因式分解专题讲解

1、因式分解专题讲解 【知识要点】 1. 提取公因式法 利用提取公因式法进行因式分解的一般步骤可概括为一找、二提、三去除” 一找”就是第一步要折过 去找出多项式中各项的公因式；二提”就是第二步将所找出的公因式提出来；三去除”就是第三步当提出公 因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即 为提出公因式后剩下的一个因式。 例如分解因式：9x3y -12x2y2 18x2y3z，当确定公因式为 3x2y后，贝U (9x3y-12x2y2 18x2y3z)亠 3x2y = 3x-4y 6y2z，所以有，9x3y-12x2y2 18x2y3z 2 2 =3x

2、 y(3x -4y 6y z)。 2. 公式法 逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。运用平方差公式进行因式分解的多项式的特 征是： (1) 公式左边必须是一个二项式，且符号相反； (2) 两项中的每一项必须是某个数或是自的平方形式； (3) 右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积； (4) 公式中字母 a ”和b”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式。 3. 十字相乘法 (x a)(x b) = x2 (a b)x ab 反过来可得：x (a b)x ab = (x a)(x b) 例如x2 3x 2中常数项是2 ,可以分解为2 1 ,而且23，恰好是一次项

3、系数，所以 2 x 3x 2 =(x 2)(x 1)。 2 x分解为x x，常数项2分 2 在对多项式x 3x 2分解因式时，也可以借助于画十字交叉线来分解, 解为2 1，把它们用交叉线来表示： x.2 x1 按十字交叉相乘，它们积的和就是2x 3x，所以 x2 3x 2 =(x 2)( x 1) 4.分组分解法 分组分解方法比较灵活起关键在于分组要适当，它的分组原则是： 分组后能直接提取公因式； 分组后能直接运用公式。 分组分解法并不是一种独立的因式分解方法。通过对多项式进行适当的分子，把多项式转化为可以应 用的基本方法(即提取公因式法或公式法)分解的结构形式，使之具有公因式或者符合公式的特

4、点等，从 而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。 常用的分组方法 方法一：分组后能提前公因式 (1) 按字母分组 例如：分解因式：ax ay bx by可以按某一字母为准分组，若按含有字母a的分为一组，含有字母 b 的分为一组，即 ax ay bx by 二(ax ay) (bx by) = a(x y) b(x y)，这就产生了公因式(x y)。 (2) 按系数分组 例如：分解因式：a2-ab 3b 3a，我们观察到前面两项的系数比和后面两项的系数之比恰好相等， 2 2 即 1: ( -1) = 3: ( -3)，则 a -ab 3b 3 = (a -ab) -(3a -3b) a(a

5、- b) -3(a -b)。 (3) 按次数分组 3232 例如：分解因式：x x ，x-y -y - y，此多项式有两个三次项，有连个二次项，有两个一次项， 按次数分组为：(x3 - y3) (x2 - y2) (x - y)。 方法二：分组后能运用公式 2 2 2 例如：分解因式：x -2xy y - z 可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为(x - y)2。而(x- y)2 - z2又是平方差形式 的多项式，还可以继续分解。 方法三：重新分组 例如：分解因式：4x2 3y -x(3y 4)，此多项式必须先去括号，进行重新分组， 4x2 3y-x(3y 4) =4x2 3y

6、-3xy-4x 2 =(4x _4x) (3y _ 3xy) = 4x(x_1)_3y(x_1) =(4x_3y)(x_1) 1.提取公因式法 23 (2) -7a x 21ay-14a xy 【例1】把下列各式分解因式: (1) 2x2y-4xy2 22 (3) 4a b6ab 2ab (4) -3x 3m n2m nm n -1 y -2x y 6x y 【例2】把下列各式分解因式: (1) 4x(x y)3(x y) 23 (2) 4x(x-y) 3(y-x) 32 (3) 5(x -2) (y -2) -3(2 -x) (2 - y) (4) x(x - y)(a-b) - y(y-x

7、)(b-a) 3 3 33 (2) 0.8 2 0.6 4 5 44 【例3】利用分解因式的方法简便计算: (1) 54 3.14 75 3.14-29 3.14 2.公式法 【例1】 把下列各式分解因式： 12122244 4m -n(2) (7a-2b) -16a(3)一x y 3.十字相乘法 【例1】 把下列各式分解因式： 42 (1) x -10 x9 32 (2) 7(x y) -5(x y) -2(x y) (3) (a2 8a)2 22(a2 8a) 120 4.分组分解法 (2) a2 -b2 4a - 4b 【例1】分解因式：（1） 2x2 2xy _3x _3y 2 2 2 (3) 4x -9y -24yz16z (4) 2 -x