第十六讲--图形的平移和旋转讲义

1、精品好资料学习推荐第十六讲 图形的平移和旋转一、课标下复习指南(一)平移变换1平移的概念平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移注：平移变换的两个要素：移动的方向和距离2平移的性质(1)平移前后的图形全等；(2)对应线段平行(或共线)且相等；(3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等3平移变换的作图如图161所示，将ABC平移至ABC，则有AABB，且AABB；BB与CC共线，且BBCC图161说明 我们可以根据平移的方向和距离作出平移后的图形；反之，可以根据平移前后的图形，得知平移的方向和距离4用坐标表示平移(1)点(x，y)点(xa，y)或(xa，y)；(2)点(x，

2、y)(x，yb)或(x，yb)(二)轴对称变换1轴对称的概念把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称这条直线就是对称轴两个图形中的对应点(即两图形重合时互相重合的点)叫做对称点2轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形全等；(2)对称点所连的线段被对称轴垂直平分；(3)对应线段所在直线若相交，则交点在对称轴上3轴对称变换的作图如图162，若ABC与ABC关于直线l对称，则有ABCABC；AA，BB，CC都被直线l垂直平分图162说明 我们可以根据对称轴作出一个图形的轴对称图形；反之，可以根据两个成轴对称关系的图形，得出对称轴4轴对称图形

3、如果把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴注：一个图形的对称轴可以有1条，也可以有多条5轴对称与轴对称图形的区别与联系区别联系轴对称轴对称是指两个图形的对称关系若把轴对称的两个图形看成一个(整体)图形，则成为轴对称图形；若把轴对称图形的互相对称的两个部分看成两个图形，则它们成轴对称轴对称图形轴对称图形是指具有某种对称特性的一个图形6用坐标表示轴对称点(x，y)关于x轴对称的点为(x，y)；点(x，y)关于y轴对称的点为(x，y)；点(x，y)关于直线yx对称的点为(y，x)；点(x，y)关于直线yx对称的点为(y，x

4、)；*点(x，y)关于直线xm对称的点为(2mx，y)；*点(x，y)关于直线yn对称的点为(x，2ny)(三)旋转变换1旋转的概念在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向(逆时针或顺时针)转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转这个定点O叫做旋转中心，转动的角称为旋转角注：旋转变换的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角2旋转的性质(1)旋转前后的图形全等；(2)对应点到旋转中心的距离相等(意味着：即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上)；(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；*(4)对应线段所在直线的夹角等于旋转角3旋转变换的作图(1)明确旋转中心、旋转方向和旋转角，找出能确定原图

5、形的关键点；(2)将能确定原图形的关键点(多边形一般为每个顶点)与旋转中心连接，并将线段按要求进行旋转，得到这些关键点的对应点；(3)按原图形顶点的顺序顺次连接这些对应点，得到旋转后的图形说明 根据旋转前后的图形可以确定旋转中心、旋转方向和旋转角*4旋转对称图形如果某图形绕着某一定点转动一定角度(小于360)后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形5中心对称把一个图形绕着某个定点旋转180，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点6中心对称的性质中心对称是一种特殊的旋转，因此它具有旋转的一切性质另外，

6、它还有自己特殊的性质：(1)对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，即对称中心是两个对称点所连线段的中点；(2)对应线段平行或共线7中心对称的作图如图163，若ABC与ABC关于点O中心对称，则对称中心O是线段AA、BB、CC共同的中点，且ABAB，ABAB，BCBC，BCBC，CACA，CACA图163说明 我们可以根据对称中心作出一个图形的中心对称图形；反之，可以根据两个成中心对称关系的图形，得出对称中心8中心对称图形一个图形绕着一个定点旋转180后能与自身重合，这种图形称为中心对称图形这个定点叫做该图形的对称中心*中心对称图形是一个特殊的旋转对称图形(旋转角等于180)9中心对称

7、与中心对称图形的区别与联系区别联系中心对称中心对称是指两个图形的对称关系把中心对称的两个图形看成一个(整体)图形，则称为中心对称图形；把中心对称图形的互相对称的两个部分看成两个图形，则它们成中心对称中心对称图形中心对称图形是指具有某种对称特性的一个图形10关于原点对称的点的坐标点(x，y)关于原点对称的点的坐标为(x，y)二、例题分析例1 在平面直角坐标系中，RtAOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA2，OB1将AOB绕点O按顺时针方向旋转90，再把所得的图形沿x轴正方向平移1个单位长度，得到CDO(1)在坐标系中，分别画出AOB和COD，并写出点A，C的坐标；

8、(2)求点A和点C之间的距离；(3)求点A到点C所经过的路线的长度解 (1)所画出的AOB和COD如图164所示，点A的坐标是(2，0)，点C的坐标是(1，2)图164(2)连接AC在RtACD中，ADOAOD3，CD2，(3)点A到点C所经过的路线的长度是说明 (1)正确画出图形经过几何变换后所得到的图形，是考查我们对概念的理解和空间想象力的具体体现想一想，AOB能否先进行平移、再经过旋转，得到CDO?如果可以，请用准确的术语写出这个变换的过程_(2)请注意第(2)、(3)小题的区别例2 如图165，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B处，点A落在点A处，折痕分别交AD，B

9、C于E，F图165(1)求证：BEBF；(2)设AEa，ABb，BFc，试猜想以a，b，c为边的三角形的形状，并给予证明分析 折叠过程体现了轴对称，由轴对称性质可知，BFBF，BFEBFE，而BFEBEF，故有BEBFBF解 (1)证明：由题意，可得BFBF，BFEBFE在矩形ABCD中，ADBC，BEFBFEBFEBEBFBF(2)解：以a，b，c为边可以构成直角三角形证明：如图166，连接BE，则BEBE图166由(1)知，BEBFc，a2b2AE2AB2BE2c2以a，b，c为边构成的三角形是直角三角形例3 如图167，某人有一块平行四边形的土地，地里有一个圆形池塘，此人立下遗嘱：要把这

10、块土地平分给他的两个儿子，中间的池塘也要同时平分，但不知如何去做你能想个办法吗?图167分析 这个图形实际上是由两个中心对称图形组合而成，要想将其面积平分，只要找一条直线，使其既能平分平行四边形的面积，又能平分圆的面积即可解 连接平行四边形的两条对角线，其交点A就是平行四边形的中心，而圆的圆心B就是圆的中心，因此直线AB就能将土地与池塘的面积同时平分了说明 此题可以推广(1)由于经过中心对称图形的对称中心的直线都可以平分该图形的面积，所以只要地和池塘都是中心对称图形，过两个对称中心的直线即可同时平分它们的面积(2)一些非中心对称的图形内部也存在这样的点，使得过该点有无数条直线平分该图形的面积比

11、如梯形，过梯形中位线的中点，且与梯形上、下两底均相交的直线均平分该梯形的面积请思考：如图168，五边形ABCDE中，ABCD，AEBC，你能找到多少条平分该五边形的面积的直线呢?图168例4 已知ABC中，ABAC，AD为ABC的角平分线，P为线段AD上一点，分别连接BP和CP，试判断ABAC和BPCP的大小关系，并说明理由分析AB和AC不共线，BP和CP也不共线，即不是同一个三角形的两条边，要想构造它们的差，可以尝试通过图形变换把它们集中到一条直线上(或集中到一个三角形的三边上)，从而得到线段差(或便于利用三角形的三边关系)另外，已知中有“AD为ABC的角平分线”，因此可以利用角平分线的特点

12、作轴对称变换这样几个关键的线段就都集中了解 如图169，在AB上截取ACAC，连接PC，图169则有ABACABACBCAD平分BAC，C APCAP又ACAC，APAP，APCAPC(SAS)CPCP若点P与A重合，则BPAB，CPCPACBPCPABAC若点P与A不重合，则在BCP中，BPCPBC即BPCPABACABAC综上所述，ABACBPCP例5 如图1610，P是矩形内一点，已知PA3，PB4，PC5，求PD的长图1610分析 如图1610，考虑通过平移将四条线段PA，PB，PC，PD集中到一起，构成一个封闭图形(四边形)再考虑到题目中有垂直的条件，在平移后保持不变，于是可能运用勾

13、股定理求出PD的长解 如 图1611，分别过P，D作AD，AP的平行线，交于点P，则四边形APPD为平行四边形图1611PPADBC，PPADBC四边形PBCP为平行四边形PDPA3，PCPB4又ADCD，PPAD，PPCD设PP与CD相交于点O，则PC2PD2(PO2OC2)(OD2OP2)PD2PC2解得例6 已知O是等边三角形ABC内一点，AOB110，BOC135，试问：(1)以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形?若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；(2)如果AOB的大小保持不变，那么当BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形?分析 由于OA

14、，OB，OC的长度直接不易求，但角的信息比较多(除了直接给的AOB与BOC外，还有正ABC的三个内角均为60)，故可以考虑将这三条线段通过旋转变换集中到一起，便可直接得知它们能否拼接成一个三角形了比如，这里可以将AOB绕点B顺时针旋转60，这样OA，OB，OC就集中为一个四边形的边了解 (1)如图1612，过点B作BP，使得OBP60，在BP上截取BPBO，连接OP，CP图1612正ABC中，ABC60，又OBP60，ABCOBCOBPOBCABOCBP又ABCB，BOBP，ABOCBP(SAS)PCOA，BPCBOA110OBP中，BOBP，OBP60，OBP为正三角形OPOB，BOPBPO

15、60，亦即在OPC中，PCOA，OPOB，OCOC，以OA，OB，OC为边能构成一个三角形，且这样的三角形与OPC全等在OPC中，POCBOCBOP1356075OPCBPCBPO1106050OCP180POCOPC180755055(2)AOB大小不变，BPC大小也不变，即总有OPC50若OPC中，POC90，则BOCPOCBOP9060150若OPC中，OCP90，则POC180OPCOCP180509040此时BOCPOCBOP4060100综上所述，当BOC150或100时，由OA，OB，OC为边的三角形为直角三角形说明 一个图形经过平移、轴对称、旋转变换后都与原图形全等，因此可以用

16、这三种变换来构造全等图形，从而“转移”边、角、面积的条件，使图形中一些分散的边与角相对集中，便于发现关系例7 已知抛物线，请分别写出满足下列条件的抛物线的解析式：(1)抛物线C关于y轴对称的抛物线：_；(2)抛物线C关于x轴对称的抛物线：_；(3)抛物线C关于原点对称的抛物线：_；(4)抛物线C关于其顶点对称的抛物线：_；(5)抛物线C沿y轴向上平移3个单位长度所得的抛物线：_；(6)抛物线C沿x轴向左平移3个单位长度所得的抛物线：_分析 解决这类问题的关键是根据变换的规律确定所得抛物线的顶点坐标和开口方向，而抛物线的形状不变(即|a|不变)解 抛物线C的顶点为(1，2)，开口向上，且(1)抛

17、物线C关于y轴对称的抛物线的顶点为(1，2)，开口方向不变，故所得抛物线为本题也可理解为抛物线对称后，只有对称轴变为直线x1(2)(3)(4)抛物线C关于其顶点对称后，顶点不变，开口向下，故所得抛物线为(5)平移后抛物线的顶点为(1，1)，方向、形状不变所得抛物线为(6)平移后抛物线的顶点为(2，2)，所得抛物线为例8 如图1613，在平面直角坐标系中有四个点A(6，3)，B(2，5)，C(0，m)，D(n，0)，当四边形ABCD的周长最短时，求m，n的值图1613分析 本题等价于：在平面直角坐标系中，已知A，B两点的坐标，在x轴，y轴上各求一点D，C，使得四边形ABCD的周长最小由于A，B两

18、点的位置确定，分别可作A，B两点关于x轴，y轴的对称点A，B，则线段AB与x轴，y轴的交点为所求作的点D，C解 如图1614，作点A关于x轴的对称点A(6，3)，点B关于y轴的对称点B(2，5)，则有CDBCADCDBCDA图1614当点C，D在直线AB上时，BCCDAD最小设直线AB的解析式为ykxb，依题意得解得直线AB的解析式为yx3令x0，得y3；令y0，得x3m3，n3说明 (1)本题利用轴对称把四边形周长最短问题转化为两定点间折线段最短问题，从而可利用“两点之间，线段最短”来解决；(2)求几何中的最值问题是一类常见的题目，而对称点法是解决这类问题的一个非常有效的方法三、课标下新题展

19、示例9 (2009河北)在图1615至图1617中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，四边形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中点是M(1)如图1615，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，图1615求证：FMMH，FMMH；(2)将图1615中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图1616，求证：FMH是等腰直角三角形图1616解 (1)证明：四边形BCGF和CDHN都是正方形，又点N与点G重合，点M与点C重合，FBBMMGMDDH，FBMMDH90FBMMDHFMMHFMBDMH45，FMH90FMHM(2)证明：连接MB，MD，如图1617，设FM与AC交

20、于点P图1617B，D，M分别是AC，CE、AE的中点，MDBC，且MDBCBF，MBCD，且MBCDDH四边形BCDM是平行四边形且APMFMDCBMCDM又FBPHDC，FBMMDHFBMMDHFMMH，且MFBHMDFMHFMDHMDAPMMFBFBP90FMH是等腰直角三角形例10 (2009太原)【问题解决】如图1618，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E(不与点C，D重合)，压平后得到折痕MN当时，求的值方法指导：为了求得的值，可先求BN、AM的长，不妨设AB2【类比归纳】在图1618中，若，则的值等于_；若，则的值等于_；若(n为整数)，则的值等于(用含n的式子表

21、示)图1618【联系拓广】如图1619，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E(不与点C，D重合)，压平后得到折痕MN设，则的值等于_(用含m，n的式子表示)图1619解 【问题解决】方法一：如图1620，连接BM，EM，BE图1620由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称MN垂直平分BEBMEM，BNEN四边形ABCD是正方形，ADC90，ABBCCDDA2设BNx，则NEx，NC2x在RtCNE中，NE2CN2CE2，x2(2x)212解得即在RtABM和在RtDEM中，AM2AB2BM2，DM2DE2ME2AM2AB2DM2DE2同理，可得方法二：同方法一，如

22、图1621，过点N做NGCD交AD于点G，连接BE图1621ADBC，四边形GDCN是平行四边形NGCDBC同理，四边形ABNG也是平行四边形与方法一同理得MNBE，EBCBNM90NGBC，MNGBNM90EBCMNG又CNGM90，BCENGM，ECMG【类比归纳】【联系拓广】四、课标考试达标题()选择题1下列标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为( )2在平面直角坐标系中，点(2，4)绕点(1，1)顺时针旋转90后，所得的点的坐标为( )A(2，2)B(4，1)C(3，1)D(4，0)3已知两条互不平行的线段AB，AB关于直线l对称，AB，AB所在的直线交于点P，下面四个结论：ABA

23、B；点P在直线l上；若A，A是对称点，则直线l垂直平分线段AA；若B，B是对称点，则PBPB其中正确的是( )ABCD4已知AOB30，点P在AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1OP2等于( )A45B50C60D705如图1622，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是( )图1622A3cmB4cmC5cmD6cm6如图1623，两个全等的正六边形ABCDEF，PQRSTU，其中点P位于正六边形ABCDEF的中心如果它们的面积均为3，那么阴影部分的面积是( )图1623A0.5B1C2D3(二)填空题7若点M关于x轴对称的点的坐标为(3，9)，则点M关于y轴对称的点的坐标为_8如图1624，P是正ABC内的一点，若将PAB绕点A逆时针旋转到PAC，则PAP的度数为_图16249如图1625，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分的面积是_图162510如图1626，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，折痕交CD于Q，则PBQ_图162611如图1627，已知五边形ABCDE中，