2022版新教材高考数学一轮复习第四章4.6正弦余弦定理与解三角形课件新人教B版

1、4.64.6正弦、余弦定理与解三角形正弦、余弦定理与解三角形第四章第四章 2022 内 容 索 引 必备知识必备知识 预案自诊预案自诊 关键能力关键能力 学案突破学案突破 必备知识必备知识 预案自诊预案自诊 【知识梳理知识梳理】 1.ABC的面积公式 在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,记面积为S,则 sin C 2.正弦定理和余弦定理 在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则 正弦定理余弦定理 语言 表示 在一个三角形中,各边的长和 它所对角的正弦的比相等 三角形任何一边的平方,等于其他两边 的平方和减去这两边与它们夹角余弦 的积的2倍 内容(R为ABC外接圆的

2、半径) a2=b2+c2-2bccos A; b2=a2+c2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C 正弦定理余弦定理 常见 变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (3)a b c=sin A sin B sin C 解决的 问题 (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边 和其他两角 (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹 角,求第三边和其他两角 3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角,目标视线在水平视线上方的角叫做仰角,目标

3、视线在水平视线下方的角 叫做俯角(如图1). (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30、北偏西45、西偏北 60等. (3)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如点B的方位角 为(如图2). (4)坡角:坡面与水平面所成的二面角的平面角. 常用结论 1.在ABC中,常有以下结论 (1)A+B+C=. (2)在三角形中大边对大角,大角对大边. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C; (5)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.

4、 (6)ABabsin Asin Bcos Ac2,则C90; (3)若a2+b290. 3.三角形中的射影定理 在ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B. 【考点自诊考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)在ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦 定理求边c.() (2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.() (3)在ABC中,sin Asin B的充分不必要条件是AB.() (4)在ABC中,a2+b2c2是ABC为钝角三角形的充分不

5、必要条件.() (5)在ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素. () 答案 B 答案 A 4.(2019全国2,理15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 b=6,a=2c,B= ,则ABC的面积为. 5.(2020北京东城一模,14)ABC是等边三角形,点D在边AC的延长线上,且 AD=3CD,BD=2 ,则CD=,sinABD=. 解析 如图所示,等边ABC中,因为AD=3CD, 所以AC=2CD,又BD=2 , 所以BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD, 即(2 )2=(2CD)2+CD2-4CDCDcos 120,解得CD=2,所 以AD=6. 关键

6、能力关键能力 学案突破学案突破 考点考点1 1利用正弦、余弦定理解三角形利用正弦、余弦定理解三角形 答案 (1)A(2)B 解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解 三角形.正弦定理的形式多样,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C能够实 现边角互化. 2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接 运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用. 3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对 角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的“有界性”和“大边对大 角”进行判断. 对点训练1

7、(1)(2020福建福州三模,理15)在ABC中,内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,若2sin2A+cos B=1,则 的取值范围为. (2)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为. 考点考点2 2判断三角形的形状判断三角形的形状 【例2】(2020山东济宁5月模拟,17)在sin A,sin B,sin C成等差数列; sin B,sin A,sin C成等比数列;2bcos C=2a- c三个条件中任选一个,补 充在下面的问题中,并加以解答. 已知ABC的内角A,B,C所对的边分别

8、是a,b,c,面积为S.若,且 4S= (b2+c2-a2),试判断ABC的形状. 解 方案一:选条件. 由余弦定理可得a2=b2+c2-bc, 因为sin A,sin B,sin C成等差数列, 所以2sin B=sin A+sin C,即2b=a+c, 即(2b-c)2=b2+c2-bc,可得b=c. 所以ABC为等边三角形. 由余弦定理可得a2=b2+c2-bc, 因为sin B,sin A,sin C成等比数列, 所以sin2A=sin Bsin C,即a2=bc, 所以(b-c)2=0,所以b=c. 所以ABC为等边三角形. 解题心得判断三角形的形状时主要有以下两种方法: (1)利用

9、正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、 配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数之间的关 系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要 注意应用A+B+C=这个结论. 对点训练2设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定 答案 B 变式发散1若本题条件改为“asin A+bsin Bcsin C”,那么ABC的形状为 . 答案 钝角三角形 变式发散2若本题条件

10、改为“c-acos B=(2a-b)cos A”,那么ABC的形状为 . 答案 等腰三角形或直角三角形 解析 因为c-acos B=(2a-b)cos A,C=-(A+B),所以由正弦定理得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,所以sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A, 所以cos A(sin B-sin A)=0, 所以cos A=0或sin B=sin A,所以A= 或B=A或B=-A(舍去),所以ABC为 等腰三角形或直角三角形. 变式发散3若本题条件改为 ,那么ABC的形

11、状为 . 答案 直角三角形 考点考点3 3正弦、余弦定理与三角变换的综合问题正弦、余弦定理与三角变换的综合问题 【例3】 (2020河北保定二模,文16,理16)已知ABC的内角A,B,C的对边分 别为a,b,c,且a2+b2-c2=absin C,acos B+bsin A=c,a= ,则b=. 解题心得在三角形中进行三角变换要注意隐含条件:A+B+C=的使用;运 用正弦定理、余弦定理能够进行边角互化以及化异角为同角,从而实现消 元的目的,为三角变换提供了条件. 对点训练3(1)(2020安徽马鞍山二模,9)已知ABC三内角A,B,C满足 cos 2A+cos 2B=1+cos 2C,且2s

12、in Asin B=sin C,则下列结论正确的是() 考点考点4 4正弦、余弦定理在实际问题中的应用正弦、余弦定理在实际问题中的应用 【例4】 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测 得公路北侧一山脚C在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此 山脚C在西偏北75的方向上,山顶D的仰角为30,则此山的高度 CD= m. 解题心得利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可 用正弦定理或余弦定理求解; (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形, 这时需作出这些三角形,先求解条件充足的三角形,然后逐步求解其他