九级数学上册 第二章 一元二次方程 5 一元二次方程的根与系数的关系教学课件 （新版）北师大版

1、教学课件教学课件 一元二次方程一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：的求根公式： x=x= a acbb 2 4 2 (b2-4ac 0) 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 1.1. 填表，观察、猜想填表，观察、猜想 方程方程 x x1 1, , x x2 2 x x1 1+ + x x2 2 x x1 1. . x x2 2 x x2 2-2-2x x+1=0 +1=0 1,11,12 21 1 x x2 2+3x-10=0+3x-10=02,-52,-5-3-3-10-10 x x2 2+5x+4=0+5x+4=0-1,-4-1,-4-5-54 4 问

2、题：你发现什么规律？问题：你发现什么规律？ 用语言叙述你发现的规律；用语言叙述你发现的规律； x x2 2+ +pxpx+ +q q=0=0的两根的两根x x1 1, , x x2 2用式子表示你发现的规律。用式子表示你发现的规律。 2 0pxq x 如果关于如果关于x x的方程的方程 的两根的两根是是 , , ,则则: :x1x2 根与系数的关系根与系数的关系 如果方程二次项系数不为如果方程二次项系数不为1 1呢呢? ? 方方 程程x x1 1, , x x2 2 x x1 1+ + x x2 2 x x1 1. . x x2 2 2 2x x2 2-3-3x x-2=0 -2=0 3 3x

3、 x2 2-4-4x x+1=0 +1=0 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律； 用语言叙述发现的规律；用语言叙述发现的规律； ax ax2 2+ +bxbx+ +c c=0=0的两根的两根x x1, 1, , x x2 2用式子表示你发现的规律。用式子表示你发现的规律。 一元二次方程的根与系数的关系：一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）（韦达定理） 如果方程如果方程 axax2 2+bx+c=0 (a0) +bx+c=0 (a0) 的两个根的两个根是是x x1 1 , , x x2 2 , , 那那么么x x1 1+x+x2 2=

4、 - , = - , x x1 1x x2 2= = 注：能用根与系数的关系的前提条件为注：能用根与系数的关系的前提条件为 b b2 2-4ac-4ac00 韦达（韦达（15401603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。 第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改 进。进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过 律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对 西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达西班牙的战争中曾为政府破译

5、敌军的密码。韦达 还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使 用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了 代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根 的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关 系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系 的结论称为的结论称为“韦达定理韦达定理”）。）。 韦达在欧洲被尊称为韦达在欧洲被尊称为“代数学之父代数学之父”。 一元二次方程根与系数关系的证明：一元二

6、次方程根与系数关系的证明： a acbb x 2 4 2 1 a acbb x 2 4 2 2 X1+x2= a acbb 2 4 2 a acbb 2 4 2 += a b 2 2 = - X1x2= a acbb 2 4 2 a acbb 2 4 2 = 2 4 2 )4 2 ( 2 )( a acbb = 2 4 4 a ac = 例例 已知方程已知方程x x2 2-(k+1)x+3k=0-(k+1)x+3k=0的一个根是的一个根是2 2 , ,求求它的它的 另一个根及另一个根及k k的值。的值。 解：解： 设方程的另一个根为设方程的另一个根为 x x1 1. . 把把x=2x=2代入方

7、程，得代入方程，得 4-2(k+1)+3k=04-2(k+1)+3k=0 解这方程，得解这方程，得 k= - 2k= - 2 由根与系数关系，由根与系数关系，得得2x2x1 13k3k 即即 2 x2 x1 1 6 6 x x1 1 3 3 答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是3 , k3 , k的值是的值是2 2。 练习练习 已知关于已知关于x x的方程的方程 012) 1( 2 mxmx 当当m= m= 时时, ,此方程的两根互为相反数此方程的两根互为相反数. . 当当m= m= 时时, ,此方程的两根互为倒数此方程的两根互为倒数. . 1 1 1 1 练习练习 已知两个数的和是已知两

8、个数的和是1 1，积是，积是-2-2，则，则两个数是两个数是 。 2 2和和-1-1 解法解法( (一一):):设两数分别为设两数分别为x , yx , y则则: : 1 yx 2 yx 解得解得: : x=2x=2 y= y=1 1 或或 1 1 y=2y=2 解法解法( (二二):):设两数分别为一个一元二次方程的设两数分别为一个一元二次方程的 两根则两根则: :02 2 aa 求得求得1, 2 21 aa 两数为两数为2,2, 已知两个数的和与积，求两数已知两个数的和与积，求两数 拓展：拓展：方程方程 有一个正根，一个负根，求有一个正根，一个负根，求m m的取值范围。的取值范围。 解解: :由已知由已知, 0) 1(44 2 mmm= 0 1 21 m m xx 即即 m0m0 m-10m-10 0m10m1 )0(012 2 mmmxmx 一正根，一负根一正根，一负根 0 0 x x1 1x x2 20 0 两个正根两个正根 00 x x1 1x x2 20 0 x x1 1+x+x2 20 0 两个负根两个负根 00 x x1 1x x2 20 0 x x1 1+x+x2 20 0 小结：小结：