重庆大学数学模型数学实验作业四讲解

1、-精品文档- 开课学院、实验室：数统学院实验时间2015年 10月28日 ： 课程名称 数学实验 实验项目 称 名 种群数量的状态转移微分方程 实验项目类型 验证 演示 综合 设计 其他 指导 教师 肖剑 绩 成 实验目的 1 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法； 2 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； 3 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令； 4 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； 通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会

2、使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。 实验内容 1 微分方程及方程组的解析求解法； 2 微分方程及方程组的数值求解法欧拉、欧拉改进算法； 3 直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)； 4 利用图形对解的特征作定性分析； 5 建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。 基础实验 一、问题重述 1求微分方程的解析解, 并画出它们的图形， y= y + 2x, y(0) = 1, 0 x1; 2用向前欧拉公

3、式和改进的欧拉公式求方程y= y - 2x/y, y(0) = 1 (0 x1,h = 0.1) 的数值解，要求编写程序，并比较两种方法的计算结果，说明了什么问题？ 微分方程组：Rossler3 z?y?x?ay?x?y?)x?c?b?z(z?而方程解的变化情况，(0,0.65)b=2, c=4当固定参数时，试讨论随参数a由小到大变化（如a 并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？ 4.Apollo卫星的运动轨迹的绘制?)(x?(x?) 11,?x?2yx?33rr 21 ?yy1?2x?,y?y?33 rr 21?,1?1/82.45,? 12222?y)?y,r?(x(r?x?)

4、 1211.04935751?(0)?(0)0,y?0,y(0)(0)x?1.2,x? 二、实验过程Untitle1: 1编辑程序代码 )y(0)=1,xs=dsolve(Dy=y+2*x ezplot(s,0,1) 2 s =3*exp(x) - 2*x 运行结果如下： 图形为： 2编写程序代码Untitle2： clc )x,y(0)=1,y=dsolve(Dy=y-2*x/y ezplot(y,0,1) onhold x=;x(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1; n=1:10for x(n+1)=x(n)+0.1; y1(n+1)=1.1*y1(n)-0.2*x(n)/y1(n)

5、; k1=y2(n)-2*x(n)/y2(n); k2=y2(n)+0.1*k1-2*x(n)/(y2(n)+0.1*k1); y2(n+1)=y2(n)+0.05*(k1+k2); end ),x,y2,k-.plot(x,y1,k:运行得到y =(2*x + 1)(1/2)，这是解析解。图像如下： 此题中向前欧拉公式更逼近解析解，其实，提高精度，即n的取值，两种方式都可以无限逼近解析解。 3.首先编辑函数m文件rossler.m： eq=rossler(t,x)functionglobal a b c b=2;c=4; eq=0 -1 -1;1 a 0;x(3) 0 -c*x+0;0;b;

6、然后在命令行窗口输入全局变量，并对a赋值，当a=0.1时： a b cglobal a=0.1; x0=0;0;0; ,0,1000,x0);t,x=ode45(rossler )g,t,x(:,2),k,t,x(:,3),plot(t,x(:,1),r pause plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3) ongrid 得到的图形为： 时：0,100，积分区间改为a=0.2当 当当a=0.6，积分区间改为0,50时： 由此一系列图可知此空间图线是混沌的。 编写函数m文件apollo.m: 4. ep=apollo(t,y)function y4 y3syms y1 y2 u=1/

7、82.45;u1=1-u; r1=(y(1)+u)2+y(3)2)(1/2); r2=(y(1)-u1)2+y(3)2)(1/2); ep(1)=y(2); ep(2)=2*y(4)+y(1)-u1*(y(1)+u)/r13-u*(y(1)-u1)/r23; ep(3)=y(4); ep(4)=-2*y(2)+y(3)-u1*y(3)/r13-u*y(3)/r23; ep=ep(1);ep(2);ep(3);ep(4);运行程序代码Untitle4： ,0,20,1.2 0 0 -1.04935751);apollot,y=ode45( y1=y(:,1); y2=y(:,2); y3=y(:

8、,3); y4=y(:,4); plot(t,y1,t,y3) ongrid pause plot(y1,y3) ongrid 得到y1-t,y3-t的图像 卫星的运动轨迹）的图像：Apollo（y1-y3 应用实验（或综合实验） 一、问题重述 盐水的混合问题 一个圆柱形的容器，内装350升的均匀混合的盐水溶液。如果纯水以每秒14升的速度从容器顶部流入，同时，容器内的混合的盐水以每秒10.5升的速度从容器底部流出。开始时，容器内盐的含量为7千 克。求经过时间t后容器内盐的含量。 二、问题分析 由题意可以知道，此题中容器内的盐含量以及浓度随着时间在不停变化的，在流入到流出的过程中，由于混合在水中

9、的盐含量是不同的，所以溶解于水中的盐的量每一时刻都是不同的，流出的量随时间 也是不断变化的。可以选取一个无限小的时间微元进行讨论。三、数学模型的建立与求解 假设在t时刻到t+t（t足够小）时刻时，由于时间变化非常微小，可以认为这个t时间内，容器内溶液浓度没有发生变化浓度c(t)=c(t+t)=m(t)/V(t),则这个过程中盐减少的质量为m=m(t+t)-m(t)=-v2*c(t)* t，V(t)=V0+v1*t-v2*t。其中c(t)表示t时刻容器内盐的浓度；m(t)表示t时刻容器内盐的质量；V(t)表示t时刻容器内水的体积；v1,v2分别表示流入流出水的速度。 由于t足够小，得微分方程m(t)=-v2*m(t)/(V(0)+v1*t-v2*t)。带入数据得 dm/dt=3m/(100+t) 在MATLAB中建立脚本Untitle.m )t,m(0)=7,Dm=-3*m/(100+t)m=dsolve ( ezplot(m,0,150) o