第一章-基本概念

1、精品好资料学习推荐第一章 基本概念1.1 集 合1.指出下列各命题的真假.(1); (2); (3); (4);(5); (6); (7); (8);(9); (10); (11); (12).解 命题,(5),(6),(8),(9)和(11)为真命题,其余都是假命题.2.设,求,.解; ;.3.设是两个集合,若,证明:.证明 假设.则.因此.4.设是三个集合,若,证明:.证明 考察任意的:若,则由可知;若,则由可知.由此可见,.同理可证,.所以.5.证明下列三命题等价:(1);(2);(3).证明 我们有.所以命题(1),(2)和(3)两两等价. 6.设是三个集合,证明:(1); (2);(

2、3); (4);(5); (6).证明 (1)对于任意的元素,我们有.所以(2)对于任意的元素,我们有.所以.(3)对于任意的元素,我们有.所以.(4)对于任意的元素,我们有所以.(5)对于任意的元素,我们有.所以.(6)对于任意的元素,我们有.所以.7.设,写出的幂集.解 显然.所以.8.设是包含个元素的有限集,求的幂集所包含元素个数.解 对于任意的,的由个元素组成的子集共有个.所以的幂集所包含元素个数为.1.2 映 射1. 设是一个正整数,作带余除法:,.规定,问:是否为到的映射?单射?满射?答 显然是到的映射.由于,因此不是单射.由于,因此不是满射.2.(1)设是到的单射,是到的单射,证

3、明:是到的单射.(2)设是到的满射,是到的满射,证明:是到的满射.证明 (1)假设且.由于是到的单射,因此且.由于是到的单射,因此且,即.由此可见,是到的单射.(2)任意给定.由于是到的满射,因此我们可取,使得.由于是到的满射,因此我们可取,使得.于是,.由此可见,是到的满射.3.设,问:(1)有多少个到的映射?(2)有多少个到的单射?满射?双射?解 (1)令表示到的所有映射组成的集合,表示这三个元素的所有有重复和无重复的排列组成的集合.对于任意的,令.显然是到的双射,并且.所以.也就是说,到的不同映射共有个A中元素在B中必有对应项，对于1,2,3有3种选择，即3*3*3=27.(2)设如(1

4、)中所说.显然,对于任意的,是单射(满射)当且仅当是这三个元素的一个无重复的排列.由于这三个元素的无重复的排列共有个,所以到的不同单射(满射)共有6个.4.设给出三个到的映射:;(1)计算:,;(2)证明:是单射,并分别求出的一个左逆映射;(3)证明:是满射,并求出的一个右逆映射.解 (1)对于任意的,;(2),若,则;若;则.所以和都是单射.由(1)可知,既是的一个左逆映射,又是的一个左逆映射.(3),我们有.所以是满射.由(1)可知,和都是的右逆映射.5.设是到的映射,是到的映射.(1)若有左逆映射,问是否都有左逆映射?(2)若有右逆映射,问是否都有右逆映射?解 (1)若有左逆映射,则,从

5、而,是的左逆映射.但是未必有左逆映射.例如,令,定义到的映射和到的映射如下:则有左逆映射;不是单射,从而,没有左逆映射.(2)若有右逆映射,则,从而,是的右逆映射.但是未必有右逆映射.例如,在上例中,有右逆映射,不是满射,从而,没有右逆映射.6.设都是有限集,且.又是一个映射,证明:是单射是满射.证明 由于是到的映射,因此.当是单射时,是到的双射,从而,.这样,由可知.所以是满射.当是满射时,对于每一个,任意定一个元素,使得,并令.于是,是到的单射.由于,因此是双射.又因,所以是双射,从而,是单射.1.3 卡氏积与代数运算1.设,问下列各命题是否正确?(1); (2); (3);(4); (5

6、); (6).答 命题(3),(4)和(6)都正确;其余命题都不正确.2.判断下列法则是否为有理数域上的代数运算:(1); (2); (3);(4); (5).解 (1),(3)和(5)中的法则都是有理数域上的代数运算;其余的法则都不是.3.设上的代数运算适合结合律,交换律,试完成下列表中的计算.解 由于适合交换律,因此我们有由于适合结合律,因此.又因,根据可以断言.所以我们有4.在非零实数集上普通数的除法运算是否适合结合律、交换律?答 小学生都知道,数的除法运算不适合结合律和交换律,因此无需举例说明.5.在实数集上规定一个代数运算,问这个代数运算是否适合结合律、交换律?解 我们有,;,.由此

7、可见,这个代数运算不适合结合律和交换律.6.证明定理1.9.注 定理1.9的内容如下:(1)设上的代数运算适合结合律;到的代数运算对于适合左分配律,则对于中任意()个元素,中任意元素,都有.(2)设上的代数运算适合结合律; 到的代数运算对于适合右分配律,则对于中任意()个元素,中任意元素,都有.证明 这里只证明定理1.9(1)成立.由于对于适合左分配律,因此.假设当()时有.当时,由于适合结合律,根据归纳假设,我们有.所以对于一切正整数,有.7.设上的两个代数运算与由下列运算表给出:证明:对于适合左、右分配律.证明 事实上,对于任意的,若或,则;若或,则.总之,我们有,.这就是说,对于适合左分

8、配律.其次,对于任意的,若,则;若,则;此外,对于任意的,有,.这样一来,注意到适合交换律,可以断言,.这就是说,对于适合右分配律.1.4 等价关系与集合的分类1.在集合中,规定二元关系为.证明:是上的一个等价关系,并确定相应的等价类.解 平行线的标准定义是:设和是同一平面上的两条直线.若与没有公共点,则称平行于,记作.根据这一定义,对于任何直线,不成立,从而,同一平面上的直线之间的平行关系不是等价关系.但是,显而易见,本题中,上关系具有对称性和传递性.这样一来,如果再补充规定:,那么就是上的一个等价关系.这时,以为代表的等价类就是由和该平面上的一切平行于的直线组成的集合.2.在非零复数集中,

9、规定二元关系为的辐角的辐角. 证明:是上的一个等价关系,并确定相应的等价类.解 显而易见,有;.所以是上的一个等价关系.以为代表的等价类就是一切与具有相同辐角的复数组成的集合,其几何意义就是复平面上以为端点且经过的射线. 3.设,在中,规定二元关系为.证明:是上的一个等价关系,并写出商集.解 显而易见,是上的一个等价关系,其理由不必赘述.,其中,.注 课本中的答案有误.以为代表的等价类不是,应是. 4.设,在中,规定二元关系为.问:是不是上的等价关系,为什么?答 显然,.因此不具有对称性.所以不是上的等价关系. 5.设表示复数域上所有阶矩阵所组成的集合,问下列规定的上的关系是不是等价关系,为什

10、么?若是等价关系,写出各个等价类的代表元.(1)阶可逆矩阵,使.(2)的秩的秩.(3)(表示的行列式).解 高等代数中已经指出,和都是上的等价关系,并且;称为矩阵之间的等价关系.对于每一个,令表示主对角线上前个元素都是、其余元素都是的阶矩阵,表示阶零矩阵,则.对于每一个,令表示主对角线上第个元素是、主对角线上其它元素都是、其余元素都是的阶矩阵,则.6.设表示所有阶实对称矩阵所组成的集合,问下列规定的上的关系是不是等价关系,为什么? 若是等价关系,写出各个等价类的代表元.(1)阶可逆矩阵,使.(2)阶正交矩阵,使.解 高等代数中已经指出,都是上的等价关系,称为合同关系,称为正交合同关系.对于任意

11、的,与具有相同的惯性指标;与具有相同的实特征值.对于任意的整数,令表示主对角线上前个元素是、主对角线上接着的元素都是、其余元素都是的阶矩阵,则.对于任意的实数,令表示主对角线上的元素依次为的对角矩阵,则,其中,当且仅当:适当调换诸的次序和下标,可使,.注 课本中关于等价类的代表元的叙述有误.7.设,求的所有可能的分类.解 所有可能的分类如下:;,;,;,;.复 习 题 一1.设,是两个实系数一元多项式,其根的集合分别记作,证明:(1)多项式的根的集合为;(2)多项式的根的集合为.注 本题中应设分别表示,的全体实数根组成的集合,否则断言(2)不成立.例如,当,时,的全体复根的集合为.证明 (1)

12、对于任意的实数,我们有或或是的根.所以多项式的全体实数根的集合为.(2)对于任意的实数,我们有且且是的根.所以多项式的全体实数根的集合为.2.设是两个集合,将在中的余与在中的余的并称为与的对称余,记作,即.证明:(1);(2);(3).证明 (1)由于对于适合分配律,对于适合分配律,我们有.(2)根据的定义以及1.1习题6(6),我们有.(3)根据(1)和对合律,我们有.3.证明:(1);(2).证明 (1)对于任意的元素,我们有.所以.(2)对于任意的元素,我们有.所以.4.设是映射,证明:(1);(2);(3),并举例说明等号未必成立.证明 (1)对于任意的,我们有.所以.(2)对于任意的,我们有.所以.(3)对于任意的,我们有.所以.令,.则.于是,但.5.设与()都是上的关系,证明:(1);(2)当时,;(3);(4).证明 (1)对于任意的,我们有.所以.(2)当时,对于任意的,我们有.所以当时,.(3)对于任意的,我们有.所以.(4)对于任意的,我们有.所以.6.在偶数环中,规定二元关系为.证明: 是上的一个等价关系,并确定相应的等价类.解 对于任意的,我们有,从而,;且且.由此可见,是上的一个等价关系.对于任意的,将以为代表的等价类记作,则.7.设是集合上的一个二元关系,证明:是上的等价关系的充要条件是满足下列性质: