2019-2020学年高中数学 模块复习课 第4课时 导数及其应用课件 新人教A版选修1-1

1、第第4 4课时课时导数及其应用导数及其应用 知识网络要点梳理思考辨析 答案:概念 几何意义 单调性 极值 最大(小)值 知识网络要点梳理思考辨析 1.导数的运算 导数的运算法则:f(x)g(x)=f(x)g(x), 2.导数的几何意义 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的 切线的斜率; (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. 知识网络要点梳理思考辨析 3.利用导数研究函数单调性 (1)利用导数求函数单调区间的步骤: 确定函数的定义域;求导数f(x);在定义域内,解不等式 f(x)0得到函数的递增区间;解不等式f(x)0得到函数的递减区间

2、. (2)根据单调性求参数取值范围: 函数f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于不等式f(x)0(f(x)0) 在区间I上恒成立. 知识网络要点梳理思考辨析 4.利用导数研究函数的极值与最值 (1)应用导数求函数极值的一般步骤: 确定函数f(x)的定义域; 解方程f(x)=0的根; 检验f(x)=0的根的两侧f(x)的符号. 若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值; 若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值; 否则,此根不是f(x)的极值点. (2)求函数f(x)在闭区间a,b上的最大值、最小值的方法与步骤: 求f(x)在(a,b)内的极值; 将求得的极值与端点值f(a),f(b)相比较

3、,其中最大的一个值为 最大值,最小的一个值为最小值. 知识网络要点梳理思考辨析 5.利用导数研究函数、方程、不等式的综合问题 利用导数研究下列问题:(1)函数的零点个数问题;(2)方程的根的 问题;(3)不等式恒成立问题;(4)证明不等式问题;(5)解不等式问 题;(6)比较大小问题. 知识网络要点梳理思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打 “”. (1)经过点A(x0,y0)作曲线y=f(x)的切线,则切线斜率等于f(x0). ( ) (2)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,则在区间(a,b)上必有f(x)f(x)恒成立,则af(x)min. () 答案

4、:(1)(2)(3)(4)(5) 专题归纳高考体验 专题一导数的运算 专题归纳高考体验 专题归纳高考体验 专题归纳高考体验 专题二导数的几何意义 【例2】 (1)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为 . (2)(2015课标全国高考)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与 曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=. 自主解答:(1)y=-5ex,则k=y|x=0=-5e0=-5, 所以所求切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0. (2)y= ,k=y|x=1=2, 切线方程为y=2x-1. 由y=2x-1与y=ax2+(a+2)x+1联立,得ax

5、2+ax+2=0,再由相切知 =a2-8a=0,解得a=0或a=8. 当a=0时,y=ax2+(a+2)x+1并非曲线而是直线, a=0舍去,故a=8. 答案:(1)5x+y+2=0(2)8 专题归纳高考体验 反思感悟利用导数研究曲线的切线问题,务必要注意所给点是否 在曲线上,若点在曲线上,则函数在该点处的导数值就是曲线在该 点切线的斜率,如果所给点不在已知曲线上,则应先设出切点坐标, 再结合两点连线的斜率公式建立联系求解. 专题归纳高考体验 跟踪训练跟踪训练2若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= . 专题归纳高考体验 专题三利用导数研究函数单调性 【例3】 已知

6、函数f(x)=x2-4x+(2-a)ln x,aR. (1)当a=8时,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在2,+)上单调递增,求a的取值范围; (3)若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围. 思路点拨:(1)将a的值代入,确定定义域,求导数,然后解不等式即 得;(2)转化为f(x)0在2,+)恒成立求解;(3)转化为不等式f(x)0时,-x0,f(-x)=ex-1+x. 因为f(x)为偶函数, 所以f(x)=f(-x)=ex-1+x. 因为f(x)=ex-1+1,所以f(1)=2, 所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 答案:y=2x 专题归纳高考体验 考点三:利用导数

7、研究函数的单调性 5.(2017浙江高考)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函 数y=f(x)的图象可能是 () 专题归纳高考体验 解析:设导函数y=f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x10 x2x3. 所以在区间(-,x1)和(x2,x3)上,f(x)0,f(x)是增函数, 所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D. 答案:D 专题归纳高考体验 6.(2017全国高考)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)0,求a的取值范围. 解:(1)函数f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(

8、2ex+a)(ex-a). 若a=0,则f(x)=e2x,在(-,+)单调递增. 若a0,则由f(x)=0得x=ln a. 当x(-,ln a)时,f(x)0. 故f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增. 专题归纳高考体验 专题归纳高考体验 考点四:利用导数研究函数的极值与最值 7.(2017北京高考)已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值. 专题归纳高考体验 专题归纳高考体验 解:(1)由题意f(x)=x2-ax, 所以当a=2时,f(3)=0,f(x)=x2-2

9、x, 所以f(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程是y=3(x-3), 即3x-y-9=0. 专题归纳高考体验 (2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x, 所以g(x)=f(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x =x(x-a)-(x-a)sin x =(x-a)(x-sin x). 令h(x)=x-sin x,则h(x)=1-cos x0, 所以h(x)在R上单调递增. 因为h(0)=0,所以当x0时,h(x)0;当x0时,h(x)0. 当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x), 当x(-,a)时,x-a0,g(x)单调递增;

10、 当x(a,0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增. 所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=- a3-sin a, 当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a. 专题归纳高考体验 当a=0时,g(x)=x(x-sin x),当x(-,+)时,g(x)0,g(x)单调递 增; 所以g(x)在(-,+)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值. 当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x) 当x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增; 当x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增. 所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g

11、(0)=-a; 专题归纳高考体验 专题归纳高考体验 考点五:利用导数解决实际问题 9.(2015江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进 一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界 的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计 划修建的公路为l.如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的 距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千 米.以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲 线C符合函数 (其中a,b为常数)模型. 专题归纳高考体验 (1)求a,b的值; (2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; 当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度. 专题归纳高考体验 解:(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).