2017年高考理科数学全国2卷-含答案(二)

1、2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 ( 全国 2 卷)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3 i1. （）1 iA 1 2iB 1 2iC 2 iD 2 i2.设集合1,2,4 ，x x24x m0若 I1 ，则（）A 1, 3B 1,0C 1,3D 1,53.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏B 3 盏C 5 盏D 9

2、盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A 90B 63C 42D 362x3y305.设 x ， y 满足约束条件2x3y30 ，则 z2xy 的最小值是（）y3 0A 15B 9C 1D 96.安排 3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种B 18 种C 24 种D 36 种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成

3、绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的a1 ，则输出的 S（）A2B 3C 4D 5222C: a2b2a 0b09.若双曲线1（，）的一条渐近线被圆x 2y24 所截xy得的弦长为2，则 C 的离心率为（）A2B 3C223D310.已知直三棱柱C11C1 中，C 120o，2 ，CCC11，则异面直线1 与C1 所成角的余弦值为（）开始输入 aS=0,K=1否K6是S=S+a?Ka= aK=K+ 1输出 S结束1A3B15C 10D32553

4、11.若 x2 是函数 f (x) ( x2ax1)ex 1 的极值点，则f (x) 的极小值为（）A.1B.2e 3C.5e 3D.1uuur uuuruuur12.已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 PA (PBPC ) 的最小值是（）A.2B.3C.4D.123二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分。13.一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次， 表示抽到的二等品件数，则 D 14.函数 f xsin 2 x3 cos x3（ x0,）的最大值是4215.等差数列an的前 n 项和为

5、Sn ， a3 3 ， S4n110 ，则k 1 Sk16.已知 F是抛物线 C: y28x 的焦点，是 C 上一点， F的延长线交 y 轴于点 若为 F的中点，则 F三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、 23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17.（ 12分）ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为a,b, c ,已知 sin( AC ) 8sin 2 B (1)求 cosB(2)若 a c 6 ,ABC 面积为 2,求 b.218.（ 12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖

6、方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：频率组距0.068频率组距0.0400.0340.0460.0320.0440.0240.0200.0140.0200.0120.0100.008箱产量 /kg0.004O25 3035 40 45 50 556065 70O35 40 45 5055 60 65箱产量 /kg70旧养殖法新养殖法2（ 1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg ”,估计 A 的概率；（ 2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99% 的

7、把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg箱产量 50kg旧养殖法新养殖法（ 3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01 ）P（ ?2 ?）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K 2n( ad bc)2d )(ab)( c d )(a c)(b19. （ 12 分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD，AB BC1AD , BADABC 90o , E是 PD 的中点 .2（ 1）证明：直线 CE / / 平面 PAB（ 2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角

8、为求二面角 M-AB-D 的余弦值45o ，PEMADBC320.（ 12 分）设 O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C： x2y21上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为N，点 P 满2uuuruuuur足 NP2 NM .(1) 求点 P 的轨迹方程；uuur uuur(2) 设点Q在直线x=-3 上，且 OP PQ1 .证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点 .F21.（ 12 分）已知函数f (x)ax2axx ln x, 且 f ( x)0 .（ 1）求 a；（ 2）证明：f ( x) 存在唯一的极大值点x0 ，且 e 2f ( x0 )2 2 .（二）选考题：共10 分。请考生在

9、第22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（ 10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程为cos4 （ 1） M 为曲线 C1 上的动点，点P 在线段 OM 上，且满足 | OM | |OP | 16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；（ 2）设点 A 的极坐标为 (2,) ，点 B 在曲线 C2 上，求OAB 面积的最大值323.选修 4-5：不等式选讲 （ 10 分）已知 a0, b0, a3b32 ，证明：（ 1） (ab)( a5b5 )4 ；（ 2） ab

10、242017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 ( ) 试题答案一、选择题1.D 2.C3.B4.B5.A6.D7.D 8.B 9.A10.C11.A12.B二、填空题13. 1.9614. 115.2n16. 6n1三、解答题17. 解：2（ 1）由题设及ABC得 sin B8sin，故sin B（4 1-cosB）上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0解得 cosB=1（舍去）， cosB= 15（ 2）由 cosB= 15 得 sin B8171 ac sin B4 ac，故 S ABC1717217又 S ABC =2，则 ac172由余弦定理及 a c6 得

11、b2a22（a+c）36 242c2accosB17 15 (1 )217所以 b=218.解：（ 1）记 B 表示事件 “旧养殖法的箱产量低于50kg ”， C 表示事件 “新养殖法的箱产量不低于50kg ”由题意知 P AP BCP B P C旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为（0.0400.0340.0240.0140.012） 5=0.62故 P B 的估计值为 0.62新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为5（0.0680.0460.0100.008） 5=0.66故 P C 的估计值为 0.66因此，事件 A 的概率估计值为 0.620.660.4092（ 2）根据箱产量的频

12、率分布直方图得列联表箱产量50kg箱产量 50kg旧养殖法6238新养殖法3466200626634382K 215.70510010096104由于 15.7056.635故有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关（ 3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为0.0040.0200.04450.340.5 ，箱产量低于 55kg 的直方图面积为0.0040.0200.044+0.06850.680.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为0.5-0.34 5（）50+2.35 kg0.06819.解：（ 1）取 PA 中点 F ，连结 EF ， BF 因为 E

13、 为 PD 的中点， 所以 EF PAD , EF =11AD ,由 BADABC 90 得 BC AD ，又 BCAD22所以 EF BC 四边形 BCEF 为平行四边形， CE BF 又 BF平面 PAB ， CE平面 PAB ，故 CE 平面 PAB（ 2）由已知得 BAuuuruuurAD ,以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则 A(0 ，0 ，0) ， B(1，0 ，0) ， C (1，1，0) ， P(0 ，1， 3) ，6uuur，uuur(10，0) 则PC3), AB(10uuuur， ，uuuur，

14、BMz), PM (xyz3)(x 1y1因为 BM 与底面 ABCD所成的角为45，而 n(0，0，1) 是底面 ABCD的法向量，所以cosuuuursin 450 ，z2BM , ny2z2(x 1)22即（ x-1） 2+y2 -z2=0uuuuruuur又 M 在棱 PC上，设 PMPC,则x, y 1,z33x=1+2x=1-222y=1( 舍去 )， y=1由 ，得66zz22所以 M 1-2 ,1， 6uuuur1-2 ,1， 6，从而 AM2222设 m =x0 , y0 , z0 是平面 ABM 的法向量，则uuuur02-2x2y6z0gm AM000uuur即m gAB

15、0x00所以可取 m=（ 0， -6 ， 2）.于是cosm, nmgn10mn5因此二面角 M-AB-D 的余弦值为10520.解（ 1）设 P（ x,y） ,M （ x0,y0） ,设 N（x0,0） ,uuuruuuurNPxx0 , y , NM0, y0uuuruuuurx=x, y2y由 NP2 NM 得002因为 M（ x0,y0）在 C 上，所以 x2y2122因此点 P 的轨迹方程为 x2y227（ 2）由题意知 F（ -1,0） .设 Q（ -3， t） ,P(m,n),则uuur3,tuuur1uuuruuur33m tn ，OQ, PFm, n , OQgPFuuurm

16、, nuuur3m,tn,OP, PQuuur uuur1得 -3 m m2tn n21，又由（ 1）知22=2由 OP PQ，故gm +n3+3m-tn=0uuur uuur0uuuruuurOQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C所以 OQ gPF，即 OQPF 又过点 P 存在唯一直线垂直于的左焦点 F.21.解：（ 1） fx 的定义域为 0，+设 gx= ax - a - lnx ，则 fx= xg x , fx0 等价于 gx0因为 g1 =0，gx0, 故g1=0, 而gxa1 , g 1 =a1, 得a1x若 a=1，则 g x1x0, gx 单调递减；当x1 时

17、， g x 0， gx 单调递= 1.当 0 x 1 时， gx增 .所以 x=1 是 gx的极小值点，故 gxg1=0综上， a=1（ 2）由（ 1）知 fxx 2xx lnx , f( x )2x2ln x设 h x2x2ln x , 则 h ( x )21x当 x0, 1时， h x 0；当 x1 ,+时， h x 0，所以 hx在 0, 1单调递减， 在1 ,+单2222调递增又 he2 0, h10, h10 ，所以 hx在 0, 1有唯一零点x0 ，在1 ,+有唯一零点1 ，且当222x0, x0 时， hx 0；当 xx0 ,1时， hx 0，当 x1,+时， h x0 .因为 f xhx，所以 x=x0是 f(x)的唯一极大值点由 f x00得 lnx02( x 01), 故 f x 0 =x0(1x 0 )由 x00,1得 fx0 14因为 x=x0 是 f(x)在（ 0,1）的最大值点，由e 10,1 , f e 10 得8f x 0 fe 1e 2所以 e 2 f x 02-222.解：（ 1）设 P 的极坐标为，0， M 的极坐标为1，10，由题设知OP = ，OM=1 =4cos由 OM gOP= 16 得 C2 的极坐标方程=4co