4-5不等式选讲练习

1、4-5不等式选讲练习 1对任意 X, y R, |x 1I+XI+ |y 1|+ |y + 1|的最小值为 2.设 a, b, m, n R,且 a2 + b2 = 5, ma + nb = 5,贝U-的最小值为. 3不等式X+ 3| |x 2|的解集为. 1 49 4. 已知正数x, y, z,且x+ y + z = 1,则一+二+ -的最小值为. x yz 5. 已知 ai2 + a22 + a32+ + an2 = 1 , bi2+ b22 + b32 + + bn2 = 1 ,贝卩 aibi + a2b2 + + anbn 的取值范围为 2 2 2 6. 若 x+ y + z= 1,贝

2、V F = 2x + 3y + z 的最小值为. 7. 已知a , b , c均为正数，且a + b + c = 1,则气/1：二制7 +冷菽八7 +寸壮1.的最大值为 8. 已知 a, b, c, d R且满足 a+ b + c + d = 3, a2 + 2b2+ 3c2 + 6d2= 5,则 a 的取值范围为 111 9. 已知a+ 2b + c = 1,则一 + 丁+的最小值为 ab c 10. 已知正数a, b, c满足a + b + c= 1,则a2 + b2 + c2的最小值为. 11. 函数y = 2冷I 一 ：1.的最大值为. 2 2 2 12. 已知2x+ 3y+ 4z=

3、2,则x + y + z的最小值为 13. 已知定义在R上的函数f(x)= |x+ 1|+ |x 2|的最小值为a. 求a的值； 若p, q, r是正 实数，且满足p + q + r = a，求证：p2 + q2 + r2 3. 14. 设函数 f(x)= 2x 1| + x 1, g(x)= 16x2 8x+ 1.记 f(x) w的解集为 M, g(x) w4勺解集为 N. (1) 求 M； 2 2 1 当 x M AN 时，证明：x2f(x) + xf(x)2w . 4 15. 设函数 f(x)= x+丄 + |x a|(a0). a (1)证明：f(x) 2 若f(3)0, b0，且 +

4、云= (1)求a3 + b3的最小值; 是否存在a, b，使得2a + 3b= 6?并说明理由. 2 2 17. 已知 x0, y0,证明：(1 + x+ y )(1 + x + y) xy. 6 18.已知x, y, z均为正数，求证: VZZX XX V Z arar 0已知一 R. 求证：xl + d +|x0 ?3 20. 已知.，, R求证“； x+y / x+y *31 21. 设不等式|x 2|0，求证：2a3 b32b2 a2b. 23. 已知函数 f(x) = m x 2|, m R,且 f(x+ 2)的解集为1,1. (1)求m的值； 若 a, b , c R+,且二 +=

5、 m，求证：a+ 2b + 3c9. a lb 3c 24. 已知函数f(x) = |x a|,其中a1. (1)当a = 2时，求不等式f(x) |x 4|的解集； 已知关于x的不等式|f(2x+ a) 2f(x)| w的解集为x|1炸2求a的值. 25. 已知函数 f(x) = |x 2| |x 5|. (1)证明：3wf(x) w； 求不等式f(x)決2 8x+ 15的解集. 26. 已知函数 f(x) = |2x 1|+ |2x+ a|, g(x)= x+ 3. (1)当a = 2时，求不等式f(x) v g(x)的解集； a 门 设a 1，且当x 壬 三；时，f(x) w(x)，求a

6、的取值范围. 27. 已知 f(x)= |ax + 1|(a R)，不等式 f(x)5 的解集为x|x2 或 x0,证明：3a + 2b 3 b + 2ab ； 证明：a6+ 8b6 + 丄c62b2c2； 若 a, b , c 为正实数，证明：a2+ 4b2 + 9c22b + 3ac + 6bc. 30.已知a, b为正实数. (1)求证: 利用的结论，求函数y= (0 x1)的最小值. 1 X 31.已知函数f(x) = 2二庆+ (1)求证：f(x) w,并说明等号成立的条件; 若关于x的不等式f(x) wm-2|恒成立，求 实数m的取值范围. 333222 32. 设 x, y, z

7、为正数，求证：2(x + y + z )決(y+ z) + y (x + z) + z (x + y). 33. 已知函数 f(x) = |x-a|. (1)若不等式f(x) w3勺解集为x|- 1 ww 5求实数a的值； 在的条件下，若f(x)+ f(x + 5)却 对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 34. 已知函数 f(x) = |x+ a|+ |x- 2|. (1)当a = -3时，求不等式f(x)3勺解集； 若f(x) w0). (1)当a = 1时，解不等式f(x) W8 若f(x)亘成立，求实数a的取值范围. 36. 已知函数 f(x) = |x-a|. (1)若不等式f(

8、x) w3勺解集为x|- 1 ww 5求实数a的值； 在(1)的条件下，若f(x)+ f(x+ 5)打 对一切实数x恒成立，求 实数m的取值范围. 37. 设函数 f(x)= |2x 4|+ 1. (1) 画出函数y= f(x)的图像； (2) 若不等式f(x) Wx的解集非空，求 a的取值范围. 38. 设函数f(x) =-. (1)当a = - 5时，求函数f(x)的定义域； 若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围. 39. 已知函数 f(x) = log2(|x- 1|+ |x- 5|- a). (1)当a = 2时，求函数f(x)的最小值； 当函数f(x)的定义域为R时，求实数a

9、的取值范围. 40. 已知不等式 2|x 3| +|x -4| V 2a. (1)若a = 1,求x的取值范围； 若已知不等式解集不是空集，求a的取值范围. 41. 已知一次函 数f(x) = ax - 2. (1)当a = 3时，解不等式|f(x)| v4； 解关于x的不等式|f(x)|v 4 ； (3) 若不等式|f(x)| w对任意x 0,1恒成立，求 实数a的取值范围. 42. 设全集U = R. (1)解关于x的不等式X 1|+ a 10(a R)； (2)记A为(1)中不等式的解集，集合 =0，若(？uA) PB 恰有 3 个元素，求a的取值范围. 43.设a、b是非负实数，求证：

10、a3 + b3 (a2 + b2). 44.已知a, b , c均为正数，证明：a2+ b2 + c2 + 号成立. 45. 已知a, b , c均为正实数，且ab + bc + ca = 1,求证： (1)a+ b+ c 乜$； + + (.+ ). 46. 求证：v 1 +寸+丁+ rv 2 (n 2 n N ). 2 2- 3-n *an2 47. 已知数列an中，a1 = a (a 2),对一切 n N , an 0 ,an+ 1 = 2(ar1) (1) 求证：an 2 且 an +1 v an ； (2) 求证：a1 + a2+ an v 2(n + a 2). 48. 设P是厶A

11、BC内的一点，x, y, z是P到三边a, b , c的距离，R是厶ABC外接圆的半径，证明 + + W帀血八. 49. 已知实数m , n 0. a2 b2 (a+fe)2 (1)求证：+ 一 ； m n m+ n (2)求函数y = + 的最小值. 50. 设a1, a2,，an是1,2,，n的一个排列，求证: 4-5不等式选讲练习 答案解析 1.【答案】3. 【解析】(a12 + a22 + + an2)(b12 + b22 + + 2 2 bn ) X b1 + a2b2+ + anbn), 1 它1 bi + a2b2 + + anbn W 1. 6.【答案】 |y1|+ ly+1|

12、 |1) (y+1)|= 2, 11 |x1|+ |x|+ |y 1|+ |y+ 1| 3. 【解析】(2x2 + |x1|+ |x|+ |y 1|+ |y+ 1的最小值为 3. +z)2= 6, 2.【答案】 【解析】根据柯西不等式(ma + nb)2气a2 + b2)(m2 2x2 + 3y2 + z2 7.【答案】 【解析】 X, y R , /. |x 1| + 凶 x- 1) x| = 2 2 2 2 + n ),得 25 ( x+ y 3.【答案】x|x 1 n25 , 的最小值为 【解析】 【解析】原不等式可化为 x + 3 +x-23, fx2； 或 3-2夕 3, x ?，或

13、 1x2. 故不等式的解集为x|x 1. 4.【答案】36 (后+ W + 2円 36, 6 11 (寸4口 + 1 xi + X1)2b+ c + d)2, 即 2b2+ 3c2+ 6d2b+ c + d)2, 即 5 a ( a), 解得1a . 11.【答案】3 【解析】(2寸！.一龙+雹：衣灯：1 )2 = ( - +1 - . )23= 9, 二2 + “. ；亠1的最大值为3. 1 2 得 16(x) W4 4 13 解得一 W (2+ 3y + 4z)2 15.【答案】 (1)由 a0，有 f(x)= x + + |x 2)|= 3, 当且仅当1喙W2时，等号成立， 所以f(x)

14、的最小值等于3,即a = 3. 证明由知p + q + r= 3，又因为p, q , r是 正实数， 2 2 2 2 2 2 2 所以(p + q + r )(1 + 1 + 1)耳 + q + r)= (p+ q+ r)2 = 9,即卩 p2 + q2+ r2 3. 【解析】 14. 【答案】 解f(x)= f3x - 3, x b 卡8), 11 -xt xe1). 4 当 xl时，由 f(x)= 3x 31 得 xw , 3 4 故 1Wx ; 3 当 x1 时，由 f(x)= 1 x0,故 owx2. (2)f(3) =3 1 石 + |3- a|. 当 a3 时，f (3) 当0a

15、w3寸, 由 f(3)5，得 1 =a+ 一 a 由 f(3)5，得 1 f(3) = 6 a+, 1 + :2 ) 16.【答案】(1)由 得 13.【答案】 解 因为X + 1|+ |x + 2| X+ 1) (x 1 a| x + a且当a = b=-时等号成立. 故 a3 + b32 .4 一， 且当a = b = 时等号成立. 所以a3+ b3的最小值为4-. (2)由(1)知，2a + 3b 2 ,2右沁4、. 由于46,从而不存在a, b，使得2a + 3b = 6. 20.【答案】因为I ,所以 x+vQ,所 以 要 证 j x+y / x+y 即证-;二 即证-出-门汇 即证

16、 -r/, 以 所 A ? 1-2 且 【解析】 17.【答案】因为x0, y0, 所以 1 + x + y?0,1 + x N y 3o, 2 Q 故(1 + x+y2)(1 + x2 + y) 申耳3 彳Fp = 9xy. 【解析】 而:./ :;显然成立， 故_ x+y / x+y 【解析】 21.【答案】(1)因为 A , 一士 2ab2 a2b. x-l-a - xa|? 丫一1-d(xa)|二|2 当 x4时，由 f(x) |x- 4得 2x-64, 解得x 5. 所以f(x) 4 |x- 4|的解集为x|x5 记 h(x)= f(2x+ a)-2f(x), |r - la, xW

17、Q, 则 h(x) =*4-2g0 xa, 1 a + 1 由 |h(x)| ,2 解得. 又已知|h(x)| 的解集为x|1 2 N _ I ， 所以于是a= 3. 1 F 齐 一 字 【解析】 所以一3f(x) 3. (2)由(1)可知， 当 x2 - 8x+ 15? x2 - 8x + 180(x 4)2 + 22 - 8x+ 15的解集为空集； 当 2x2 - 8x+ 15? x2 - 10 x+ 2205 - 2- 8x+ 15 的解集为x|5 $ x5 时，f(x) 2 - 8x + 15?x2 - 8x + 12? 22 - 8x+ 15 的解集为x|5 2 - 8x + 15的

18、解集 为x|5 - i J x 6 【解析】 26. 【答案】(1)当a = -2时，不等式f(x)vg(x)化 为 |2x- 1|+ |2x- 2|-x- 3 v 0.设函数 y = |2x- 1| + |2x- 2|- x-3,则 不等式的解集是x|0v x v 2. (2)当 x 不等式 f(x) (x)化为 1 + a a-2对x 一二 25. 【答案】 证明：当x2时，f(x)= 2-x- (5- x)=- 3； 当 2x5 时，f(x) = x-2-(5- x)= 2x- 7,所以一 3f(x)5时,f(x) = x-2-(x-5) = 3. a4 故一毛-2，即a 5得ax4或a

19、x2a + b + c)，即二 + bcab + 刃 + b + c. ca 又f(x)5的解集为x|x2或x0时，解得x 或x-, 29.【答案】(1)3a3 + 2b3 (3a2b + 2ab2)= 3a2(a b) 2b2 (a b)= (a b)(3 a2 2b2). -a 0, - a b 0,a? 2b?o. (a b)(3a2 2b2) 0. 3 a + 2b 3?b + 2ab 1 a6 + 2 2 3 x a b a6+ 8b6+_c62a2b2c2. / a2 + 4b2-厂=4ab, a2+ 9c22= 6ac, 4b2 + 9c2 2 =I2bc, 2 a2 + 8 b

20、2 + 18c24b + 6ac + 12bc, 2 2 2 a + 4b + 9c 2b + 3ac + 6bc. 故原不等式在R上有解时, 【解析】 即k的取值范围是 【解析】 30.【答案】 证明：法一：/ a0 , b0 , +- * b aj (a+ b) =a2+ b2 +看+ b2 b a 28.【答案】 由 a2+ b2 2b , b2 + c2 2c, + a22c,得 a2 + b2+ c2ab + bc + ac. 由题设得(a + b + c)2 = 1，即 a2 + b2 + c2 + 2ab + c2 2bc + 2ac = 1. + 2ab = (a+ b)2.

21、(T b1 . 13 + b, b a b 当且仅当a = b时等号成立. (a + b) 所以 3(ab + bc + ac) ” ab + bc + ac - a5 + d5 - crb - air crb:c2 (2)因为 一 + b 2 , 一+ c2d , 一 + a2c，故 bca 当且仅当 =二即 2 1 x = 4时等号成 (亦-巧 = ab cr (a - b) - t(a - b) ab _ (u _ 6)2(当一3W2 时，g(x)5. 综上可得，g(x)的最小值为5. 从而若f(x) + f(x+ 5)湘,即g(x) sm对一切实数x 恒成立，则m的取值范围为(汽5.

22、【解析】 34. 【答案】当a = 3时， -2x5, xW2, f(x) =v 1,23 解得 xW1 当2v xv 3时，f(x)无解； 当x3寸，由f(x)得 2x 53解得x4 所以f(x)勺解集为x|xwi或x4 (2)f(x) wx 4? |x 4| |x 2| s+ a|. 当 x 1,2时,|x 4 |x 2| 汝|+ a| ? 4 x (2 x) sx|+ a? 2 awxw2- a.由条件得2 awl且2 a2即3a0. 故满足条件的a的取值范围为3,0. 【解析】 35.【答案】(1)当 a = 1 时，|x|+ 2X 1| 8 3x-2, Q1 f(x) = |x|+

23、2x 1|=S E工 #2、0Xl * 十3x + 2, xWO, |0 xl, l I + 2W8, 解得 1或 0 x1 或 20 不等式的解集为y _孕. I3 J / f(x)=|x|+2|x 3x - 2a, xMg a| X+ 2a, 0 x6恒成立，由 图像可得a 6图像略)，即 的取值范围为6 ,+). 【解析】 36.【答案】方法一：(1)由f(x) 3得|x a| , 解得 a 3a + 3. 又已知不等式f(x) 3勺解集为x| 1x5, a 3 = - 1, 于是有解得a = 2. la+3 =5, -2r - 1 s (r 5,(-3WxW2), ,2x + 1(x

24、2). 从而当xv 3时，g(x) 5； 当一3x 2 时，g(x) 5. 综上，可得g(x)的最小值为5. 从而，若f(x) + f(x+ 5) m，即g(x) n对一切实数 x恒成立，则n的取值范围为(, 5. 方法二：(1)同解法一. (2)当 a= 2时，f(x)= |x 2|. 设 g(x)= f(x) + f(x+ 5). 由 |x 2| + |x + 3| x(- 2) (x + 3)| = 5(当且仅当一 3(n，即g(x) n对一切实数 x恒成立，则n的取值范围为(, 5. 【解析】 37.【答案】 由于 f(x)= f-2x+ 5, x2, 则函数y = f(x)的图像如

25、_2x3ix 鼻 2, 图所示. II 1 L 飞 f L f V 1 L I b () 1 t t ax的图像有交点故不等式f(x) ：,或av 2时，函数y= f(x)与函数y= 【解析】 38.【答案】(1)由题设，知|x+ 1|+ |x 2|- 50, 如图，在同一坐 标系中作出函 数y =|x + 1|+ |x 2| 和y = 5的图像，得定 义域为(一a, 2 U 3 , + g). s r=k+i|+|x-2| / 2 ! 1 J1L iLA-亠 -3-2-1 0 12 S工 (2)由题设，知当x R时，恒有 |x+ 1|+ |x 2|+ a Q 即|x+1|+ |x 2| 芜

26、a. 又由(I )|x+ 1|+ |x 2|得一aW3a二3. 【解析】 39. 【答案】函 数的定义域满足 |x 1|+ |x 5| a 0, 即 |x1|+ |x 5| a. (1)当 a = 2 时， f(x)= log2(|x1|+ |x 5| 2), 设 g(x) = |x 1|+ |x 5|,则 g(x)= |x 1|+ |x 5| = 2x-6,(x3=5)s 7(1 x0,得 av4, 故a的取值范围是(, 4). 【解析】 40. 【答案】(1)由 a = 1，得 2|x一3| + |x 4| v 2, 即 |x 3|+ |x 4|v 1. (|x 3|+ |x 4|)min

27、 = 1 ,二 x ?. 由 2|x 一3|+|x 4| v 2a,得 |x 3|+ |x 4|v a. T (|x 3|+ |x 4|)min = 1 , 要使不等式解集不是空集， 应有a 1. 即使不等式解集不是空集的a的取值范围是(1, + g). 【解析】 41. 【答案】(1)当a = 3时，则f(x)= 3x 2, |f(x)|v 4? |3x 2|v 4 ? 4 v 3x 2 v 4? 2 v 3xv 6 7 ? v xv 2, 3 不等式的解集为x|一0时，不等式的解集为 26 x|v xv ； aa 当av 0时，不等式的解集为 6 2 x| vxv . aa ? 1 ax

28、5 (3)|f(x)| 3ax 2| 3 Ox 2 0得 |x 1| 1 a. 当1 av0即a 1时，解集是R；当1 a= 0,即卩a = 1时，解集 为x|x R且xm 1； 当 1 a0,即卩 av 1 时， x 1 v a 1 或 x 1 1 a, xva 或 x2 a. 综上，当a 1时，原不等式的解集为R； 当a= 1时，原不等式的解集为 故 a3 + b3(a2+ b2). 【解析】 44.【答案】方法一：因 为a, b, c均为正数，由 均值不等式，得 2 2 2 a + b + c 3a(bc), 3 x|x R 且 xm 1 当av 1时，原不等式的解集为 + 丁 + 3a

29、bc ), a b c3 1-d 是 2 x|xv a 或 x 2 a. (2)当 a 1 时，？ uA= ?; 当 a= 1 时，？uA = 1; 当 av 1 时，？ S = x|a 致W2 a. 故a2 + b2 + c2 + 2 3abc)+ 2 2 又因为 3(abc)+ 9(abc) 3 3 a2 + b2+ c2 + Gb + bc + ac + =2sin n, 由 sin n= 0，得 n = knk Z), 即x= k(k Z)，所以B=乙 当(? uA) CB恰有3个元素时，a应满足 al, 22-a3,解得1v a 0. 、一 1 ,从而(.)5()5, 得(._)(

30、.)5 - ( ,)5邛 当a v b时，.v ，从而(.)5 v (.)5,得(.)【(.)5( . )50. 所以原不等式成立. 当且仅当a = b= c时，式和式等号成立. 当且仅当3(abc)匚=9(abc)二时，式等号成 立. 故当且仅当a = b = c = 3 时，原不等式等 号成 4 立. 方法二：因为a , b , c均为正数，由基本不等 a2+ b22b, 22 b + c2c, 2|2、c c + a 2ac. 从而 a2 + b2+ c2ab + bc + ac. 111111 同理 + +， tr bao bc ac 故原不等式成立. 当且仅当a= b = c时，式和式等号成立.当 且仅当 a = b = c, (ab)2 = (be)2 = (ac)2 = 3 时， 式等号成立. 故当且仅当a = b = c = 3 一时，原等式等号成立. 4 a ,+ b ,+ c 詁 b Wab + bc + ca 立. 原不等式成立. 【解析】 46.【答案】 k(k+ 1)k2 k(k 1), k2 1 1 1 V V , 分别令k= 2,3,