江苏省苏州市苏州工业园区苏州工业园区景城学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

2023-2024学年苏州市景城学校初二数学期中考试试卷一、选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分）1.下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】A、不是轴对称图形，故选项错误；B、不是轴对称图形，故选项错误；C、是轴对称图形，故选项正确；D、不是轴对称图形，故选项错误．故选：C．【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形的两部分折叠后可重合．2.在实数，，，，，，，中是无理数的有（）个A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①含类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．【详解】解：，，，是有理数，，，，是无理数，故选C．3.已知的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为、、，则满足下列条件的不是直角三角形的是（）A.，， B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据勾股定理的逆定理判断A，B，再根据三角形内角和定理判断C，D即可．【详解】因为，所以是直角三角形，则A不符合题意；因为，所以是直角三角形，则B不符合题意；由，得，解得，可知不是直角三角形，则C符合题意；由，得，即，解得，所以是直角三角形，则D不符合题意．故选：C.【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理逆定理和三角形内角和定理是解题的关键．4.下列二次根式中，化简后可以合并的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了同类二次根式的判断，化简二次根式，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式．【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；B、和是同类二次根式，能合并，符合题意；C、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；D、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；故选B．5.如图，点A所表示实数为（）A. B. C. D.2.5【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理可求得的长，再根据点在点B的右侧，从而得出点所表示的数．【详解】解：如图

则，则点表示的实数为，故选：B．【点睛】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理有关知识，掌握勾股定理求出直角三角形斜边长是解题关键．6.一个等腰三角形的两条边分别为和n，且满足，则等腰三角形的周长等于（）A.9 B.12 C.12或15 D.15【答案】D【解析】【分析】先根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出m与n，再根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，，∴，，当等腰三角形的腰长为3时，∵，∴不符合三角形的三边条件，∴不成立，当等腰三角形的腰长为6时，∵，，∴符合三角形三边条件，∴，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握三角形的三边关系．7.如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】分三种情况：当时，当时，当时，然后进行分析即可解答．【详解】解：如图：分三种情况：当时，以点为圆心，长为半径作圆，点，，即为所求；当时，以点为圆心，长为半径作圆，点，，，，即为所求；当时，作的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，综上所述：满足条件的格点的个数是8，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是分三种情况进行讨论．8.如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】首先证明△AEC≌△BED,得到AC=BD=AB=AD,得到△ABD是等边三角形，③正确；根据∆ABE与∆CDE都是等腰直角三角形，得到∠CAB＝∠CAD＝30°∠CAE＝∠EAD＝15°得到①②正确；∆ABC，∆CAD为等腰三角形，顶角都为30°，得到∠ACB＝∠ABC=75°，∠ACD＝∠ADC=75°，得出∠BCD的度数为150°④正确【详解】解：∵∆ABE与∆CDE都是等腰直角三角形∴AE=BE,DE=CE∵∠AEB＝∠DEC＝90°∴∠AEC＝∠DEB∴△AEC≌△BED∴AC=BD∵AD＝AC＝AB∴AD＝BD＝AB∴②∆ABD是等边三角形正确∴∠ABD＝∠BAD＝∠ADB=60°∵∆ABE与∆CDE都是等腰直角三角形∴∠EAB＝∠ABE=45°∴∠CAB＝30°，∠CAE＝∠EAD＝15°∴AE为∠CAD的角平分线∵∆ABD为等腰三角形∴①AE垂直平分CD正确∴∠CAD＝30°∴②AC平分∠BAD正确∵∆ABC为等腰三角形，顶角∠BAC＝30°∴∠ACB＝∠ABC=75°同理∠ACD＝∠ADC=75°∴④∠BCD的度数为150°正确.故选D【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键.二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）9.如果在实数范围内有意义，x的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解是解题的关键．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴，∴，故答案为：．10.16的平方根是___________．【答案】【解析】【分析】根据平方根的定义即可求解．【详解】即：16的平方根是故填：【点睛】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义．11.近似数精确到________位．【答案】千【解析】【分析】用科学记数法表示的近似数的精确度看a的最后一个数在原数中的位置，由的最后一个数为6，在原数中为千位，从而可得答案．【详解】解：近似数所对应的数为：306000，∵6对应的是千位，∴近似数精确到千位，故答案为：千．【点睛】本题考查的是近似数的精确度问题，理解科学记数法表示的近似数的精确度是解题的关键．12.若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为________°．【答案】或【解析】【分析】分的角为顶角和底角两种情况进行讨论，利用等边对等角和三角形的内角和进行计算即可．【详解】①的角为顶角；②的角为底角时，则顶角的度数为：；故答案为：或．【点睛】本题考查利用等边对等角求角度．熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形的内角和为是解题的关键．注意分类讨论．13.如图，在中，，，，将沿折叠得，连接，则______．【答案】【解析】【分析】根据勾股定理逆定理得到，根据翻折性质得出，，然后借助三角形的面积公式列出关于线段CO的关系式，问题即可解决．【详解】解：如图，连接交于点O，∵，，，，∴，∴，根据翻折的性质得，，，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了翻折的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．14.如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E．若，，则EC的长为______．【答案】【解析】【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，再由勾股定理确定，设，则，利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接，如图所示：∵的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E，∴，∵，，，∴，设，则，在中，，即，解得：，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．15.如图，点为的三个内角的角平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______．【答案】4【解析】【分析】连接AI，BI，由点I为△ABC的内心，得到AI平分∠CAB，根据角平分线的定义得到∠CAI=∠BAI．根据平移的性质得到AC∥DI，由平行线的性质和等角对等边得到AD=DI，BE=EI，根据三角形的周长公式进行计算即可得到答案．【详解】解：连接AI，BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI=∠BAI．由平移得：AC∥DI，∴∠CAI=∠AID．∴∠BAI=∠AID，∴AD=DI．同理可得：BE=EI，∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB，因为，即图中阴影部分的周长为4．故答案为：4．【点睛】本题考查角平分线的定义、平移的性质、等腰三角形的判定和平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义、平移的性质和平行线的性质和等角对等边．16.如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________．【答案】18【解析】【分析】连接BF，由△BDE是等边三角形、点F是DE的中点，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射线BF的位置是固定的，再根据点到直线的距离垂线段最短可得到当CF⊥BF时，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质列方程求出BD，最后求周长即可．【详解】解：解：如图，连接BF，∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，∴∠DBF=∠DBE=30°，又∵∠ABC=30°，∴∠CBF=60°，∴即射线BF的位置是固定的，∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°，∴BF=BC.∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，∴AB=2AC=12，BC=，∴BF=，设BD=2x，则DF=x，∴，即，解得x=3∴BD=6∴的周长为18．故填：18．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，说明射线BF的位置不会随着点D的移动而改变，而点C是射线BF外一点，由此可得当CF⊥BF时，CF的长度最小成为解答本题的关键．三、填空题（本大题共8小题，每题2分，共68分）17.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先算绝对值，二次根式乘法，再算加减即可；（2）先算除法，再算乘法即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握相应的运算法则．18.求下列各式中x的值．（1）（2）【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）先将方程移项，然后根据平方根的定义即可求解；（2）先将方程移项，然后根据立方根的定义即可求解．【小问1详解】，，，，解得：或；【小问2详解】，，，解得：．【点睛】本题考查了根据平方根与立方根解方程，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．19.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．【答案】±3．【解析】【分析】根据平方根和立方根定义求出a,b再求出c，再求a+b+c平方根．【详解】解：根据题意，可得2a-1=9，3a+b-9=8；

故a=5，b=2；

又∵2<<3，

∴c=2，

∴a+b+c=5+2+2=9，

∴9的平方根为±3．∴a+b+c的平方根±3．【点睛】考核知识点：开方.理解开方的方法是关键.20.已知，计算x﹣y2的值．【答案】-【解析】【详解】由题意得：，解得：x=，把x=代入y=﹣4，得y=﹣4，当x=，y=﹣4时x-y2=﹣16=﹣14．21.如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC．（1）△ABC的形状是．（2）利用网格线画△A′B′C′，使它与△ABC关于直线l对称．（3）在直线l上求作点P使AP+CP的值最小，则AP+CP的最小值＝．【答案】（1）直角三角形；（2）见解析；（3）3．【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理，得出三边平方关系式分析得出答案；（2）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置，连线即得答案；（3）直接利用对称点，两点之间线段最短的求最短路线方法得出答案．【详解】（1）∵BC2=12+12=2，AB2=22+22=8，AC2=12+32=10，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图所示：作点对称，连线即得△A′B′C′即为所求；（3）根据两点之间线段最短，作出点A的对称点A′，连接A′C交直线l于点P，如图所示：点P即为所求，AP+CP的最小值=A′C==3．故答案：3．【点睛】考查了图形的对称性，利用对称点作图形，勾股定理的判定和逆定理的应用，两点之间线段最短的性质和作图方法，掌握对称性的图形的性质特点是解题关键．22.如图，在和中，，点E为中点，，，点E、F关于成轴对称，连接．求证：为等边三角形．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，直角三角形的性质，轴对称图形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由轴对称的性质得到，则，由此可证明为等边三角形．【详解】解：如图所示，连接，∵在和中，，点E为中点，∴，∵点E、F关于成轴对称，∴，∴，∴为等边三角形．23.如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）（1）作的平分线，交于点D；（2）在线段上求作一点E，使得．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；（2）作线段的垂直平分线交于E，则，由此可得，再由三角形外角的性质可得．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】解：如图所示，即为所求．24.细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；…（1）请用含有n（n为正整数）的式子填空：________，________；（2）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值．【答案】（1）n，（2）18【解析】【分析】本题考查了数学中的阅读能力，规律问题，还有二次根式的化简，分母有理化，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．（1）根据题意找到规律，，即可得到答案；（2）根据题意将原式进行分母有理化进行求解即可．【小问1详解】解：，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；……，以此类推，可知，，故答案为：n，；【小问2详解】解：．25.如图1，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，与BC边交于点E，（1）若∠ACE＝18°，则∠ECD＝（2）探索：∠ACE与∠ACD有怎样数量关系？猜想并证明．（3）如图2，作△ABC的高AF并延长，交BD于点G，交CD延长线于点H，求证：CH2+DH2＝2AD2．【答案】（1）45°；（2）∠ACE＝∠ACD﹣45°，理由见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACE＝18°，得出∠BAC＝180°﹣18°﹣18°＝144°，由等腰直角三角形的性质得出∠BAD＝90°，AB＝AD，求出∠DAC＝54°，证出AC＝AD，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠ACD＝（180°﹣54°）＝63°，即可得出答案；（2）由（1）得出∠BAC＝180°﹣2∠ACE，得出∠DAC＝90°﹣2∠ACE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论；（3）连接BH，由（2）得出∠ECD＝45°，由等腰三角形的性质得出BF＝CF，由线段垂直平分线的性质得出BH＝CH，由等腰三角形的性质得出∠HBC＝∠BCD＝45°，证出∠BHC＝90°，由勾股定理得出BH2+DH2＝BD2．进而得出结论．【详解】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACE＝18°，∴∠BAC＝180°﹣18°﹣18°＝144°，∵以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠DAC＝144°﹣90°＝54°，∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴∠ACD＝（180°﹣54°）＝63°，∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝63°﹣18°＝45°；故答案为：45°；（2）∠ACE＝∠ACD﹣45°；理由如下：由（1）得：∠BAC＝180°﹣2∠ACE，∴∠DAC＝∠BAC﹣90°＝90°﹣2∠ACE，∵AC＝AD，∴∠ACD＝（180°﹣∠DAC）＝[180°﹣（90°﹣2∠ACE）]＝45°+∠ACE，∴∠ACE＝∠ACD﹣45°；（3）连接BH，如图2所示：由（2）得：∠ECD＝45°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BH＝CH，∴∠HBC＝∠BCD＝45°，∴∠BHC＝90°，∴BH2+DH2＝BD2．∵△ABD是等腰直角三角形，∴BD2＝2AD2，∴CH2+DH2＝2AD2．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．26.定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）；①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．（2）如图1，在四边形中，，为的中点，．取中点，连接．求证：是的“周长平分线”．（3）在（2）的基础上，分别取，的中点，，如图2．请在上找点，，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线”．①用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）；②若，，直接写出的长．【答案】（1）②；（2）见详解；（3）①见详解；②【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及“周长平分线”的定义，即可判断；（2）延长BA，CD交于点M，连接MP，则∆BMC是等腰直角三角形，再证明∆ABP≅∆DMP，进而即可得到结论；（3）①连接QM，并延长交BP于点E，连接QN，并延长交BC于点F，即可；②连接AE，D