基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的设计

1、基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的设计 完成日期： 指导教师签字： 答辩小组成员签字： 基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的设计摘 要在现代信号信息处理领域，自适应信号处理是一个非常重要的分支。随着研究深入，人们发现在回声对消、高速通信信道等含有非线性干扰的环境, 线性自适应滤波器的线性本质使其性能并不理想。为了弥补线性滤波器在现实应用中的缺陷，人们越来越关注非线性滤波器的研究。近年来，非线性滤波器在理论上和应用上取得了长足的进步，其中，Volterra滤波器结构简单、性能良好，是线性系统在非线性系统中的推广，被广泛用于回波抵消、系统辨识、混沌预测等领域。本文主要研究了基

2、于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的设计。首先，介绍了Volterra自适应滤波器的基础理论，包括Volterra级数模型、现阶段非线性自适应滤波器的种类，以及LMS、RLS自适应算法。然后，研究了基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的设计，介绍自适应噪声抵消器的基本原理。最后，设计了基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器，进行仿真，并对基于Volterra LMS、Volterra RLS滤波器以及步长不同的Volterra LMS滤波器的噪声抵消器的性能进行了讨论。关键词： Volterra滤波器；噪声抵消器；LMS自适应算；RLS自适应算法The Design of

3、 Noise Canceller Based on Volterra Adaptive FilterAbstractIn the field of signal and processing,adaptive signal processing has been one of the major topics of signal processing society.In the filter design problems,linear filter and its problem setting have dominated due to the advanced theoretical

4、mathematical tools provided by the theory on linear systems.However,despite these advantages owned by linear filter algorithm,not all signal processing problems can be satisfactorily addressed through the use of linear filters. In order to overcome the shortcomings of the linear filter,more attentio

5、n was paid to the research of the nonlinear filter.One constructive and versatile approach to nonlinear filters is the Volterra filter,whichT has been widely applied in fields of echo cancellation,system identification,chaotic forecasting,etc. This paper focuses on the design of the noise canceller

6、based on the Volterra adaptive filter.Firstly,the basic theory of the Volterra adaptive filter is introduced,which includes the Volterra series model,some kinds of nonlinear adaptive filter at present stage ,LMS adaptive algorithm and RLS adaptive algorithm.Secondly,the design of the noise canceller

7、 based on the Volterra adaptive filter is studied,and the basic theory of adaptive noise canceller is introduced.Finally,the noise canceller is designed and simulated,and the performance of noise canceller based on Volterra LMS filter,Volterra RLS filter and Volterra LMS filters with different step

8、size is discussed.Keywords： Volterra filter; noise canceller;LMS adaptive algorithm;RLS adaptive algorithm目 录1 绪论1.1 研究背景和意义11.2 基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的发展现状11.3 本文的主要工作及章节安排22. Volterra自适应滤波器的基础理论2.1 Volterra级数模型42.1.1 Taylor级数42.1.2 Volterra级数42.1.3 Volterra级数与幂级数52.2 其他非线性自适应滤波器62.3 线性自适应算法62.3.1

9、最小均方自适应LMS算法62.3.2 递归最小二乘RLS算法72.3.3 其他线性自适应算法82.3.4 本章小结93 基于自适应滤波器的噪声抵消原理3.1 基于自适应滤波器的噪声抵消的研究意义103.2 基于自适应滤波器的噪声抵消器的基本结构103.3 基于自适应滤波器的噪声抵消器的基本原理104 基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的设计与仿真4.1 基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的设计124.2 设计及仿真结果的分析124.2.1 基于VLMS自适应滤波器的噪声抵消器的仿真结果与分析124.2.2 基于VRLS自适应滤波器的噪声抵消器的仿真结果与分析175 总结与展

10、望6 附录6.1 基于VLMS自适应滤波器的噪声抵消器程序226.2 基于VRLS自适应滤波器的噪声抵消器程序231 绪论1.1 研究背景和意义在现代信号与信息处理学科中，自适应信号处理是一个非常重要的分支，自适应滤波理论与技术也是统计信号处理与非平稳信号处理的重要组成部分。线性自适应滤波器因为研究历史较长、理论更加成熟、数学分析较为简单、更加易于设计和实现，而得到广泛应用，成为了早期的信号与图像处理的主要工具。但随着研究的不断深入，人们发现了线性自适应滤波器在现实应用中的诸多不足。线性滤波通常需要对噪声与信号的先验知识，这个条件在实际应用中往往不被满足。线性滤波理论是基于频域分隔的理论，这使

11、得信号中的一些重要特征会在平滑噪声一起被平滑和模糊。现实信号在获取、传输与交换过程中会因多种噪声源的影响而退化。这些噪声中可能存在信号关联噪声和脉冲噪声，线性自适应滤波对这两种噪声的平滑效果很差。这些原因使得非线性滤波器成为研究的热点课题之一。特别是近二十年，非线性滤波器在理论上和应用上取得了长足的进步，出现了多种非线性滤波器。因产生背景的不同，非线性滤波器的种类大致可分为：多项式滤波器、同态滤波器、形态滤波器、排序统计滤波器与其他种类的滤波器。其中，基于Volterra 级数的多项式滤波器，使线性和非线性项得到了综合应用，性能优于其它的非线性自适应滤波器。同时Volterra 级数是一种泛函

12、数，当输入信号能量为有限值，我们可以使用Volterra核无限逼近大部分非线性系统，且非线性系统都存在其固有的Volterra核。另外，当Volterra滤波器的级数为1时，其Volterra的核函数就是通常的线性脉冲响应函数，当其级数大于1时，Volterra级数模型可看做线性系统脉冲响应函数模型在非线性系统中的推广。Volterra滤波器因为具有结构简单、性能良好，使线性算法较好的用于非线性系统的的特点，被广泛用于回波对消、系统辨识、混沌预测等领域。而自适应滤波器的噪声抵消器可以利用自适应滤波器自动调节自身函数的能力，克服了最优滤波器必须依据信号和噪声的先验知识的缺点，因此得到广泛应用。本

13、文从Volterra自适应滤波器的基础理论出发，结合了Volterra级数、自适应LMS算法、自适应RLS算法与自适应噪声抵消的基础理论，研究了基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的设计方法，并通过具体仿真，对选用不同步长的基于Volterra LMS自适应滤波器的噪声抵消器以及基于Volterra LMS自适应滤波器的噪声抵消器与基于Volterra RLS自适应滤波器的噪声抵消器的性能进行了讨论。1.2 基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的发展现状1880年，为求解积分方程与微分方程，意大利数学家Vito Volterra首先提出Volterra级数这一概念，但起初是作为

14、对Taylor级数的推广。1887年，Volterra首先引用级数对非线性滤波问题进行研究，提出可以利用Volterra级数来分析非线性滤波器的输入/输出关系特性。1942年，N.Wiener率先应用Volterra级数对非线性系统模型进行描述，并用这种级数模型用于存在非线性电阻的RLC电路对高斯信号的分析。但是在以后的很长一段时间内，由于Volterra级数滤波器的运算量会随着阶次呈指数型增长，并受当时运算能力的制约，Volterra级数模型的实际应用很少，人们把主要的精力投入了线性滤波的理论和方法。九十年代以来，随着数字信号计算能力的增强以及人们对系统性能要求的不断提高，非线性滤波理论逐渐

15、成为理论研究的热点，Volterra级数滤波理论的重要性也被越来越多的人所承认，国内外学者在Volterra自适应滤波算法以及基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器方面取得了丰厚的成果。Coker与Simkins将线性自适应滤波器LMS算法与Volterra自适应算法结合，提出了Volterra最小均方误差算法；Mathews也在研究了Volterra非线性模型后提出了与线性滤波器类似且一二阶收敛因子不同的Volterra非线性自适应算法；在VLMS算法的基础上，罗永建等将修正LMS Newton算法引用到Volterra滤波器，使收敛性能得到改善；Davila，Welch与Ryland

16、er将Volterra算法与递归最小二乘算法结合，提出了收敛效果较好的VRLS算法；二阶Volterra数据块LMS算法能够充分利用更多的输入信号与误差信号，使算法的收敛程度得到提高，但固定数据块长度使该算法存在收敛速度与稳态误差的矛盾，针对该问题，赵知劲等人提出了二阶Volterra变数据块长LMS算法；在针对Volterra滤波器步长选择问题，刘岚等人提出了一种改进的收敛因子最优的二阶Volterra滤波器LMS算法；在针对滤波器线性部分与非线性部分输入信号相关性不同的问题，严平平提出了一种二阶Volterra变步长解相关NLMS算法；在Volterra滤波器现实应用与基于Volterra

17、自适应滤波器的噪声抵消器设计方面，Taiho Koh和Powers针对Volterra自适应滤波器的实际应用复杂问题进行了Volterra自适应滤波器应用问题的研究，并针对船在随机海浪中的非线性现象进行建模；Stenger，Trautmann等人对基于二阶自适应Volterra滤波器的非线性回声信号抵消器的具体设计进行了研究；佟斌则针对实际工作环境中的噪声和扰动对辨识系统的输入输出数据造成的影响，提出了基于Volterra滤波器的总体最小均方自适应（TLMS）算法；Dayong Zhou等人则针对非线性噪声抵消器运算复杂的问题，提出了改进的窄带结构的Volterra自适应滤波器，张秀梅等人提出

18、了一种利用sigmoid函数对噪声进行预处理的基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器。1.3 本文的主要工作及章节安排本文主要研究了基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的设计问题，具体的研究内容是：第一章介绍了基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器设计问题的研究背景与意义，对Volterra级数的提出与发展、实际应用与基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的发展状况进行了系统概述，最后介绍了本文的主要工作与章节安排。第二章介绍了Volterra级数模型的基础理论，非线性自适应滤波器现阶段发展概况，和以LMS、RLS算法为主体的自适应算法。这为后续的基于Volterra

19、自适应滤波器的噪声抵消器的设计提供了理论基础。第三章系统介绍了基于自适应滤波器的噪声抵消器的基本原理、具体结构、应用方式，为具体的基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的设计提供了理论基础与指导思想。第四章分别设计了基于VLMS自适应算法、基于VRLS自适应算法以及采取不同步长的基于VLMS自适应算法的噪声抵消器，使用Matlab进行仿真，并对仿真结果进行了讨论与分析。第五章总结全文，并对需要进一步研究的问题进行讨论。2. Volterra自适应滤波器的基础理论2.1 Volterra级数模型2.1.1 Taylor级数对于任意已知函数f（x），若该函数能在x。的某个邻域内存在各阶导数，

20、.，.，则函数f(x)可展开为Taylor级数：=+.+. (2.1)在式（2.1）中，若x。=0，则：=+.+. (2.2)式（2.2）被称为函数f(x)的迈克劳林级数。若f(x)能够展开为x的幂级数，则展开式唯一，且与f(x)的迈克劳林级数一致。2.1.2 Volterra级数Volterra级数可以看做具有记忆功能的Taylor级数。在许多场合，我们可以用Volterra级数的截断形式来表示非线性系统，并使用高阶统计学知识进行分析。连续Volterra级数表示方式为：= （2.3）式中:= （2.4）式中，u(t)，y(t)R；函数 被称作p阶Volterra核或被称为广义脉冲响应函数；

21、 ，（p1）为由p阶Volterra核构成的p阶子系统的系统输出。在式（2.1）中，u(t),y(t)分别为滤波器的输入与输出信号，式（2.3）给出的Volterra级数描述了非线性滤波器的输入输出特性，该滤波器被称为Volterra级数滤波器。若 = ，该系统为是不变系统。而且我们可以看到，若当p1时 =0，则式（2.4）表示的是线性系统模型，其中 表示的是系统脉冲响应。因此，我们可以认为Volterra级数模型是线性系统脉冲响应函数模型在非线性系统中的推广。若当pN时，=0，则该系统称 为有限阶级数系统，或N阶Volterra级数系统。对比与连续情况，若我们假设离散时非线性系统的输入输出序

22、列为u（n）与y（n），那么输出序列y（n）可以用Volterra级数如下表示：=+.+ +.+ = （2.5）在上式中= (2.6)与连续情况相似的是，若我们取p=1，式（2.5）中的 就是我们通常所说的线性脉冲响应函数。同样的， 可以被看作p阶子系统的广义脉冲响应函数，我们可以利用该函数对系统的非线性特性加以描述。为使离散的Volterra非线性级数滤波器能够针对现实问题进行使用，我们通常使用N阶Volterra模型，这需要我们将（2.5）式的上限用N取代。对于二阶Volterra级数滤波器，有=+ （2.7）若选择滤波器的储存长度（记忆长度）为M，即选定滤波器的阶数为M，则我们可以确定二

23、阶Volterra级数M阶滤波器表达式为：=+ （2.8）2.1.3 Volterra级数与幂级数在非线性自适应滤波理论中，Volterra级数理论是研究投入最大、研究成果最多、应用最广泛的具体理论知识，Volterra级数理论的本质优势在于它和幂级数有着很多类似的地方与紧密的联系，这使它更容易被科学研究人员与技术工程人员掌握与接受。Volterra级数理论的现实物理意义非常鲜明，在工程技术领域与实际非常切合，在面对实际的非线性问题，Volterra级数是一个非常有效的工具与方法。针对式（2.3）中的核函数，我们不妨设它为= （2.9）将该函数核带回原式，我们可以得到=这时我们可以看到，经过上

24、述变化Volterra级数已经退化成为一个标准幂级数，所以我们可以得到结论：Volterra级数模型是幂级数的推广。2.2 其他非线性自适应滤波器随着研究的不断深入，人们发现了线性自适应滤波器在现实应用中的诸多不足。因此在近几十年，非线性自适应滤波器成为滤波器领域的研究热点。由于产生背景的不同，现阶段的非线性滤波器种类较为丰富，除了现在我们常用的Volterra非线性自适应滤波器外，现有的非线性滤波器还有：同态滤波器、排序统计滤波器、形态滤波器、神经网络等。同态滤波器。同态滤波器是最早被提出的一类非线性滤波器，它的提出是用来滤除与信号相关联（卷积或乘积）的非加性噪声。它的基本理论是充分使用非线

25、性系统模型，将卷积或乘积在有用信号的非线性信号组合变为加性信号组，然后按照要求对加性信号组合进行线性滤波，最后再使用非线性逆系统对线性滤波后的信号进行逆变换，从而得到整体同态滤波器系统的输出。现阶段，同态滤波器主要用于图像、地震信号和语音信号的处理。排序统计滤波器。排序统计滤波器是囊括了一大类种类丰富的非线性滤波器，它的理论基础是排序统计学知识。在排序滤波器中，最为著名的是中值滤波器。中值滤波器以稳健估计理论为理论基础，其改进型滤波器的研究在近年取得了较大进步。此外，层叠滤波器因其具有层叠组合特性与阈值分解特性、可将多值信号分解为二值序列而用于并行实时处理的特点而成为研究热点。现阶段，排序统计

26、滤波器的研究重点是其快速算法的研究和专用VLSI芯片的开发。形态滤波器。形态滤波器是一种较为新型的非线性滤波器，它发源于数学形态学，它通过选择较小的图像特征集合（结构元，Structuring element）与数字图像相互作用来实现非线性信号处理，是现阶段很具有发展前景的非线性滤波器之一。神经网络。神经网络是一种通过模仿和拓展人类大脑思维、意识、智能等功能来实现非线性信号处理的非线性自适应滤波器。为了面对动态的非线性背景，神经网络应能够持续学习，因此，怎样使神经网络的行为与它所处的行为空间的输入信号变化相适应的是神经网络研究领域研究的重点。2.3 线性自适应算法根据前文Volterra级数模

27、型的基本理论，Volterra级数是线性系统脉冲响应函数模型在非线性系统中的推广，并且Volterra级数模型正因为具有这种优良性质而成为非线性滤波领域的研究热点并得到广泛应用。所以，研究线性自适应算法的基础理论知识对进行基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器具体设计的研究具有十分重要的意义。2.3.1 最小均方自适应LMS算法最小均方自适应LMS算法是现在被广泛使用的一种线性自适应算法，该算法在1960年由Hoff与Widrow首次提出。LMS算法因具有结构简单、实用性强的特点，如今已经成为线性自适应滤波算法的具体参照。在LMS算法提出之前，人们已经提出了最小均方自适应最陡下降法。这种

28、算法需要对每次迭代的梯度向量的精确测量来得到收敛于维纳解的抽头权向量。但是这种精确测量是以了解抽头输入的相关矩阵R和抽头输入与期望响应之间的互相关向量p为前提，因而在未知环境中，这种精确测量没有现实可行性，必须使用已知信号估计梯度向量。这种以估计梯度向量 为基础的最陡下降法表达式为：=（2.10）与普通的梯度估计方法需要各自测抽头权值在扰动只有的2个均方估计误差不同，LMS算法则是使用来自于单次采样得到的 作为均方误差 ，得到估计梯度。这种梯度估计的方法被称为瞬时梯度估计。我们定义滤波器的抽头输入向量为u(n)，抽头权向量为w(n)，同时定义d(n)为期望响应，所以滤波器的输出相应y(n)为=

29、（2.11）误差信号e(n)为= （2.12）我们可以得到梯度估计= = = （2.13） = =将结果带入（2.10），我们可以得到利用瞬时梯度估计的最陡下降法的迭代公式为=+2e(n)u(n) （2.14）其中， 为收敛步长，用来控制自适应滤波器的收敛速度与稳定性。（2.14）给出的自适应滤波器抽头权向量自适应迭代算法被称作LMS算法。2.3.2 递归最小二乘RLS算法与之前讨论的基于最小均方误差准则的LMS算法不同，递归最小二乘（RLS）算法是基于最小二乘准则的算法。最小均方误差准则是在统计平均意义上使滤波器的输出与期望响应误差的平方最小，而最小二乘准则是针对一组数据，使滤波器输出与期望

30、响应误差的平方和最小。由此我们可以得出：基于最小均方误差准则设计的最优滤波器是针对具有相同统计特性的一种数据，而基于最小二乘准则得到的最优滤波器是针对一组给定的数据，并且基于最小二乘准则得到的最优滤波器具有确定性。递归最小二乘（RLS）算法是基于最小二乘准则的一种经典自适应算法，它以增加计算的复杂程度为代价改善了收敛速度，使该算法的收敛速度比一般的LMS自适应算法快一个数量级。递归最小二乘算法利用了给定的初始条件，根据新的数据对旧的估计进行更新，其数据长度对应于当前观测时刻n。另外，基于RLS算法的横向滤波器的阶数保持不变。根据最小二乘准则知识，基于最小二乘准则的代价函数为= （2.15）其中

31、，为加权因子，01；e(i)为i时刻自适应滤波器的估计误差。e(i)=d(i) （2.16）根据最小二乘滤波器正则方程，该滤波器的最优权向量应满足= （2.17）其中= （2.18）为i时刻输入向量u(i)的时间平均自相关矩阵；Z(n)= （2.19）为i时刻输入向量u(i)与期望响应d(i)的时间平均互相关。因为直接求取滤波器权向量最优值的运算量非常大，所以我们采用递推的方式减少运算量。我们定义 的递归公式为=+ （2.20）同时，我们定义C(n)= （2.21）g(n)= （2.22）C(n)为逆相关矩阵；g(n)为增益向量。经整理得：C(n)= （2.23）另外，我们定义互相关向量z(n

32、)= （2.24）最后，我们整理得到RLS算法的抽头权向量递归公式为= （2.25）式（2.22）、（2.23）、（2.25）构成了基本的递归最小二乘（RLS）算法。2.3.3 其他线性自适应算法归一化LMS算法。归一化LMS算法滤波器的基本结构与LMS算法滤波器相同。在LMS算法中，滤波器抽头权向量的修正大小与输入向量u(n)呈正比，所以，若输入向量较大，基于LMS算法滤波器的梯度噪声将会放大，归一化LMS算法就是针对这一问题设计的。在归一化LMS算法中，第n+1次迭代式抽头权向量的修正量由输入向量的平方欧几里得范数进行归一化，因此将获得比LMS算法更快的收敛速度。块LMS算法。把滤波器的输

33、入向量u(n)输入串/并转换装置分为以L为长度的块，再将数据以1块/次的方式输入横向滤波器，滤波器的长度为M，每输入1块数据，滤波器的抽头权值就更新一次，这样的滤波器结构就是我们所说的块LMS算法。与基本LMS算法相比，块LMS算法所采取的平均梯度向量估计更为精确，因而获得了更快的收敛速度。2.3.4 本章小结本章介绍了Volterra级数模型的基本原理，通过对Volterra级数理论特性的讨论，认识到基于Volterra级数理论的非线性滤波器在现实问题处理中具有很大的优势。与此同时，系统研究了线性自适应算法，介绍了现阶段非线性自适应滤波器的发展状况，为后续基于Volterra自适应滤波器的噪

34、声抵消器的具体设计提供了算法理论基础。3 基于自适应滤波器的噪声抵消原理3.1 基于自适应滤波器的噪声抵消的研究意义当我们使用滤波器对信号和干扰噪声的混合波形进行滤波使噪声得到抑制而获得相对不变的信号时，需要对波形进行估计才能获得相应的最优滤波器，要求我们必须掌握信号与噪声的先验知识，这限制了滤波器设计的客观实用性。而与普通的滤波器不同，若使用自适应滤波器进行噪声抵消，我们不需要或者仅需很少的信号与噪声的先验知识，就可以依靠自适应滤波器的自动更新滤波器参数的能力将干扰消除，获得相对不变的信号。3.2 基于自适应滤波器的噪声抵消器的基本结构图（3.1） 基于自适应滤波器的噪声抵消器结构框图图（3

35、.1）为基于自适应滤波器的噪声抵消器的基本结构，接下来将对上图的具体结构进行详细介绍。S为信号源。S信号源将输出我们需要的有用信号s(n)。V为噪声源。V噪声源发出噪声v(n)，一部分噪声 通过主通道，成为与有用信号s(n)无关而与噪声v(n)相关的的干扰噪声r(n)，同时r(n)与有用信号s(n)进行叠加；另一部分噪声 经过参考通道成为与噪声v(n)有关而与有用信号s(n)无关的自适应滤波器的输入信号x(n)。d为期望信号。d（n）由有用信号s（n）与干扰噪声r（n）叠加而成，即d（n） （3.1）y为自适应滤波器的输出信号。y（n）由输入噪声x（n）经过自适应滤波器产生，即y（n）= （3

36、.2）e为误差信号。e（n）由期望信号d（n）与自适应滤波器输出信号y（n）相减得到，即 （3.3）同时e（n）作为反馈信号输入自适应滤波器，对滤波器的抽头权函数进行调节。3.3 基于自适应滤波器的噪声抵消器的基本原理假设s（n）、r（n）、x（n）均为统计平稳具有零均值的信号，则自适应滤波系统的输出误差平方为：=（3.4）将式（3.4）两边同时计算数学期望，又因为s（n）与r（n）以及y（n）不相关，可以化简得到：= =（3.5）自适应滤波器进行抽头向量更新时均方误差E 达到最小值，此时，对有用信号的功率E 不产生影响，相应最小输出功率为=+ （3.6）所以，若使自适应滤波器的输出误差功率

37、达到最小值， 也将达到最小值，此时，滤波器输出y（n）为噪声干扰r（n）的最优均方估计。又根据（3.1）、（3.3）我们可以得到： （3.7）所以当滤波器的输出误差总功率达到最小时，自适应滤波器的输出误差即为有用信号s（n）的最优最小均方估计。4 基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的设计与仿真4.1 基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的设计图（4.1） 基于自适应滤波器的噪声抵消器结构框图本论文根据基于自适应滤波器的噪声抵消器的基本结构，设计了基于VLMS算法的自适应滤波器的噪声抵消器与基于VRLS的自适应滤波器的噪声抵消器，同时对基于VLMS算法的自适应滤波器的噪声抵消器

38、选取了多种步长进行设计。本次设计选用了记忆长度为3的二阶Volterra级数自适应滤波器，滤波器的抽头权值序列初值均设为滤波器的输入序列=对于信号源S，选取了单位振幅的正弦信号；对于噪声源V，选取了均值为0方差为1的高斯白噪声；噪声v（n）经过主通道后产生的非线性相关信号r（n）定义为r（n）= +对基于VLMS算法的自适应滤波器的噪声抵消器选取的步长（一二阶选用相同步长）分别为0.04,0.004,0.01与0.0004；对基于VRLS算法的自适应滤波器的噪声抵消器的指数加权因子选取0.99，初始逆相关矩阵系数选为0.01.具体的Matlab设计程序请查看附录。4.2 设计及仿真结果的分析4

39、.2.1 基于VLMS自适应滤波器的噪声抵消器的仿真结果与分析系统的输出结果为：图（4.2） 步长为0.04时的系统输出图（4.3） 步长为0.01时的系统输出图（4.4） 步长为0.004时的系统输出图（4.5） 步长为0.0004时的系统输出系统的输出误差为：图（4.6） 步长为0.04时的输出误差 图（4.7） 步长为0.01时的输出误差图（4.8） 步长为0.004时输出误差图（4.9） 步长为0.0004时输出误差仿真结果如图所示，从上到下依次为迭代500次步长为0.04、0.01、0.004、0.0004的基于VLMS自适应滤波器的噪声抵消器的系统输出与输出误差。由仿真结果可以看出

40、：（1） 当步长为0.04时，由于选取步长过大，在150次迭代附近，系统的输出误差便迅速增为无穷大，系统无法输出信号波形。（2） 当步长为0.01时，步长选取稍大，在100次迭代附近，系统的输出信号已经呈现近似于正弦信号的波形，收敛速度较快；但系统的输出误差较大，且呈周期性变化，系统输出无法达到稳态。（3） 当步长为0.004时，步长选择较为适中，在400次迭代附近，系统的输出信号已经很好的呈现正弦信号，且系统的输出误差也趋近于0，且较为平稳（4） 当步长为0.0004时，步长选择过小，系统的输出误差适中较大，系统无法消除噪声、无法输出所需信号，系统不收敛。综上，基于VLMS算法自适应滤波器的

41、噪声抵消器能够用于消除噪声得到所需小信号；系统的性能与选取的步长有很大关系，步长较大时，系统具有较快的收敛速度，但因每次迭代的调整幅度较大，系统的不能够很好地稳定在最优权向量，失调量较大，当步长较小时，系统的收敛速度太慢甚至不收敛，因此，探究怎样取得最优步长具有很重要的意义。4.2.2 基于VRLS自适应滤波器的噪声抵消器的仿真结果与分析选取基于VLMS自适应滤波器的噪声抵消器的仿真得到的最优步长0.004步长，测量系统输出结果与输出误差，与基于VRLS自适应滤波器的噪声抵消器的仿真结果进行对比。系统的输出结果为：图（4.10） 步长为0.004的系统输出图（4.11） 基于VRLS自适应滤波

42、器噪声抵消器的系统输出系统的输出误差为：图（4.12） 步长为0.004时输出误差图（4.13） 基于VRLS自适应滤波器噪声抵消器的输出误差由仿真结果我们可以发现：基于VRLS自适应滤波器的噪声抵消器能够用来消除非线性干扰得到所需波形。其系统输出波形在200次迭代附近已经接近所需要的信号波形，且系统的输出误差更加稳定、更加接近于0。与采取最优步长的基于VLMS自适应滤波器的噪声抵消器相比，基于VRLS自适应滤波器的噪声抵消器的收敛速度更快，波形更加规则，失调量更小。但这些优点是以增加计算的复杂程度为代价的。5 总结与展望本文主要完成了以下几个方面的研究工作：（1） 从自适应滤波器的发展历史入

43、手，总结了在实际应用中，非线性滤波器的优势与研究意义。并从这一方面出发，系统介绍了Volterra级数模型在非线性滤波器领域的重要地位。（2） 详细介绍了Volterra自适应滤波器的基础理论。通过对Taylor级数与Volterra级数模型的介绍，说明了我们可以把Volterra级数模型作为线性系统在非线性系统中的推广，并介绍了线性自适应算法的主要理论成果，从而为非线性系统中线性系统理论的应用搭起一条重要桥梁，此外还介绍了现阶段非线性自适应滤波器的发展状况，从而更准确地把握对非线性系统的研究方向。（3） 通过对自适应噪声抵消器的结构与理论的概述，说明了自适应噪声抵消器相对于一般滤波器的本质优

44、势，并为后文具体噪声抵消器的设计提供了理论基础。（4） 设计、仿真了采取不同步长的基于VLMS自适应滤波器的噪声抵消器以及基于VRLS自适应滤波器的噪声抵消器，并通过对采取不同步长的噪声抵消器以及两种不同结构的基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的去噪效果的对比，讨论了步长对基于VLMS自适应滤波器的噪声抵消器的收敛速度以及失调量的作用于影响，以及基于VRLS自适应滤波器的噪声抵消器所具有的的性能优势。本文知识在最基本的Volterra滤波器、LMS自适应算法以及RLS自适应算法的理论上对基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器进行设计，还存在很多不足。（1） 本文所涉及的基于VL

45、MS自适应滤波器的噪声抵消器的第一二阶滤波器所采取的步长均相同，还没有进一步研究与分析两阶滤波器步长对系统的具体性能有何影响。（2） 本文只设计了基于基本LMS算法与RLS算法的噪声抵消器，LMS自适应滤波器仅采用固定步长，输入信号也仅为非耦合信号，还没有进一步对如今成果已经非常丰富的改进型LMS算法、RLS算法进行研究，从而使仿真效果并不是非常理想。（3） 本文只涉及了二阶Volterra自适应滤波器的具体设计，对高阶的Volterra自适应滤波器还没有涉足。（4） 本文只涉及了基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器的设计，对如今同样广泛使用的基于Volterra自适应滤波器的时域均衡

46、、混沌预测等应用还没有进行研究。本课题仍有非常广阔的发展与研究前景，各种改进的基于Volterra自适应滤波器的噪声抵消器以及Volterra自适应滤波器的多种应用是非常重要的研究方向。6 附录6.1 基于VLMS自适应滤波器的噪声抵消器程序clear all;v=randn(1,5000); v=v/std(v); v=v-mean(v); %产生均值0方差1的噪声源vk=0:5000;s=sin(pi/50*k); %产生单位振幅的信号源sr=zeros(1,5000); %r:通过主通道的噪声x=zeros(9,1) %x:滤波器的输入噪声d=zeros(1,5000); %d:期望信号

47、y=zeros(1,5000); %y:滤波器输出信号e=zeros(1,5000); %e:瞬时误差f=zeros(1,5000); %f:输出结果与信号源的相对误差w=zeros(9,1); %w:滤波器权向量u=zeros(9,9); %u:步长矩阵u(1,1)=0.04;u(2,2)=0.04;u(3,3)=0.04;u(4,4)=0.04;u(5,5)=0.04;u(6,6)=0.04;u(7,7)=0.04;u(8,8)=0.04;u(9,9)=0.04; %产生步长矩阵ufor n=1:5000 switch n case 1 r(1)=0.1*v(n)+0.4*v(n)2; x(1)=v(1);x(4)=v(1)2; case 2 r(2)=0.1*v(n)+0.2*v(n-1)+0.4*v(n)2+0.5*v(n-1)2+0.7*v(n)*v(n-1); x(1)=v(2);x(2)=v(1);x(4)=v(2)2;x(5)=v(2)*v(1);x(7)=v(1)2; otherwise r(n)=0.1*v(n)+0.2*v(n-1)+0.3*v(n-2)+0.4*v(n)2+0.5*v(n-1)2+0.6*v(n-2)2+0.7*v(n)*v(n-1)+0.8*v(n-