高三上学期开学摸底考试(9月)数学(理)试卷及答案

1、2020 届高三 9 月第一次月考数学试卷（理）一、选择题1.设集合，则()A.B.C.D.2.若复数 z4i2i 2019 ，复数在复平面内对应的点位于（）(1i )2A 第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3.已知双曲线 x22 y 21的一个焦点为F ,则焦点 F 到其中一条渐近线的距离为（）A.2B.121C.D.224. 设函数 f (x)(x1)ex ，则 f (1)（）A. 1B. 2C.3eD.3e5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家， 普州（现四川省安岳县） 人，他在所著的 数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求

2、多项式值的一个实例，若输入n, x 的值分别为 3 ， 2 则输出 v 的值为（）A. 35B.20C. 18D.96y1 0 的倾斜角为，则1sin 2（）已知直线 3x23331A.B.C.D.10510107.二项式的展开式中的系数是，则()A. 1B.C.D.8数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的A. 必要不充分条件B.充分不必要条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件9. 定 义 域 为 R 的 奇 函 数yf (x) 的 图 像 关 于 直 线 x2 对 称 ， 且f (2)2018 ， 则f (2018)f (2016)（）A. 2018B. 2020C. 4034D.

3、210.已知三棱锥 DABC 四个顶点均在半径为R 的球面上，且 ABBC2，AC 2，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（）A.500B.4C.25100819D.911.已知椭圆x2y21(ab 0) 的左、右焦点分別为F1, F2 ，过 F2 的直线与椭圆交于A, B 两点，a2b2若F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A 2B 23C.52D 63212.设是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则()A.B.到直线的距离不大于 2C. 直线过抛物线的焦点D.为直径的圆的面积大于二、填空题13.命题：“ ? x R， e

4、x x”的否定是 _ xy014.已知 x, y 满足xy2，则 z2x y 的最大值为 _y015. 某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3 辆共享汽车都是随机停放的，且这3 辆共享汽车都不相邻的概率与这3 辆共享汽车恰有2 辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_16. 已知函数，若，使得，则的取值范围是_三、解答题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、 23题为选考题，考生根据要求作答。17.在ABC 中，角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c，已知 2(tan A tan B)tan

5、 AtanB .cosBcos A（）证明： a+b=2 c;（）求 cosC 的最小值 .18.如图1，在 ABC 中，D,E分别为AB，AC 的中点，O为 DE的中点，ABAC25 ，BC4将 ADE沿DE 折起到 A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，F为A1C的中点，如图2（）求证：EF /平面A1BD；（）求二面角A1EBC 的平面角的余弦值.19.生蚝即牡蛎oyster 是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一

6、类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了 40 只统计质量，得到结果如下表所示：（）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数） ；（）以频率估计概率， 若在本次购买的生蚝中随机挑选求 X 的分布列及数学期望.4 个，记质量在5,25)间的生蚝的个数为X，20.已知抛物线C : y22 px ( p0) 的焦点为F， A 为抛物线C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA | | FD |.当点A 的横坐标为3 时，ADF为正三角形.（）求抛物线C 的方程；（）

7、若直线l1 / l ，且 l1 和抛物线 C 有且只有一个公共点E ，试问直线 AE （ A 为抛物线 C 上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.21.设函数h( x)(1x)exa( x21)（）若函数h( x)在点(0, h(0)处的切线方程为ykx2 ，求实数k 与a 的值；（）若函数h( x) 有两个零点x1, x2 ，求实数 a 的取值范围，并证明：x1x20 .（二）选做题：请考生在第22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中， 已知曲线 M 的参数方程为x12c

8、os( 为参数 ), 以原点为极点x 轴正半轴为y12sin极轴建立极坐标系，直线l1 的极坐标方程为：，直线 l2 的极坐标方程为 = +2（）写出曲线M 的极坐标方程，并指出它是何种曲线；（）设 l1 与曲线 M 交于 A, C 两点， l 2 与曲线 M 交于 B, D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围23选修4 5：不等式选讲f ( x)| x1| xa | ( aR)（）当a4时，求不等式f ( x)5 的解集；（）若f ( x)4 对xR恒成立，求a 的取值范围。2020 届高三 9 月考试数学试卷（理）参考答案一、选择题1 5, DCCDC6 10, ABAAD11 12,

9、DB12.【答案】B【解析】当直线MN的斜率不存在时，设M（， y0）， N（， y0），由斜率之积为，可得，即， MN的直线方程为x 2；当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx+m，联立，可得ky2 y+m 0设 M（ x1， y1），N（ x2， y2），则，即 m 2k直线方程为ykx 2k k（x 2）则直线 MN 过定点（ 2， 0）则 O 到直线 MN 的距离不大于2故选： B 二、填空题13, ? x R， exx14， 415， 1016.【答案】【解析】由题意，设，有零点，即，整理得，即直线与有交点，又由，（），令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，又，当时，分

10、别画出与的图象，如图所示；由图象可得当，即时，与有交点，故答案为：三、解答题17.解：由题意知2sin Asin Bsin Asin B，cos Acos Bcos A cosB cos A cos B化简得 2 sin AcosBsin B cos Asin A sin B ，即 2sinABsin Asin B因为 ABC,所以 sinABsinCsin C从而 sin Asin B=2sin C由正弦定理得 ab2c( )由() 知 cab2a 2 b2所以 cosCa2b2c2a2b23 b a1 1，2ab2ab8a b42当且仅当 ab 时，等号成立故 cosC 的最小值为 121

11、8.解：（）取线段A1B 的中点 H ，连接 HD ， HF 因为在 ABC 中，D ， E 分别为 AB ， AC 的中点，所以DE/BC， DE1BC2因为H， F分别为，的中点，所以HF / BC，1，11HFBCA BA C2所以HF /DE ， HFDE ，所以 四边形 DEFH为平行四边形，所以 EF / HD 因为 EF平面 A1BD ， HD平面 A1 BD ，所以EF / 平面 A1BD （）分别以 OB,OC , OA1 为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，则面 BEC 的法向量 n1OA1 (0,0,2) ,A1(0,0, 2) , B(22,0,0),E(0,1,0

12、) ,则 A1B(22,0,2)A1E(0,1,2),设面 A1 BE 的法向量 n2(x, y, z) ，则 22x2z0 ，解得y2z0x222n1 n2222y2, 2,1)，所以， n2 (，所以 cos1111z12| n1 | n2 |22所以二面角 A1 EB22.C 的平面角的余弦值1119.解：（ 1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为1(610 10 201230840 4 50) 28.5 g ，40所以购进 500kg ，生蚝的数列均为500000 28.517554（只）；2（ 2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在5,25) 间的概率为P，5X 的可能取值为 0,

13、1,2,3,4，则 P(X0)(3)481,P( X1) C41 ( 2)1( 3) 3216,5625556252(2 2(3)2216,P(X3)3(2 3(3)196,P(X 4)(2)416P(X 2) C45)5625C45)56255625,所以 X 的分布列为所以E X216 39631648625625625520.解：（ 1）由题意知 F ( p ,0) ，设 D (t,0)( t0) ，则 FD 的中点为 ( p 2t,0) ，24因为 | FA | | FD |，由抛物线的定义知：3p | tp | ，解得 t3 p 或 t3 （舍去），由 p 2t223，解得 p2 ，

14、所以抛物线 C 的方程为 y 24x .4（ 2）由（ 1）知 F (1,0)，设 A( x0 , y0 )( x00) ， D ( xD ,0)( xD0)，因为 |FA| |FD |，则| xD 1| x01 ，由 xD0 得 xDx02 ，故 D ( x02,0) ，故直线 AB 的斜率为 k ABy0 ，因为直线 l1 和直线 AB 平行，2故可设直线 l1 的方程为 yy0xb ，代入抛物线方程得 y2 8 y8b0 ，2y0y0由题意知6432b0 ，得 b2y0 2y0.y0设 E( xE , yE ) ，则 yE44， xE2 ，y0y0当 y024 时， kAEyEy04 y

15、0，可得直线 AE 的方程为 yy04 y0(x x0 ) ，xEx0y024y024由 y024x0，整理可得y4 y0(x1)，所以直线AE 恒过点 F (1,0) ，y024当 y024 时，直线 AE 的方程为x1 ，过点 F (1,0) ，所以直线AE 恒过定点 F (1,0) .21.解：（ 1）因为 h ( x)xex2ax ，所以 kh (0)0又因为 h(0)1a ，所以 1a2 ，即 a1（ 2）因为 (1x)exax 2a ，所以 a(1x)ex，令 f x(1x) ex，x21x21则 fxx( x22 x3)exx( x 1)22ex，( x21)2(x21)2令 f

16、x0，解得x0，令 fx0 ，解得 x0，则函数 fx在 (,0) 上单调递增，在(0,) 上单调递减，所以fx maxf 01，又当x1f x0，当x1时，fx0，时，画出函数fx的图象，要使函数fx的图象与 ya 有两个不同的交点，则0a 1，即实数的取值范围为 (0,1) .由上知，x1x2 ，不妨设 x1x2 ，则 x1 (,0), x2(0, )，要证 x1x20 ，只需证 x2x1 ，因为 x2x1 (0,) ，且函数 fx 在 (0,) 上单调递减，所以只需证 fx2fx1，由 fx2fx1，所以只需 fx1fx1，即证 1x1ex11x1ex1，即证 (1)x(1)ex0对 x

17、( ,0) 恒成立，x121x121x ex令 g x(1 x)ex(1x)e x , x(,0) ，则 gxx(e xe)因为 x(,0) ，所以 e xe0 ，所以 gx0恒成立，则函数 g x在 x (,0) 的单调递减，所以gxg00，综上所述 x1x20 .22.解：（）由x12cos（为参数）消去参数得： ( x1)2( y1)24 ，y12sin将曲线 M 的方程化成极坐标方程得：2 -2(sincos)20 ，曲线 M 是以 (1,1) 为圆心 , 2 为半径的圆（）设 | OA |1,| OC |2 ，由 l1 与圆 M 联立方程可得22(sincos) 2 01 + 2 =2(sincos )， 12 =2 ，O，A，C 三点共线，则 | AC | | 12 |(12 )24 12124s