4,-10(B)4,-10 (C)10,4 (C)10,4 (D)(D)不确定不确定 解析解析: :(1)(1)依题意依题意, ,作出函数作出函数y=f(x)y=f(x)在在-6,-1-6,-1和和1,61,6上的图象上的图象( (草图草图),),如如 图所示图所示, ,易知函数易知函数y=f(x)y=f(x)在在-6,-1-6,-1上的最小值为上的最小值为f(-6)=-f(6)=-10,f(-6)=-f(6)=-10,最大最大 值为值为f(-1)=-f(1)=-4.f(-1)

17、=-f(1)=-4.因此选因此选A.A. 答案答案: :(1)A(1)A (2)(2)已知偶函数已知偶函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为-6,6,-6,6,当当x0,6x0,6时时,f(x),f(x)的图象如的图象如 图所示图所示, ,不等式不等式f(x)0f(x)0的解集用区间表示为的解集用区间表示为. . 解析解析: :(2)(2)作出作出y=f(x)y=f(x)在在-6,0-6,0上的图象上的图象, ,如图所示如图所示, ,由图可知由图可知,f(x)0,f(x)0 的解集是的解集是-3,3.-3,3. 答案答案: :(2)-3,3(2)-3,3 备用例备用例22 (1)(1)设函数

18、设函数f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,且在且在(0,+)(0,+)内是增函数内是增函数, ,又又f(-3)=0,f(-3)=0, 则则f(x)0f(x)0的解集是的解集是( () ) (A)x|-3x0(A)x|-3x3x3 (B)x|x-3(B)x|x-3或或0 x30 x3 (C)x|x-3(C)x|x3x3 (D)x|-3x0(D)x|-3x0或或0 x30 x3 解析解析: :(1)(1)依题意依题意, ,作出函数作出函数y=f(x)y=f(x)在在(-,0)(-,0)和和(0,+)(0,+)上的示意图如图上的示意图如图 所示所示, ,由图易知由图易知f(x)0f(x)0)P(-

19、x,-f(x)(x0)关于关于 原点的对称点为原点的对称点为P(x,f(x),P(x,f(x),如图为补充后的图象如图为补充后的图象, ,易知易知f(3)=-2.f(3)=-2. (3)(3)如图如图, ,给出偶函数给出偶函数y=f(x)y=f(x)的局部图象的局部图象, ,比较比较f(1)f(1)与与f(3)f(3)的大小的大小, ,并作出并作出 它位于它位于y y轴右侧的图象轴右侧的图象. . 解析解析: :(3)(3)偶函数偶函数y=f(x)y=f(x)在在y y轴左侧图象上任一点轴左侧图象上任一点P(-x,f(x)(x0)P(-x,f(x)(x0)关于关于y y 轴的对称点为轴的对称点

20、为P(x,f(x),P(x,f(x),如图为补充后的图象如图为补充后的图象. .易知易知f(1)f(3).f(1)f(3). 题型三利用函数奇偶性求参数题型三利用函数奇偶性求参数 例例3 3 (1)(1)若函数若函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+x+x是定义域为是定义域为R R的奇函数的奇函数, ,则则a a的值为的值为 . . 解析解析: :(1)(1)法一法一因为因为f(x)f(x)是奇函数是奇函数, , 所以所以f(-x)=-f(x).f(-x)=-f(x). 所以所以-x-x3 3+ax+ax2 2-x=-(x-x=-(x3 3+ax+ax2 2+x),+x), 整

21、理得整理得2ax2ax2 2=0.=0.即即a=0.a=0. 法二法二因为因为f(x)f(x)是奇函数是奇函数, , 所以所以f(-x)=-f(x).f(-x)=-f(x). 所以所以f(-1)=-f(1),f(-1)=-f(1), 所以所以(-1)+a+(-1)=-(1+a+1),(-1)+a+(-1)=-(1+a+1),所以所以a=0.a=0. 答案答案: :(1)0(1)0 (2)(2)若函数若函数g(x)=(x-2)(x+b)g(x)=(x-2)(x+b)是定义域为是定义域为R R的偶函数的偶函数, ,则则b b的值为的值为. . 答案答案: :(2)2(2)2 方法技巧方法技巧 利用

22、函数奇偶性求参数的方法利用函数奇偶性求参数的方法: : (1)(1)定义域含参数定义域含参数, ,根据定义域关于坐标原点对称根据定义域关于坐标原点对称, ,列式求解列式求解. . (2)(2)解析式含参数解析式含参数, ,根据根据f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)列式列式, ,整理化简求解整理化简求解. . 即时训练即时训练3-1:3-1:(1)(1)已知已知y=f(x)y=f(x)是奇函数是奇函数, ,当当x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2+ax,+ax,且且 f(3)=6,f(3)=6,则则a a的值为的值为. . 解析解

23、析: :(1)(1)因为因为f(x)f(x)是奇函数是奇函数, , 所以所以f(3)=-f(-3).f(3)=-f(-3). 又又x0 x0,-x0, 此时此时f(-x)=axf(-x)=ax2 2-bx.-bx. 故故3x3x2 2+2x=-(ax+2x=-(ax2 2-bx).-bx). 所以所以a=-3,b=2.a=-3,b=2. 所以所以2a+b=-4.2a+b=-4. 答案答案: :-4-4 学霸经验分享区学霸经验分享区 (1)(1)判断函数奇偶性判断函数奇偶性, ,一是用其定义判断一是用其定义判断, ,即先看函数即先看函数f(x)f(x)的定义域的定义域 是否关于原点对称是否关于原

24、点对称, ,再检验再检验f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)的关系的关系; ;二是用其图象判断二是用其图象判断, , 考察函数的图象是否关于原点或考察函数的图象是否关于原点或y y轴对称去判断轴对称去判断, ,但必须注意它是但必须注意它是 函数这一大前提函数这一大前提. . (2)(2)分段函数奇偶性的判断方法分段函数奇偶性的判断方法 一般用定义法分段处理一般用定义法分段处理. .分段函数的奇偶性应分段说明分段函数的奇偶性应分段说明f(-x)f(-x)与与 f(x)f(x)的关系的关系, ,只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时, ,才才 能判断函数的奇偶性能判断函数的奇偶性, ,否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数. . 要特别注意要特别注意: :若若xa,b,-x-b,-a,xa,b,-x-b,-a,在求在求f(-x)f(-x)时时, ,需代入区间需代入区间 -b,-a-b,-a对应的函数解析式对应的函数解析式. . 分段函数的奇偶性也可以通过函数图象的对称性加以判断分段函数的奇偶性也可以通过函数图象的对称性加以判断. .如如 f(x)=x|x|f(x)=x|x|可通过图象判断可通过图象判断. . (3)(3)应用函数的奇偶性求值、参数或函数的解析式应用函数的奇偶性求值、参数或函数的解