实用二面角求法实例(二

1、实用二面角求法实例（二）本实例与实用二面角求法（一）配合使用方法1：定义法例1 如图四面体ABCD的所有棱长均为2，求二面角A-BD-C的大小？解答：解：取BD的中点E，连接AE，CE，则AEBD，CEBD， AEC是二面角A-BD-C的平面角。四面体ABCD所有棱长均为2，AE=，EC=，AC=2=，AEC方法2：三垂线法例2 如图，平面，若AB=1，BC=BD=2CD=2，求二面角ACD-B的大小？解：过B作BECD交CD于，连接AE,平面,CD，CD平面AEB，AECD，AEB是二面角A-CD-B的平面角。（本人不会画图，请谅解）在等腰BCD中，BE=在RtAEB中，tanAEB=EAE

2、B= 方法3：垂面法例3 自二面角内的一点P到两个平面的距离PA=PB相等,两个垂足间的距离AB=,求此二面角的度数。解：如图，P是二面角内的一点，PA,A,B分别为垂足，过平面PAB与平面和的交线AC、CB，ACBP所以ACB是二面角的平面角，在PAB中，APB在四边形ACBP中，PAAC,PBCB, ACB=-BACDS方法4：射（投）影法例4. 如图ABCD是直角梯形，ABC=90，SA面ABCD. SA=AB=BC=1 AD= 求面SCD与面SBA所成的二面角的大小?解：SA平面ABCD, SAAD，又 ADAB，AD平面SAB，同理，CB平面SAB，则SDC在平面的射影是SAB，在R

3、tSAD中SD=，在直角梯形ABCD中，CD =，在RtSAC，AC=，SC=SC上的高为 ，,又则=.,即面SCD与面SBA所成的二面角的大小为。方法5：向量法（1）棱上取两点向量法例5如图，在二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB已知AB=2，AC=3，BD=4，CD=求AB二面角的大小？解：由已知条件知，则17-（9+4+16）12设AB二面角为，即向量的夹角。，1200（2）平面法向量法例6 将如图1的直角梯形ABEF（图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示（）求证：BE面ADF；

4、（）求证：ACFB；（）求AEM的大小（）求二面角D-BF-E的大小 对于（I）（）可用几何法证明，而（）（）用几何法不直观，用向量法更方便，有时一次性建立空间直角坐标系，也可证明线与线及线与面的关系。解（I）由图形得知，CDAD，FD平面ABCD,以DA、DC、DF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示得到A(1,0,0)、B(1,1,0)、C(0,1,0)、E(0,1,1)、F(0,0,2)各点的坐标。取DF的中点M，连结AM，M(0,0,1),，AMBE，BE平面ADF（II）连接AC, ，ACFB（）连接AE，AEM是向量的夹角，（）ACFD，ACFB，AC平面DEF，（-1，1，0）是平面DEF的法向量设平面BFE的法向量n=(x,y,z)， -x+z=0 -y+z=0 令z=1, n=(1,1,1)则向量的夹角为平面D-BF-E的二面角， 900，平面DBF与平面EBF互相垂直。方法6：无棱补棱法例7 过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PA=1，AB=，求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小?解：根据二面角的平面角的定义可知在平面PAB内，过点P作PQAB，则PQ为平面PAB和平面PCD所成二面角的棱。PA平面ABCD，P