第三章矩阵的秩与向量空间

1、第三章矩阵的秩与向量空间 3.1 n维向量与内积 3.1.1 n维向量的概念 n个数ai,a2,，an构成的有序数组称为n维向量，记作 总, 耳）或 （a1,a2/ ,an f ,分别称为n维行向量或n维行列向量，也就是1xn或nx1矩阵, 数ai称为向量的第i个分量. 3.1.2 n维向量的内积与长度 若。=01 月2,，an ), P = (b,b2,，bn ). (1)(ct, P ) = a1bi +a2b2 +anbn T P = 称为 n维向量 a 和 P 的内积. 注：若（ct, p ）= 0时，称n维向量Ct和P正交. 向量a的长度是: /22 2 = Va1+a2 +an 注

2、：若II叫=1，称a为单位向量. 3.2线性表出与线性相关 3.2.1线性组合 若干个同维数的行向量或列向量所组成的集合称为向量组 由s个n维向量a 1严2,Qs及s个常数k1,k2,ks所构成的向量 1)2, %匕+a2k2十+sks称为向量组a 1,口2,，叫的一个线性组合，其中数 k1,k2,，ks称为组合系数. 3.2.2线性表出 如n维向量P能表示成向量s ,口2,，叫的线性组合，即: 1,2, P =0水1 +G2k2 +Gsks，则称P可由 2,，叫线性表出. 注：如果向量组 叫宀,，叫中的每个向量都可由向量组 匕卫2,，Pt线性表出,且向量组Pi, p2,，3t中的每个向量同时

3、也可以由向量组 a 1,2, 宀线性表出, 那么就称这两个向量组等价. 323向量组的线性相关 对于n维向量组rns,，s，若存在一组不全为0的数k1,k2,，ks，使得: %ki +ct2k2 +ctsks =0，则称n维向量组a 1亦2,0S线性相关,否则称为线性 无关. 3.3向量组的秩和矩阵的秩 3.3.1向量组的秩的概念 线性无关，如果还有的 若在向量组,02,，叫中存在一个部分组1,%2 话且再添加向量组中任一向量aj，向量组1,% IL i2 Oir，aj 定线性相关，则称 向量组ai1 ,气，a.为向量组a 1 2, Os的一个极大线性无关组，极大线性无 关组的向量个数r称为向

4、量组a 1,5,，S的秩. 注：一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组本身 一般来说，向量组的极大线性无关组不是唯一的， 但每一个极大线性无关 组的向量个数r相同. 3.3.2矩阵的秩 (1)矩阵秩的概念 矩阵A的秩(r(A)= A的行秩(矩阵A的行向量组的秩)=A的列秩(矩阵A的列向 量组的秩) 注：经过初等变换，矩阵的秩不变. (2)矩阵秩的计算方法 对矩阵A进行初等变换，非零行的个数就是矩阵A的秩. 矩阵A的秩(r (A=r的充要条件是A中有r阶子式不为0，大于r阶的子式全 为0.(很少用) 【例 3.1 】向量组 a 1 =(-7,-2,1 厂11 T ,冬=(1,-1,5,8

5、 y,叫=(3,1,-1,4)T, 4 =(5,3,7,0$，a5 =(_4,2,1,11T， (n)所有的极大线性无关组 解：(I )设A 一7 -2 1 1 -1 5 8 3 1 -1 4 5 3 -7 0 -41 -2 1 -11 所以有: -7 1 3 5 -41 1 5 -1 -7 1 1 -2 -1 1 3 -2 r1T3 -2 -1 1 3 -2 1 5 -1 -7 1 -7 1 3 5 -4 L-11 8 4 0 -11 L -11 8 4 0 -11 A = 1 5 -1 -7 1 1 5 -1 -7 1 r4r2 0 9 -1 -11 0 r4孔 0 9 -1 -11 0

6、0 36 -4 -44 3 0 0 0 0 3 L0 63 -7 -77 0 0 0 0 0 0 2 临 ri =B , 3忸1 r4+1r1 所以 r(A)=3. (n )从矩阵B可以看出02,叫、,03,叫和a 1严4严5时极大线性无关组. 3.4向量空间 3.4.1向量空间的概念 设V是n维向量的非空集合，且V中的向量对于加法及数乘这两种运算封闭，则 称V是向量空间. 注：集合V对于加法及数乘这两种运算封闭是指: Va,pV，有 a+P V ; Va V, R,有. 3.4.2向量空间的基数和维数 设V是向量空间看，若V中有r个向量线性无关，且V中任意向量都可由这r个 向量线性表出，则这称r个向量为向量空间V的一组基，r称为向量空间V为维 数，并称V为r维向量空间. 3.4.3向量空间的坐标 设巴2,，叫是n维空间向量V的一组基，那么Wp亡V，有唯一的一组数，使得：XiCti +%2口2十UnCtn = P，那么就称有序数组 区，X?,Xn f是向量P在基 % ,口2,，下的坐标. 3.5规范正交基与Schmidt正交化 3.5.1正交基与规范正交基 空间向量一组基中的向量如果两两正交， 就称为正交基；若正交基中的每个向量 都是单位向量，就称其为规范正交基. 3.5.2Schmidt 正交化 若,口2,Cs线性无关，则可构造 附用2,