创新问题专项训练(二)

1、创新问题专项训练(二)一、选择题1已知集合Ma|a(1,2)(3,4)，R，Na|a(2，2)(4,5)，R，则MN()A(1,1)B(1,1)，(2，2)C(2，2) D2定义：若函数f(x)的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f(x)的同值变换的是()Af(x)(x1)2，T将函数f(x)的图象关于y轴对称Bf(x)2x11，T将函数f(x)的图象关于x轴对称Cf(x)2x3，T将函数f(x)的图象关于点(1,1)对称Df(x)sin，T将函数f(x)的图象关于点(1,0)对称3设函数f(

2、x)sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为xn，xn的前n项和为Sn，则sin Sn不可能取的值是()A0 B.C D.4对向量a(a1，a2)，b(b1，b2)定义一种运算“”：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知动点P，Q分别在曲线ysin x和yf(x)上运动，且mn(其中O为坐标原点)，若向量m，n，则yf(x)的最大值为()A. B2C3 D.5对于函数f(x)，若存在区间Ma，b(ab)，使得y|yf(x)，xMM，则称区间M为函数f(x)的一个稳定区间给出下列函数：f(x)ex；f(x)x3；f(x)cosx.其中存在“稳定区间”的函数的序号有()

3、A BC D6定义区间(a，b)，a，b)，(a，b，a，b的长度均为dba，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，(1,2)3,5)的长度d(21)(53)3.用x表示不超过x的最大整数，记xxx，其中xR.设f(x)xx，g(x)x1，当0xk时，不等式f(x)g(x)的解集区间的长度为5，则k()A6B7C8 D9二、填空题7设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an(nN*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)，则数列an的通项公式为_8设集合Pt|数列n2tn(nN*)单调递增，集合Qt|函数f(x)kx2tx在区间1，)上单调递增，若“tP”是“tQ”的充分不必

4、要条件，则实数k的最小值为_9下表中的数表为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都成等差数列23456735791113471013161959131721256111621263171319253137(1)记数表中的第1行第1列的数为a1，第2行第2列的数为a2，依此类推，第n行第n列的数为an，即a12，a25，则an_；(2)在上表中，2 014出现的次数为_三、解答题10.(1)如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数ylogx，yx，yx的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴若点A的纵坐标为2，求点D的坐标(2)若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实

5、数x分别满足：f(x)kxb和g(x)kxb，则称直线l：ykxb为f(x)和g(x)的“隔离直线”已知h(x)x2，(x)2eln x(其中e为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h(x)与(x)间的隔离直线方程11已知F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，D，E是椭圆的右、上顶点，椭圆的离心率e，SDEF21.若点M(x0，y0)在椭圆C上，则点N称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)问：是否存在过左焦点F1的直线l，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由答

6、 案1选CMa|a(1,2)(3,4)，Ra|a(13，24)，R，Na|a(2，2)(4,5)，Ra|a(24，25)，R令(131,241)(242，252)，则解得11，20，所以MN(2，2)2选B选项B中，f(x)2x11的值域为(1，)，将函数f(x)的图象关于x轴对称变换后所得函数的值域为(，1)，值域改变，不属于同值变换经验证，其他选项正确3选B由f(x)sin x得，f(x)cos x，令f(x)0得，x2k(kZ)，当f(x)0时，2kx2k(kZ)，当f(x)0时，2kx2k(kZ)，所以当x2k(kZ)时，f(x)取极小值，即xn2n，所以Snx1x2x3xn2(123

7、n)n(n1)，当n3k(kN*)时，sin Snsin(2k)0；当n3k1(kN*)时，sin Snsin；当n3k2(kN*)时，sin Snsin.4选C设P(x1，y1)，Q(x，y)，m，m(x1，y1)，mn，(x，y)，x，y3y1，x12x，y1，又y1sin x1，sin，y3sin，显然当sin1时，yf(x)取得最大值3.5选D对于，函数f(x)ex是增函数，当xa，b时，相应的值域为ea，eb，令g(x)exx，则g(x)ex1，所以g(x)在(，0上是减函数，在(0，)上是增函数，且g(0)10，因此方程g(x)0无实根，即函数f(x)ex不存在“稳定区间”；对于，

8、当x1，1时，f(x)x3的值域为1,1，因此函数f(x)x3存在“稳定区间”；对于，当x0,1时，f(x)cosx的值域为0,1，因此函数f(x)cosx存在“稳定区间”6选Bf(x)xxx(xx)xxx2，由f(x)g(x)，得xxx2x1，即xx21.当x(0,1)时，x0，不等式的解为x1，不符合题意；当x1,2)时，x1，不等式可化为00，无解，不符合题意；当x2，)时，x1，不等式(x1)xx21等价于xx1，此时不等式恒成立，所以不等式的解集为2，k，因为不等式f(x)g(x)的解集区间的长度为5，所以k25，即k7，故选B.7解析：由题意知3nnx0，又x0，则0x3.x1或x

9、2，Dn内的整点在直线x1和x2上记直线ynx3n为l，l与直线x1，x2的交点的纵坐标分别为y1，y2，则y1n3n2n，y22n3nn，an3n.答案：an3n8解析：因为数列n2tn(nN*)单调递增，所以(n1)2t(n1)n2tn，可得t2n1，又nN*，所以t3.因为函数f(x)kx2tx在区间1，)上单调递增，所以其图象的对称轴x1，且k0，故t2k，又“tP”是“tQ”的充分不必要条件，所以2k3，即k，故实数k的最小值为.答案：9解析：(1)由“森德拉姆筛”数表中的数据a12，a25，a310，a417，可知，a2a13，a3a25，a4a37，anan12n1，累加得ana

10、13572n1n21，所以ann21a1n21；(2)记第i行第j列的数为Aij，那么每一组i与j的解就对应表中的一个数，因为第1行的数组成的数列A1j(j1,2，)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j2(j1)1j1，所以第j列数组成的数列Aij是以j1为首项，公差为j的等差数列，所以Aijj1(i1)jij1，令Aijij12 014，即ij2 01312 013367111183613333611831167132 0131.故2 014出现的次数为8.答案：(1)n21(2)810解：(1)由A点的纵坐标为2，得点A的横坐标是2，由矩形的边平行于坐标轴，得B点的纵坐标是2，从而

11、横坐标是224，所以C点的横坐标是4，纵坐标是4，所以点D的横坐标等于A点的横坐标，点D的纵坐标等于C点的纵坐标，即D点的坐标是.(2)容易观察到h(x)和(x)有公共点(，e)，又(x)20，即x22xe，所以猜想h(x)和(x)间的隔离直线为y2xe，下面只需证明2eln x2xe恒成立即可，构造函数(x)2eln x2xe.由于(x)(x0)，即函数(x)在区间(0，)上递增，在(，)上递减，故(x)()0，即2eln x2xe0，得2eln x2xe.故猜想成立，所以两函数间的隔离直线方程为y2xe.11解：(1)由题意得e，故ca，ba，SDEF2(ac)ba21，故a24，即a2，所以b1，c，故椭圆C的标准方程为y21.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x，联立解得或不妨令A，B，所以对应的“椭点”坐标为P，Q.而0.所以此时以PQ为直径的圆不过坐标原点当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk