2020版高考文科数学大二轮专题复习新方略课件41等差数列与等比数列

1、 考点 1 等差数列、等比数列的基本运算 1通项公式 等差数列：ana1(n1)d； 等比数列：ana1qn 1. 2求和公式 等差数列：Snn?a 1an? 2 na1n?n1? 2 d； 等比数列：Sna 1?1q n? 1q a 1anq 1q (q1) 例 1 (1)2019 全国卷记 Sn为等差数列an的前 n 项和 已 知 S40，a55，则( ) Aan2n5 Ban3n10 CSn2n28n DSn1 2n 22n (2)2019 全国卷记 Sn为等差数列an的前 n 项和 若 a35， a713，则 S10_. 【解析】 (1)本题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和公

2、式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学 运算 方法一 设等差数列an的公差为 d， ? ? ? ? ? S40 a55， ? ? ? ? ? 4a143 2 d0 a14d5， 解得 ? ? ? ? ? a13 d2， ana1(n1)d3 2(n1)2n5，Snna1n?n1? 2 dn24n.故选 A. 方法二 设等差数列an的公差为 d， ? ? ? ? ? S40 a55， ? ? ? ? ? 4a143 2 d0 a14d5， 解得 ? ? ? ? ? a13 d2， 选项 A，a1215 3；选项 B，a131107，排除 B；选项 C， S1286，排除 C；

3、选项 D，S11 22 3 2，排除 D.故 选 A. (2)设等差数列an的公差为 d，则由题意，得 ? ? ? ? ? a12d5 a16d13， 解得 ? ? ? ? ? a11 d2， 所以 S10101 109 2 2 100. 【答案】 (1)A (2)100 等差(比)数列基本运算的解题思路 (1)设基本量 a1和公差 d(公比 q) (2)列、解方程组：把条件转化为关于 a1和 d(q)的方程(组)，然 后求解，注意整体计算，以减少运算量 . 对接训练对接训练 12019河北衡水中学摸底 已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S10100，则 a7的值为( )

4、 A11 B12 C13 D14 解析：an的公差为 2，S10100，10a190100，a 1 1，a713，故选 C. 答案：C 22019湖南重点高中联考 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a11，公差 d0，a1，a2，a5成等比数列，则 S5( ) A15 B20 C21 D25 解析：由已知得 a 2 2a1a5，即(1d) 21(14d)，又 d0 得 d2，S5554 2 225，故选 D. 答案：D 考点 2 等差、等比数列的判定与证明 1证明数列an是等差数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明 an1an(nN*)为一常数； (2)利用等差中项，即证明 2anan

5、1an1(n2) 2证明数列an是等比数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明 an1 an (nN*)为一常数； (2)利用等比中项，即证明 a 2 nan1an1(n2) 例 2 2019广东广州调研测试 设 Sn是数列an的前 n 项和， 已知 a37，an2an1a22(n2) (1)证明：数列an1为等比数列； (2)求数列an的通项公式，并判断 n， an，Sn是否成等差数列？ 【解析】 (1)证明：因为 a37，a33a22，所以 a23， 则 an2an11，取 n2，得 a22a11，解得 a11. 由 an2an11(n2)，得 an12(an11)，即 an1 an112

6、， 所以数列an1是首项为 a112，公比为 2 的等比数列 (2)由(1)知，an122n 12n，即 a n2 n1， 所以 Sn2?12 n? 12 n2n 1n2. 于是 nSn2ann(2n 1n2)2(2n1)0， 所以 nSn2an，即 n，an，Sn成等差数列. (1)判断一个数列是等差 (等比)数列，有通项公式法及前 n 项和 公式法，但不作为证明方法 (2)若要判断一个数列不是等差 (等比)数列，只需判断存在连续 三项不成等差(等比)数列即可 (3)a 2 nan1an1(n2， nN *)是a n为等比数列的必要不充分条 件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为

7、0. 对接训练对接训练 3已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an3n(nN*) (1)求 a1，a2，a3的值 (2)设 bnan3，证明数列bn为等比数列，并求通项公式 an. 解析： (1)因为数列an的前 n项和为 Sn， 且 Sn2an3n(nN*) 所以 n1 时，由 a1S12a131，解得 a13， n2 时，由 S22a232，得 a29， n3 时，由 S32a333，得 a321. (2)证明：因为 Sn2an3n， 所以 Sn12an13(n1)， 两式相减，得 an12an3， 把 bnan3 及 bn1an13，代入式， 得 bn12bn(nN*)，且 b

8、16， 所以数列bn是以 6 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 bn62n 1， 所以 anbn362n 133(2n1) 考点 3 等差、等比数列的性质 等差数列 等比数列 性质 (1)若 m，n，p，qN*，且 mn pq，则 amanapaq； (2)anam(nm)d； (3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍 成等差数列 (1)若 m，n，p，qN*，且 mnpq， (2)anamqn m； (3)Sm， S2m Sm， S3m S2m，仍成等比数列 (q 1) 例 3 (1)2019 长春市质量监测 (一)各项均为正数的等比数 列an的前 n 项和为 Sn，已知 S630，S9

9、70，则 S3_； (2)2019 福建泉州第十六中学月考 设等差数列an的前 n 项和 为 Sn， 且满足 S170， S180 且 q1)，由 题意可得 ? ? ? ? ? ? ? S6a 1?1q 6? 1q 30 S9a 1?1q 9? 1q 70 ， 得， 1q6 1q9 1q3 1q3q6 3 7，又由 q0，得 q 32，再由S3 S6 a1?1q3? 1q a1?1q6? 1q 1 1q3 1 3，得 S3 1 3S6 10. 优解 由题意可得 (S6S3)2S3(S9S6)，即 (30S3)240S3， 即 S2 3100S39000，解得 S310 或 S390，又数列 a

10、n的各项 均为正数，所以S30，S180,9(a9a10)0，a 100 且公差 d0,10 n15 时， Sn a n0， 又 1n8 时，0a n1Sn0， S9 a9最大 【答案】 (1)10 (2) S9 a9 等差、等比数列性质问题的求解策略 (1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号 之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解 (2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若 mnpq，则 amanapaq”这一性质与求和公式Sn n?a1an? 2 的综合应用. 对接训练对接训练 4一个项数为偶数的等比数列 an，全部各项之和为偶数项之 和的 4 倍

11、，前 3 项之积为 64，则 a1( ) A11 B12 C13 D14 解析：设数列an的公比为 q，全部奇数项、偶数项之和分别 记为 S 奇、S偶，由题意知，S奇S偶4S偶，即 S奇3S偶因为数列 an的项数为偶数，所以 qS 偶 S奇 1 3.又 a 1(a1q)(a1q 2)64.所以 a3 1q 3 64，故 a112. 答案：B 5 2019内蒙古呼和浩特一中摸底 已知数列an是递减的等比 数列，a1a49，a2a38，则数列an的前 n 项和 Sn( ) A8 1 2n 3 B16 1 2n 4 C2n 38 D162n3 解析：设等比数列an的公比为 q，a2a38，a1a48

12、，又 a1a49 且数列an是递减数列，a18，a41，q31 8，q 1 2， Sn 8? ? ? ? ? 1 1 2n 11 2 16 1 2n 4，故选 B. 答案：B 62019江苏常州月考已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2a3a108，则 S9_. 解析：设等差数列an的公差为 d，a2a3a108， 3a 112d8，a14da58 3，S 99a524. 答案：24 考点 4 数列与新定义相交汇问题 例 4 2019山西太原期末对于数列an，定义 Hn a12a22n 1a n n 为an的“优值”， 已知数列an的“优值”Hn 2n 1，记数列a n20的前 n

13、项和为 Sn，则 Sn 最小值为( ) A70 B72 C64 D68 【 解 析 】 数 列 an 的 “ 优 值 ”Hn 2n 1 ， Hn a12a22n 1a n n 2n 1，a 12a22 n1a nn2 n1，2n 1a nn2 n1(n1)2n(n2)，a n4n2(n1)2n2(n2)，又 a14，满足上式， an2n2(nN *)，a n202n18，由 ? ? ? ? ? an202n180， an1202n160 得 8n9， Sn的最小值为 S8S972， 故选 B. 【答案】 B 数列新定义型创新题的一般解题思路 (1)阅读审清“新定义” (2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到 “新定义”的相关知识 (3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论 . 对接训练对接训练 7 在数列an中，nN*，若a n2an1 an1an k(k 为常数)，则称an 为“等差比数列”，下列是