角平分线的性质

1、12.3 12.3 角平分线的性质角平分线的性质 第一课时第一课时 宜丰县棠浦中学 刘尊 不利用工具，请你将一张用纸不利用工具，请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什片做的角分成两个相等的角。你有什 么办法？么办法？ A O B C 活活 动动1 （对折）（对折） 1、如图，是一个平分角的仪、如图，是一个平分角的仪 器，其中器，其中AB=AD,BC=DC。 将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD 沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一画一 条射线条射线AE,AE就是角平分线，就是角平分线， 你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗? 活活 动动2 A D B C E 如

2、果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ p2、证明： 在ACD和和ACB中中 AD=AB DC=BC CA=CA ACD ACB（SSS） CAD=CAB AC平分平分DAB A DB C E 根据角平分仪的制作原理怎样根据角平分仪的制作原理怎样 作一个角的平分线？（不用角平分作一个角的平分线？（不用角平分 仪或量角器）仪或量角器） O A B C E 活活 动动3 N O M C E N M 分别以，为分别以，为 圆心大于圆心大于 的长为的长为 半径作弧两弧在半径作弧两弧在AOB 的内部交于的内部交于 2

3、1 作法：作法： 以为圆心，适当以为圆心，适当 长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于， 交于交于 作射线作射线OC 则则射线即为所求射线即为所求 1 1平分平角平分平角AOBAOB 2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后， 把它反向延长得到直线把它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线 ABAB是什么关系？是什么关系？ 3 3结论：结论：作平角的平分线即可平分平角，作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到由此也得到过直线上一点作这条直线的垂过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。线的方法。 活活 动动4 AB O C D 探究角平分线的性质

4、(1)实践实践：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 活活 动动5 (2)(2)猜想猜想: :角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的 两边的距离相等两边的距离相等. . 证明：证明：OC平分平分 AOB 1= 2 PD OA，PE OB PDO= PEO 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO 1= 2 OP=OP PDO PEO（AAS） PD=PE P P A A OO B B C C E

5、E DD 12 已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC 上，上，PDPDOAOA于点于点DD，PEOBPEOB于点于点E E 求证求证: PD=PE: PD=PE 探究角平分线的性质探究角平分线的性质 活活 动动5 (3)验证猜想验证猜想 (4)得到得到角角 平分线的平分线的 性质：性质： 活活 动动5 利 用 此 性 质利 用 此 性 质 怎样书写推理过怎样书写推理过 程程?(几何语言几何语言) 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知） PD=PE（全等三（全等三 角形的对应边相等）角形的对应边相等） P P A A OO B B C C

6、E E DD 12 O A B E D 思考：思考： 如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任意上任意 一点一点,问问PE=PD?为什么为什么? C P PD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不它们不 是角平分线上任一点这个角两是角平分线上任一点这个角两 边的距离边的距离,所以不一定相等直所以不一定相等直 如 图 ： 在如 图 ： 在 A B C 中 ，中 ， C=90 AD是是BAC的平分的平分 线，线，DEAB于于E，F在在AC上，上， BD=DF； 求证：求证：CF=EB A CD E B F 分析分析:要证要证CF=EB,首先我们想到的是要证它首先我们想到

7、的是要证它 们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(斜边相等斜边相等),还需还需 要我们找什么条件要我们找什么条件 DC=DE (因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质) 再用再用HL证明证明. 试试自己写试试自己写 证明。你一证明。你一 定行！定行！ 活动6： 1 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线； ( (注意作图痕迹和几何语言的表达注意作图痕迹和几何语言的表达) ) 及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线； 2 2：角平分线的性质：角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的角的平分线上的点到角的两边的距离距离 相等相等 3：角平分线的性质的应用：角平分线的性质的应用 B O A C D P E 1.如图，如图，OC是是AOB的平分线，的平分线， PD=PE PDOA，PEOB 练习： 2.如图如图,在在ABC中，中， ACBC，AD为为BAC的平的平 分线，分线，DEAB，AB7， AC3，求，求BE的长。的长。 E D C B A 4cm 3.在在RtABC中，中，BD平分平分ABC， DEAB于