镇江数学卷小

1、2013 届高三调研测试试卷(镇江 )数学(满分 160 分，考试时间120 分钟 )2013 01一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分1. 已知集合 M 1 ， 2， 3，4， 5 ， N 2 ， 4， 6， 8，10 ，则 M N _ 2. 已知向量 a (1 2x， 2)， b (2， 1)，若 a b，则实数 x _3.直线 l 1： x 2y 4 0 与 l 2： mx (2 m)y 1 0 平行，则实数 m _4.方程 xlg(x 2) 1 有 _个不同的实数根5.已知 0，函数 y3sin x 的周期比振幅小1，则 _46. 在 ABC 中， sinA si

2、nB sinC2 3 4，则 cosC_ 7. 在等比数列 a n 中， Sn 为其前 n 项和，已知 a5 2S4 3， a6 2S5 3，则此数列的公比 q 为_ 8.3 11 123 1 4 121，31412观察下列等式： 1 2 22 ，12 223 2 13 2212 223 25 13113， ，由以上等式推测到一个一般的结论：对于 n N * ， 31 43 424212 22 31n2122 n n（ n1）2 _9.圆心在抛物线x2 2y 上，并且和抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为_ 2 10.在菱形ABCD 中， AB 2 3， B，BC3BE，DA3DF，则 E

3、FAC3_ x2y2F1、 F2，点 P 在双曲线的右支上，且PF111. 设双曲线 a2 b2 1 的左、右焦点分别为4PF2，则此双曲线离心率的最大值为_ 12. 从直线 3x 4y 8 0 上一点 P 向圆 C：x2 y2 2x 2y 1 0 引切线 PA、 PB， A、 B 为切点，则四边形 PACB 的周长最小值为 _ 13. 每年的 1 月 1 日是元旦节， 7 月 1 日是建党节， 而 2013 年的春节是 2 月 10 日，祝同学们新年梦想成真！ 因为 2sin11 sin71 sin(_) 30 sin2 013 sin210 ，新年将注定不平凡，请在括号内填写一个由月份和日

4、期构成的正整数，使得等式成立，也正好组成我国另外一个重要节日14. 已知 x、 y 为正数，则xy的最大值为 _2x yx2y二、 解答题：本大题共6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14 分 )已知 p：1 2x 8；q：不等式 x2 mx 40恒成立，若p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围16. (本小题满分14 分 )已知 ABC 的面积为S，且 AB AC S.(1) 求 tan2A 的值； (2) 若 B 4， |CB CA | 3，求 ABC 的面积 S.17. (本小题满分 14 分 )已知 a 0，函数 f(x) ax3 bx

5、(x R )图象上相异两点 A 、B 处的切线分别为l 1、l2，且 l 1 l2.(1)判断函数 f(x) 的奇偶性，并判断 A 、B 是否关于原点对称；(2)若直线 l1 、l 2 都与 AB 垂直，求实数 b 的取值范围18. (本小题满分 16 分 )一位幼儿园老师给班上k(k 3)个小朋友分糖果 她发现糖果盒中原有糖果数为a0，就先从别处抓 2 块糖加入盒中， 然后把盒内糖果的1分给第一个小朋友； 再从别处抓 2块糖加入盒12中，然后把盒内糖果的 3分给第二个小朋友； ，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓 2 块糖放入盒中，然后把盒内糖果的1分给第 n(n1， 2， 3， ，

6、k)个小朋友如果设n1分给第 n 个小朋友后 (未加入 2 块糖果前 )盒内剩下的糖果数为an.(1) 当 k 3， a0 12 时，分别求 a1， a2， a3；(2) 请用 an 1 表示 an；令 bn(n 1)an，求数列 b n 的通项公式；(3) 是否存在正整数 k(k 3)和非负整数 a0，使得数列 a n(n k) 成等差数列？如果存在，请求出所有的 k 和 a0；如果不存在，请说明理由19. (本小题满分 16 分 )已知椭圆 O 的中心在原点，长轴在x 轴上，右顶点A(2 ， 0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为312.不过 A 点的动直线 y2x m 交椭圆 O 于

7、 P、 Q 两点(1) 求椭圆的标准方程；(2) 证明 P、 Q 两点的横坐标的平方和为定值；(3) 过点 A 、P、 Q 的动圆记为圆 C，动圆 C 过不同于 A 的定点，请求出该定点坐标20. (本小题满分 16 分 )已知函数 f(x) x2，对一切正整数n，数列 a n 定义如下： a11，且 an1 f(an)，x2 x 12前 n 项和为 Sn.(1) 求函数 f(x) 的单调区间，并求值域；(2)求证： x|f(x) x x|f(f(x) x ；(3)对一切正整数n，求证： an1 an； Sn 12013 届高三调研测试试卷(八 )数学附加题 (满分 40 分，考试时间30 分

8、钟 )21. 【选做题】 本题包括 A 、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两题作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修 4-1：几何证明选讲 (本小题满分 10 分 )如图， O 的直径 AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点AC ， DE 交 AB 于点 F.求证： PDF POC.P，E 为 O上一点，AE B. 选修 4-2：矩阵与变换 (本小题满分 10 分 )22求曲线 C： xy 1 在矩阵 A222对应的变换下得到的曲线 C的方程222C. 选修 4-4：坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分 )求圆 3cos 被直线(t 是参数

9、 )截得的弦长D. 选修 4-5：不等式选讲 (本小题满分 10 分 )设函数 f(x) |x1| |x 2| a.(1) 当 a 5 时，求函数 f(x) 的定义域；(2) 若函数 f(x) 的定义域为 R ，试求 a 的取值范围【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤2 2x 交于不同两点 A 、 B ，求线段 AB 中点 M 的轨22. 已知斜率为 1 的直线与抛物线y迹方程23. 已知函数 f(x) ln(2 x)ax 在区间 (0，1)上是增函数(1) 求实数 a 的取值范围；(2) 若数列 a n 满足 a1 (0，

10、 1)， an 1 ln(2 an) an， nN * ，求证： 0 anan 1 1.2013 届高三调研测试试卷(八 )(镇江 )数学参考答案及评分标准24. 25.1 6. 17. 38.1 11.2，4 2.0 3. 34（n 1） 2n212 12 11.59. (x 1) (y- ) =1 10.12.4 222315. 解： p： 1 2x 8，即 0 x3， (3 分 )p 是q 的必要条件， p 是 q 的充分条件，(5 分 ) 不等式 x2 mx 4 0 对x (0，3) 恒成立， (713. 101 14. 23分) m x2 4 x4对 x(0， 3)恒成立 (10 分

11、 )x x44时，等号成立(13 分) x 2x 4，当且仅当 x 2xx m 4.(14 分 )16.解： (1)设 ABC 的角 A 、 B 、C 所对应的边分别为a、 b、 c. 1bcsinA ， (2 分 )AB AC S， bccosA 2 cosA 12sinA ， tanA 2.(4 分) tan2A 2tanA4.(5 分)1 tan2A3 分 )(2) |CB CA |3，即 |AB | c 3，(6 tanA 2， 0 A ， (7 分 ) 2 sinA 2 5， cosA 555.(9 分) sinC sin(A B) sinAcosB cosAsinB25252310

12、5 2 5 2 10.(11 分 )由正弦定理知：c bc sinB 5，(13 分)sinCsinBb sinCS 12bcsinA 125 3 2 5 5 3.(14 分)17. 解： (1) f( x) a( x)3 b( x) (ax3 bx) f(x) ，(2 分 ) f(x) 为奇函数 (3 分)设 A(x 1， y1)， B(x2 ，y2)且 x1 x2 ，又 f (x) 3ax2 b， (5 分 ) f(x) 在两个相异点A 、B 处的切线分别为l 1、 l2，且 l 1 l 2， k f (x2 b kf (x2 b(a 0)，11) 3ax122) 3ax2 x12 x22

13、.又 x1 x2， x1 x2， (6 分 )又 f(x) 为奇函数，点 A、B 关于原点对称 (7 分)(2) 由 (1) 知 A(x 1， y1)， B( x1， y1) ， kAB y1 ax21 b.(8 分 ) x12又 f(x) 在 A 处的切线的斜率k f 1(x) 3ax1 b，22 直线 l1、 l 2 都与 AB 垂直， kAB k 1， (ax1 b) (3ax1 b) 1.(9 分) 0b2 14b 0b 0.b2 3.又 t1t2 0，33综上 b3.(14 分 )18. 解： (1) 当 k 3， a0 12 时， a1 (a0 2)1(a0 2) 7，112a2

14、(a1 2) 3(a1 2) 6，a3 (a2 2)4(a2 2) 6.(3 分 )(2) 由题意知： an(an 1 2)1(an 1 2)n(an1 2)， (6 分 )n 1n 1即 (n 1)an n(an 1 2) nan 1 2n. bn(n 1)an， bn bn1 2n， (7 分 ) bn bn 1 2n，bn 1 bn 2 2n 2，b1b0 2.（ 2 2n）累加得 bn b02n n(n 1) (9 分 )又 b0 a0， bn n(n1) a0.(10 分 )(3) 由 bn n(n 1) a0，得 an n a0 ， (12 分) n 1若存在正整数k(k 3)和非

15、负整数a0，使得数列 a n(n k)成等差数列，则 a1 a3 2a2， (14 分 )13 a0 22a0a0 0， (15 分 )即 1 a0 324当 a0 0 时， ann，对任意正整数k(k 3)，有 a n(n k)成等差数列 (16分 ) 注：如果验证a0 ，a1， a2 不能成等差数列，不扣分 19. (1) 解：设椭圆的标准方程为x2y23.(2 分)2 2 1(ab 0)由题意得 a 2， e2ab c 3， b 1， (2 分 )2 椭圆的标准方程为x y2 1.(4 分 )4(2) 证明：设点P(x 1，y1) ，Q(x 2， y2)，将 y 12xm 带入椭圆，化简

16、得x22mx 2(m2 1)0， x1 x2 2m，x1x2 2(m2 1)， (6 分 ) x21 x22 (x1 x2)2 2x1x2 4， P、 Q 两点的横坐标的平方和为定值4.(7 分)2 2(3) 解：解法 1：设圆的一般方程为 x y Dx EyF 0，则圆心为点 M m，m， PQ 的垂直平分线的方程为y2x322m，(8分)圆心 D， E满足 y 2x3m，所以ED3m， (9 分 )22222圆过定点 (2，0)，所以 42D F 0， (10 分 )D E 2，2 PQ中x12 y12 Dx 1 Ey1 F 0，圆过 P(x1， y1)， Q(x2 ， y2)，则两式相加

17、得x22y22 Dx 2 Ey2 F 0，x12x22 y12 y22 Dx 1 Dx 2 Ey1 Ey2 2F 0，22x12x22 1 x1 1 x2 D(x 1x2)E(y 1 y2) 2F 0，(11 分 )44 y1 y2 m， 5 2mD mE 2F 0. (12 分 )1 动直线 y x m 与椭圆 C 交于 P、Q(均不与 A 点重合 )， m 1.2由解得3（ m 1）3335分 )D， E m， F2m ， (134222代入圆的方程为x2 y23（ m 1）33350，x4 2m 2 y 2m 222335333整理得x y4x 2y 2 m4x2y 2 0，(14 分)

18、22335x y 4x2y2 0，33(15 分)34x2y 2 0，x 0，x 2，解得或(舍 )y 1y 0. 圆过定点 (0， 1) (16 分 )解法 2：设圆的一般方程为x2 y2 Dx Ey F 0，将 y 12x m 代入的圆的方程：5x2 m DExm2 mE F 0. (8分 )242（m2 1）12m方程与方程为同解方程.5E m2 mE F， (11 分 )4m D 2圆过定点 (2，0)， 4 2D F 0.(12 分 )1 动直线 y x m 与椭圆 C 交于 P、Q(均不与 A 点重合 )， m 1.23（ m 1）33， F35.(13分 )解得 D， Emm42

19、222( 以下相同 )20. (1) 解：定义域 x R，f (x) 2x（ x2 x 1） x2（ 2x 1） x2 2x，(1 分)（x2 x 1） 2（ x2 x 1）2f (x) 0 0 x2， f (x) 0x 0或 x 2.(2 分 )函数 f(x) 的单调增区间为 (0， 2)，单调减区间为(， 0)和 (2， ) (3 分 )解法 1： f(0) 0， f(2) 4，当 x时， f(x) 1121， (4 分)311x xx (， 0时， f(x) 为减函数， f(x) 0， 1)；44当 x 0， )时， f(x) 0， 3；函数 f(x) 的值域为0，3 .(5 分 )解法

20、 2：当 x 0 时， f(0) 0，当 x 0 时， f(x) 11211234，1131 x xx24且 f(x) 0， f(2) 4， 函数 f(x) 的值域为0，433 .(5 分)解法 3：判别式法 (略 )(2) 证明：设 A x|f(x) x ， B x|f(f(x) x ，设 x0 A ，则 f(f(x 0) f(x 0) x0，则 x0 B， AB.(6当 x 0 时， (x 1)2 02x 12 x2 xx x 1x x1分 )f(x) x 恒成立当且仅当x 0、 1 时， f(x) x.(7 分 )令 tf(x) ，当且仅当 x1 时， t f(x) 1.当 x 0 时，

21、由 (1)f(f(x) f(t) 0，当 x 0 时， f(f(x) x 无解 (8 分 )当 0 x 1 时， f(f(x) f(t) t f(x) x， 当 0 x 1 时， f(f(x) x 无解 (9 分)综上，除x 0， 1 外，方程 f(f(x) x 无解， A B. x|f(x) x x|f(f(x) x (10 分 )22，又 a1 1， an 0，(3)n1 2anan 2证明： 显然 a132n an 1aan 2 4an 1an1 1 1，(11分)anan2 an 1n1 12 1aan an 1 an.若 an 1 an，则 an 1 矛盾 an 1 an.(12 分

22、 )2 证法 1： anan 1，11 1 1， 111 1，21 an 1 1ana2ana2aaann1n1n 1n 111111 1 ，111111an 1 2 1 1an 1an1 an1an 1an1an 1 an 11111(n 2)， (14 分) 1an 1an1an 1.(15 分 )1 an 1 0 a a 1， S 1an11.(16 分 )n 1n2n1 an1211证法 2： anan 1(13 分)21111an 1 an1 1122an 1 an 1an 1an 1111 an 11(14 分)11 11 11121an1 an1an 1an1an2an2 an

23、1 an21 121an3an3 1 an 1an 2 a1， Sn a1 a2 an 1.(16 分 )an 1 an2 a11(15 分)11a12013 届高三调研测试试卷(八 )(镇江 )数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明： AE AC ， CDE AOC ， (2 分 )又 CDE P PFD， AOC P OCP， (6 分 )从而 PFD OCP.(7 分 )在 PDF 与 POC 中， P P， PFD OCP，故 PDF POC.(10 分 )，y0)为曲线 xy 1 上的任意一点， 在矩阵 A 变换下得到另一点，yB. 解：设 P(x0P (x0 0)，x022

24、22x0则有22，(4 分)y0y0222（ x y），x0200即(6 分)2（ y0x0），0y2所以又点故有x02（ x0 y0），2(8 分)y02（ x y），200P 在曲线 xy 1 上，所以 x0y0 1，222，即所得曲线方程为22 2.(10分 )x0y0x yC. 解：将极坐标方程转化成直角坐标方程： 3cos ，即 x2 y2 3x，即 x 3 2 y2 9； (4 分)24x 2 2t，即 2x y 3， (6 分 )y 14t，3d22030，(8 分)22（ 1） 2即直线经过圆心，所以直线截得的弦长为3.(10 分 )D. 解： (1) 由题设知： |x1| |x 2| 5 0，