《函数的极值与最值》经典题(教师版)

1、函数的极值与最值经典题例 1. 已知函数 f xx33x2 ，求 f ( x) 的极值。解：由题意得 fx3x26x 3x x2令 fx0，解得 x1 0， x2 2x 变化时，f (x) 、 f ( x) 的变化情况如下表：x,000,222,fx00fx极大值极小值所以 f ( x) 的极大值为f (0) =0 ，极小值为f (2) = - 4变式 . 已知函数fxx32(a 0) ，求 f ( x) 的极值。13ax解：由题意得f x3x26ax3xx 2a令 fx0 ，解得 x10 ， x22a (a 0)x 变化时， f (x) 、 f ( x) 的变化情况如下表：x,000,2a2

2、a2a,fx00fx极大值极小值所以 f ( x) 的极大值为f (0) = 0 ，极小值为f (2 a) = - 4a3 。变式 2 . 已知函数fxx3 3ax2 ，求 f ( x) 的极值。解：由题意得fx3x26ax3x x2a令 fx0 ，解得 x10 ， x22a若 a 0 ，当 x 0 时， f (x)0 , f ( x) 单调递增；当 2a x 0 ，当 x 2a 或 x 0 时， f (x)0 ,f ( x) 单调递增；当 2a x 0f( x)0 ,f ( x) 单调递减。所以极小值为f (2 a) = - 4a3 ，极大值为f (0) = 0。变式 3 . 已知函数 fx

3、x33x2 ，求 f (x) 在 -1, 4 的最值。2解：由题意得 f x3x26x3x x2令 fx0 ，解得 x1 0， x2 2x 变化时， f 、 f ( x) 的变化情况如下表：( x)x,000,222,f x00fx极大值 0极小值-4又 f (-17， f (4) = 16) = -28 f ( x) 在 -1 , 4 的最小值为f (2) =- 4 ，最大值为f (4) = 16 。2变式 4 . 已知函数 fxax33a3 x (a0)，若 f ( x) 在 x = 1处取得极大值，数a的值。解： fxax33a3 x f (x)3ax 23a33a(x2a2 ) f (

4、x) 在 x =1处取得极大值 f (1) 3a(1 a2 )0 a0 a1或 a1当a 1时， f ( x)x33x ， f( x)3( x1)( x 1)当 x1或 x1时， f (x) 0，f ( x)单调递增；当1x 1 时， f ( x)0 , f (x)单调递减。所以f ( x) 在 x = 1处取得极小值，于是a1 不合题意，应舍去。当 a1 时， f ( x)x33x ， f ( x)3x233(x 1)( x 1)当x或x 1时， f (x)0 , f ( x) 单调递减；当1x 1时， f ( x)0 ， f (x)1单调递增。所以f ( x) 在 x = 1处取得极大值，

5、于是a1 符合题意。综上，实数 a 的值是 a1 。例2.已知函数f ( x) ln xax(1) 若 a 1 ，求 f ( x) 的极值；(2)若 a1 ,求 f (x) 在 1, e2 上的最大值；23 ，求 a 的值 .(3)若 f ( x) 在 1,e上的最小值为2(4)若 f (x)x2在 (1,) 上恒成立，求 a 的取值围 .解： (1) 当 a1 时， f ( x)ln x1(0,) ,，则 f ( x) 的定义域为x11x1f ( x)x x2x2 , 令 f ( x) 0 得 x 1 ,当 0x1时 ,f (x)0 , f ( x) 单调递减；当 x1 时 , f ( x)

6、0 , f ( x) 单调递增 . 所以 f ( x) 的极小值为f (1)1 , 无极大值。(2) 当 a1 时， f ( x)1，则 f (x) 的定义域为 (0,) ,ln xxf ( x)11x 1xx2x2，于是，当 x 在 1 ,e2 上变化时，211x( ,1)22f (x)f (x) 2 ln 2f ( x), f ( x) 的变化情况如下表：1(1,e2 )e20极小值 112e2由上表可得，当x2时函数 f ( x) 取得最大值21e2 .x ae， x1,e(3) f ( x)x2若 a1, 则 xa0 即 f(x)0 在1,e上恒成立， 此时 f ( x) 在 1, e

7、 上是增函数 f (x)minf (1)a3 a32(舍去 )2若 ae , 则 xa0 即 f(x)0 在 1,e上恒成立， 此时 f ( x) 在 1, e 上是减函数 f (x)minf (e)1a3 ae ( 舍去 )e22若 e a 1 , 令 f ( x)0 ，得 xa当 axe 时， f( x)0 f ( x) 在a,e 上为增函数当 1xa 时， f( x)0 f ( x) 在 1,a 上为减函数 f ( x)minf (a)ln(a)13 ae2综上， a 的值是e( 4 ) f (x) x2 ln x ax2又 x 0 a x ln x x3x令 g (x)xln x x3

8、 ，则 h(x) g (x) 1 ln x 3x2 h (x)16 x16x2xx x (1,) h ( x)0 h( x) 在 (1,) 上是减函数 h( x)h(1)20即 g (x)0 g (x)在 (1,) 上也是减函数 , g( x)g (1)1当 a1时 ,f ( x)x2 在 (1,) 上恒成立 .例 3 已知函数f ( x)ln xax(aR)( ) 求函数 f ( x) 的单调区间；2上的最值 .( ) 当 a时，求函数 f ( x) 在 1, e3( ) 当 a 0时，求函数f (x) 在 1,2上的最小值 .( ) 若函数 f ( x) 有两个零点，数a 的取值围；解：

9、()函数 f ( x) 的定义域是 (0,)， f( x)1ax1当 a0 时， f( x)a0，x故函数 f (x) 增函数，即函数的f (x) 单调增区间为 (0,) 当 a0 时，令 f ( x)1a0 ，可得 x1x,a当 0 x11ax0 ；当 x1时， f ( x)1ax0 ，a时， f ( x)xax故函数 f (x) 的单调递增区间为0, 1,单调减区间是1 ,.aa( )当 a2ln x2 x ， f ( x)1 2时， f ( x)33x3令 f120 解得 x3( x)x32当 133xe时， f( x)0，故 f (x) 在 x3x时， f ( x) 0；当时取得极22

10、2大值，也是最大值，f ( x) maxf ( 3)ln 3122 f (1)2 , f (e)1 2 e f (e)f (1)52 e52e0 ，故 f (x) 在 x e 时332 e333取得最小值，f (x)minf (e)13()当 11,即 a1 时 ,函数 f ( x) 在区间 1,2 上是减函数 ,a f ( x) 的最小值是 f (2)ln 22a .当 12 ，即 a1时，函数 f ( x) 在区间 1,2 上是增函数，a2 f (x)的最小值是f (1)a .当 112 ，即1a1时，函数 f ( x) 在 1, 1上是增函数，在1 , 2是减函数a2aa又 f (2)f

11、 (1)ln2 a ，当 1aln 2 时 ,最小值是 f (1)a ；2当 ln 2a1时 ,最小值为 f (2)ln 22a .综上可知 ,当 0aln 2 时 , 函数 f ( x) 的最小值是f ( x)min a ；当 aln 2 时，函数f (x) 的最小值是f ( x)minln 2 .( ) 由（ 1）知 a0 时， f ( x) 在 (0,) 单调递增，当x0 时， f (x)；当 x时， f (x)；所以 f ( x) 只有一个零点，不合题意。当 a 0时， f ( x) 在 (0, 1 )单调递增f ( x) 在 ( 1 ,) 单调递减，所以当 x1时，1aaaf ( x

12、)max1ln af ( )a当 x0 时， f ( x)；当 x时， f (x)；所以要使函数f (x) 有两个零点。11 ln a01f ( a )0只需即a0解得 0aa0e所以 0a1时， f ( x) 有两个零点。e1 ax2例 4 已知函数 f ( x)(2a 1)x2ln x (aR ) .2( ) 若曲线 yf (x) 在 x1和 x3处的切线互相平行，求 a 的值；( ) 求 f (x) 的单调区间；( ) 设 g( x)x22x ，若对任意 x1(0, 2 ，均存在 x2(0,2，使得 f (x1)g (x2 ) ，求 a 的取值围 .解： f ( x)ax(2 a1)20

13、) .(xx2（） f(1)f (3)，解得 a.3（） f( x)( ax1)( x2) ( x0) .x当 a 0 时， x0 ， ax 1 0 ，在区间 (0, 2) 上， f( x) 0 ；在区间 (2,) 上 f ( x)0 ，故 f (x) 的单调递增区间是(0, 2) ，单调递减区间是(2,) .当 0a1时， 12 ，2a在区间 (0, 2) 和 (1,) 上， f( x) 0 ；在区间 (2,1) 上 f( x)0 ，a(0, 2)和 (1 ,a故 f ( x) 的单调递增区间是) ，a单调递减区间是 (2, 1 ) .a2) 2当 a1(x)(x(0,) .时， f， 故

14、f ( x) 的单调递增区间是22x当 a112 ，时， 0a2在区间 (0,1)和 (2,) 上， f( x)0 ；在区间 (1, 2) 上 f( x)0，a(0, 1) 和 (2,a(1,2).故 f (x) 的单调递增区间是) ，单调递减区间是aa（）由已知，在(0, 2 上有 f ( x) maxg ( x) max由已知， g( x) max0 ，由（）可知，当 a1时， f ( x) 在 (0, 2上单调递增，2故 f (x)maxf (2)2a2(2 a 1)2ln 22a22ln 2 ，所以，2a2 2ln 20 ，解得 aln 2 1，故 ln 211a.1211当 a时，

15、f ( x) 在 (0, 上单调递增，在 , 2上单调递减，2aa故 f (x)maxf ( 1 )212ln a .1a12a1由 aln1， 2ln a2，2ln a2 ，可知 ln alne22所以，22ln a0 ， f ( x)max0，综上所述， aln 21.例 5已知函数f ( x)x3ax2ba, b R （ 1）求函数 f ( x) 的单调递增区间；（ 2）若对任意 a3,4，函数 f ( x) 在 R 上都有三个零点，数b 的取值围解：（ 1）因为 f ( x)x3ax 2b ，所以 f (x)3x22ax3xx2a 3当 a0 时， f (x)0 ，函数 f (x) 没

16、有单调递增区间；当 a0 时，令 f ( x)0，得 0x2a故 f (x)，得 2a3当 a0 时，令 f ( x)0x0 故 f (x)3的单调递增区间为2(0, a) ；3的单调递增区间为( 2 a,0) 3（）由（）知，a3,4时， f (x) 的单调递增区间为(0,221a) ，单调递减区间3为,0和 ( 2 a, + ? ) 所以函数f (x) 在 x 0 处取得极小值 f 0b ，3函数 f ( x)在 x2a处取得极大值2a4a3b 3f273由于对任意 a3,4，函数 f (x) 在 R 上都有三个零点，f00,b 0,4a32a4a30 所以即解得bf30.b0.2727因

17、为对任意 a4a34a34333,4 ， b恒成立，所以 b27 max4 2727所以实数 b 的取值围是4,0例 6 （ 2009 卷文）已知函数 f (x) x33ax 1,a 0求 f ( x) 的单调区间；若 f (x) 在 x1 处取得极值，直线y = m 与 yf (x) 的图象有三个不同的交点，求m 的取值围。解：（ 1） f ( x) 3x23a3( x2a),当 a0 时，对 x R ，有 f ( x)0,当 a0 时， f(x) 的单调增区间为(,)当 a0 时，由 f (x)0解得 xa 或 xa ；由 f ( x)0 解得axa ，当 a0 时， f ( x) 的单调增区间为(,a ),(a ,)