材料力学例题及解题指导总结

1、材料力学例题及解题指导（第二章至第六章）第二章拉伸、压缩与剪切例2-1试画出图a直杆的轴力图解：此直杆在 A、B、C、D点承受轴向外力。先求AB段轴力。在段内任一截面1-1处将杆件截开，考察左段（图 2-5b）。在截面上设出正轴力2。由此段的平衡方程 ZX = 0得Nl 6= 0,Ni =+ 6kN2-5 （d）所示。由此图可知数值最大的轴力发生在图2-5理得CD段内任一截面的轴力都是一4kN。画内力图，以水平轴 x表示杆的截面位置, 的比例尺画出轴力图，如图Ni得正号说明原先假设拉力是正确的，同时也就表明轴力是正的。AB段内任一截面的轴力都等于+6kN。再求BC段轴力，在BC段任一截面2-2

2、处 将杆件截开，仍考察左段（图 2-5C）,在截 面上仍设正的轴力 N 2,由ZX= 0得6 + 18+ N2 = 0N2=- 12kNN2得负号说明原先假设拉力是不对的（应为压力），同时又表明轴力 N2是负的。BC段内任一截面的轴力都等于12kN。同以垂直x的坐标轴表示截面的轴力，按选定BC段内。解题指导：利用截面法求轴力时，在切开的截面上总是设出正轴力N，然后由3X= 0求出轴力N ,如N得正说明是正轴力（拉力）， 如得负则说明是负轴力（压力）。(a)杆7/(b) 图2-6例2-2试求自由悬挂的直杆（图2-6a） 由纵向均匀分布荷载 q （力/长度）引起 的应力和纵向变形。设杆长 I、截面

3、积A 及弹性模量E均已知。解：在杆上距下端为x处取一任意横截面m-m,则该截面轴力为N（x）= qx,根据此式可作出轴力图如图2-6b所示。m-m 截面的应力为 （x） = N（x）/A= qx/A。 显然，悬挂端有最大轴力Nmax = ql及最求杆纵向变形,由于各横截面上轴力不等,不能直接应用公式（2-4）,而应从长为dx的微大正应力- max =ql / A。段出发。在x处取微段dx,其纵向伸长可写为.：dx 二N xdxEA杆件的总伸长ixdx 二ql2EA研究上端固定杆件由于自重引起的伸长时，杆件自身重量就是一种均匀纵向分布力，此时单位杆长的分布力 q=A1 ,此处 是材料单位体积的重

4、量即容重。将q代入上式得到Al2 Al I Gl-2EA - 2EA - 2EA此处G = Al是整个杆的重量。上式表明等直杆自重引起的总伸长等于全部重量集中于 下端时伸长的一半。解题指导：对于轴力为变数的杆，利用虎克定律计算杆件轴向变 形时，应分段计算变形，然后代数相加得全杆变形，当轴力是连续函 数时则需利用积分求杆变形。(a)图2-7例2-3图2-7所示两根圆截面杆材料相同，试计算两杆的应变能，并比较其大小。解：a杆:UaP2 丨=P2 l_ 22EA 2E：d4二2 P le dP2|3IP2|2U“2 二二 7PI2 2E 二(2d)22：d2 8E二d2b杆：44a2 16两杆应变能

5、之比:b解题指导：从本例可看出，在受力相同的情况下，刚度小的杆件 应变能大。例2-4平行杆系1、2、3悬吊着刚性横梁 AB如图2-8a所示。在横梁上作用着荷载 G。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为 A、I、E。试求三根杆的轴力 Ni、N2、N30 -闭1(a()图2-8解：设在荷载 G作用下，横梁移动到AB位置(图2-8b),则杆1的缩短量为Ali，而杆2-8c,其上除荷载 G夕卜，还有轴力(1)平衡方程ZX =0,X =0=0,-N1 N2 N3 _G =0mB =0,-N1 2a N 2 a = 0三个平衡方程中包含四个未知力，故为次超静疋冋题。(a)2、3的伸长量为

6、厶12、J3。取横梁 AB为分离体，如图N2、N3以及X。由于假设1杆缩短，2、3杆伸长，故应将 N1设为压力，而 N2、N3设 为拉力。 变形几何方程由变形关系图2-8b可看出B1B = 2C1C ；即八4 ：计1 = 2(订2 *h),或(b)(3)物理方程Nil(C)EA将(c)式代入(b)式，然后与 式联立求解，可得Ni =G/6 , 2七/3 , N3-5G/6解题指导：在解超静定问题中：假定各杆的轴力是拉力、还是压力，要以变形关系图中各杆是伸长还是缩短为依据，两者之间必须一致。经计算三杆的轴力均为正，说明正如变形关系图中所设，杆2、3伸长，而杆1缩短。例题及解题指导例2-5图3-6

7、所示螺钉承受轴向拉力 F，已知许可切 应力和拉伸许可应力门之间的关系为：.=0.6门，许 可挤压应力；bs和拉伸许可应力匚之间的关系为： ；bs=2；。试建立 D，d，t三者间的合理比值。解：(1)螺钉的拉伸强度(2)螺帽的挤压强度bsFbsAcF: 2 2(D2 -d2)4叮讥D24F十bsd22F 4F 6F=二二 二二 二;二 2.45(3)螺帽的剪切强度AQF二 dtF二 dF3；。即=0.83F二-得：D : d : t = 1.225: 1 : 0.415解题指导：注意此题的剪切面、挤压面图3.7例2-6 一托板用8只 铆钉铆于立柱上，如图 3-7a,铆钉间距为 a, F = 80

8、kN ,距离I = 3a。已知铆 钉直径d = 20mm，许可切 应力.=130MPa，试校核 铆钉剪切强度。解：铆钉群的形心C位 于立柱的y轴上。将力F 向C点平移得到一个过 C 点的y向力F和一个顺时针转动的力偶Fl。通过C的力F在每个铆钉受剪面上引起的剪力相等，其值为F/8,图3-7(c)所示，图中只示出1、2、8三个铆钉沿负y方向的剪力F/8。力偶Fl在每一铆钉中也引起剪力，假设剪力方向与该铆钉中心至C的连线正交，而大小与连线长度成正比。图3-7(b)示出Fl引起的铆钉剪力；铆钉 1、3、5、7的剪力都是Q 1； 2、4、6、8的剪力都是 Q?。诸铆钉 的剪力对C之矩之和等于Fl，即4

9、Q“ 2a 4Q2a = Fl再利用Q1/Q2 2a/a 2，代入上式得Fl .212a亠,44铆钉2的总剪力 Q2= F/8 + F/4 = 3F/8。铆钉1的总剪力是所以铆钉1、3受力最为危险，故Qi 二d2/480 1034二(20)2=115MPa解题指导：在对铆钉群构成的连接件进行剪切强度计算时，要正 确分析每个铆钉的受力。当外力通过铆钉群中心时，可以近似看作每 个铆钉受力相同。当外力不通过铆钉形心时则应根据实际受力情况分析铆钉受力第三章例题和解题指导例3.1已知传动轴（图 4-5（a）的转速 n = 300r/min，主动轮 A输入的功率 P = 400kW , 三个从动轮输出的功

10、率分别为Pb= 120kW , Pc = 120kW, Pd= 160kW。试画轴的扭矩图。解：（1）计算作用在各轮上的扭矩 m。因为A是主动轮，故 mA的转向与轴的转向一致； 而从动轮上的转矩是轴转动时受到的阻力，故从动轮B、C、D上的转矩方向与轴的转向相反。MTd04Nm =12.74kNm3mB 二 mC =3.82 10 Nm = 3.82kNm3mD =5.10 10 Nm =5.10kNm(2 )求各段轴的扭矩。先求1-1截面扭矩,从该截面切开，保留右段，并在截面上设出 正扭矩Mti (图4-5 (b)。由平衡条件 Zmx= 0，有m。一 口人一Mti= 0得MTi = -mA =

11、 -12.74kNm这里Mti得负号说明该截面的扭矩是负号。在A、 B轮之间所有截面的扭矩都等于12.74kNm。仿此可得出 MT2= 8.92kNm , MT3= 10kNm。(3)画扭矩图。以横坐标表示截面位置，以纵坐标表示扭矩，按选定的比例尺作出 AB、BC、CD三段轴的扭矩图，因为在每一段内扭矩为常数，故扭矩图由三段水平线组成，如图4-5(c)。最大的扭矩7.64kNm发生在中间段。解题指导：求轴横截面扭矩时，在截面上总是设出正扭矩Mt,再用zm= 0求此扭矩。如Mt得正号说明是正扭矩，如得负号则说明是负扭矩。若将此例中的A、B轮对调，则扭矩图如图4-5(d所示，由此可知， 合理布置荷

12、载可以降低内力的最大值，提高杆件的承载能力。例3.2已知传动轴为钢制实心轴，最大扭矩Mt= 7.64kNm，材料的许可切应力.=30MPa，切变模量G= 80GPa,许可扭角円=0.3 /m，试按强度条件和刚度条件设计轴径d。解：根据强度条件式(4-6)得出：d，竺邛 16 7.64 106 “09mm *兀可N 兀汉30再根据刚度条件式（4-9b ）得出:117mmd 、Mt x32x180 _47.6406 X32X180-G二2习二 80 103 二 2 0.3 10两个直径中应选其中较大者， 要的。即实心轴直径不应小于117m m,说明在此设计中刚度是主例3.3已知圆轴受外力偶矩m=

13、2kNm，材料的许可切应力 .=60MPa。(1 )试设计实心圆轴的直径D1；(2)若该轴改为： =d/D=0.8的空心圆轴，式设计空心圆轴的内、外径d2、D2解：(1)扭矩MT=m=2kNm，实心圆截面直径=55.4mmD 3 16Mt 316 2 106二1 二 60(2)若改为:= 0.8的空心圆轴，设计外径16 2 1066.0mmD216M；-3 4.二（1-： 4） -（1 - 0.84） 60内径 d2=0.8 x D2=0.8 x 66.0 = 52.8mm。(3)比较二者面积空心轴的截面2 二 D? 4(12 二 66.02一） 厂(1 -0.82)= 1231.6mm2实心

14、轴的截2二 D14二 55.4222410.5mm422A _ 1231.6A 一 2410.50.51解题指导：由此例可见使用空心圆轴比实心圆周可以节约很多材 料，其主要原因是空心圆轴的材料布置离轴心较远，充分发挥了材料的承载能力。例3.4计算图4-6受扭圆轴的应变能。设di=2d2，材料的切变模量为G。图4-6然后解 此轴扭矩是常数，MT=m,但AB和BC截面尺寸不同，因此应分段计算应变能,-再相加。有U = U AB U bcmt2l2GIpiMT2L2Glp232m2L32m2L2G；（2d2 2Gd；-17m2LG 二 d：c划1求解：该截值即可确定形心5-5所示具有纵对。选取附录部

15、C 鸟 C那分例题和解题指导的位置。形则形心一定在此对称轴上，因此只要求出形心在高度方向的方法计算形丿200尺截面的 寸称轴， 参考坐标系c的座标yc。，以对称轴为y轴,X0轴选择截面的下边缘。下面用两种图65-5。它们的面积 Ai和形心Ci解法1,将该组合截面分割为、三个矩形截面，如图的纵座标yci分别是2Al300 10 =3000(mm), y = 150mm2A2 = 300 10 =3000(mm), yc2 = 150mm2A3=200 10 =2000(mm), yC3 二 305mm于是截面形心 C在参考轴Xoy系内的纵坐标yc为送 Ay 3 灯03 “50 疋 2+2 灯03

16、汉 305 “ccyc33188.8mmZ A3灯03 疋 2 + 2 灯 03解法2,也可将以上组合截面看作在 200X 310矩形的基础上，挖去一个 180X 300的 矩形，挖去矩形的面积取为负值。于是矩形、的面积A及形心坐标y ci分别为32A=310 200=62 10 (mm) ,= 155mm A2= - 300 180=- 54 10(mm)2yc； = 150mm截面形心C在参考轴Xoy系内的纵坐标yc为Z Ay 62x103 x155-54x103 x1502 A6203 -54如03=188.8mm两种解法结果完全相同。解题指导：计算形心时参考坐标轴可以任意选取，但好的选

17、择可以使计算更容易。本题的第二种解法称为负面积法，是计算截面几何性质时常用的方法。例2试计算图5-7所示图形对水平形心轴 x的的形心主惯性矩。解 (1)求形心。建立参考坐标轴x 1、y,形心显然在对称轴 y上，只需求出截面形心C距参考轴X1的距离yc。将该截面分解为两个矩形，各矩形截面的面积Ai及自身水平形心轴距参考轴X1的距离yci分别为：2 2Ac1=200X 50=10000( mm) , yz= 150mm; Ac2=50X 150=7500( mm) , yc2= 25mm;431 10 150 7.5 10 251 104 7.5 103=96.4mm(2)求形心主惯性(略)第四章

18、弯曲内力 例题及解题指导亠玄 1cEQ图是斜直线，由两点即可确定该直线。当例4.1写出图6-3示各梁的剪力方程和弯矩方程，并做剪力图和弯矩图。解：(1)分两段列Q、M方程：AC段Q(x) _ _qx (0 _ x _ a)12M (x)qx2(0 _ x _ a)CB段Q(x) = -qa (a _ x ：: 2a)(aM (x) = -qa x(a _ x ：: 2a)I 2丿(2)作图：AC段剪力：剪力方程是x的一次函数，剪力x=0，qa=0 ;当 x=a，得 Qc= qaoBC段剪力：剪力图是水平线，由于C点无集中力作用，C点剪力连续，Q = Qc= qa。AC段弯矩：弯矩方程是x的二次

19、函数,由q = c0, q与弯矩的关系知，弯矩图是下凸抛=lQkM/ui沁Wn图6.42qaM c = _ 物线。当 x=0, Ma=0；当 x=a,得2 oBC段弯矩：弯矩方程是剪力图是x的一次函数，弯矩图是斜直线。因梁上没有集中力偶，弯Mb巫矩图在C点应连续，x=2a时，2 o作出剪力图和弯矩图如图示。例4.2试绘出图6-4所示梁的剪力图和弯矩图。解：(1)利用平衡条件求出 A、B支座的支反力Ya和Yb。mA= 0, 20X 1 40+ YbX 4- 10X 4X 2 = 0Yb= 25kNmB= 0, 20X 5 Yax4 + 10X 4X 2 40= 0Ya= 35kN(2) 列CA段

20、Q、M方程：建立坐标系，以C端为x轴坐标原点，CA段距左端为x的任意截面，取左侧为对象，则Q!= 20, (0vxv 1m)(a)M i= 20x, (0w xv 1m =(b)(3) 列AB段Q、M方程：AB段距C端为x的任意截面，如取右侧为对象，则Q2= Yb + q(5 x)=- 25+ 10(5 x)(1 vxv5=(c)M2= Yb (5 x) q(5 x) (5 x)/2= 25 (5 x) 5(5 x) , (1v x 5 =(d)利用 、(b)和(c)、(d)式可绘出CA和AB段的Q、M图(图6-2b, c)。(4) 检查Q、M图的正确性a、利用集中力、集中力偶作用处的突变关系

21、。梁上C、A、B三处分别有集中的力 20kN( J )、35kN( T )、25kN( f )，因而由左向右经过 上述各处时，剪力图分别突变 20kN( J卜35kN( T )、25kN( T )，因C、B在梁的两端，上述 突变表现为C右截面剪力为20kN , B左截面剪力为25kN。梁上A处有顺时针集中力偶 40kN m,因而A处左截面至右截面的弯矩突变+40kN m。b、利用微分关系对于CA段，分布荷载集度q= 0,剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。对于AB段，q=10kN/m，剪力图为斜直线，并在 A右1.5m处(D截面)剪力为零。弯矩图为下凸的二 次抛物线，并在D截面有极大值。解题指导

22、：截面的内力既可以用截面的左半部分计算也可以用截 面的右半部分计算，所得结果相同。画 出内力图后利用微分关系和Q、M图的 规律检查内力图的正确性，可以确保结 果正确。例4-3作出图示具有中间铰链(图6-5 a)梁的弯矩图。解：(1)求支反力：在中间铰链处将梁拆开成两 部分，其间的相互作用力以Qb代替，如图6-5(b)自由端所示。显然，拆开后连续梁可以看成一个受集中力偶的简支梁和一个梁上受均布力、 受集中力Qb的悬臂梁。max2二 qa由简支梁AB很容易求出Qb：1Qb =Yaqa2(2)分别作简支梁AB和悬臂梁BC的弯矩图，如图6-5 (c)。因单个梁的弯矩图很容易得到，作图过程在此不再赘述。

23、注意两个梁的弯矩图应合并画在同一条水平轴线上。解题指导：(1求解有中间铰链的连续梁问题，一般都从铰接处拆开。拆开后能独立存在的部分称为主梁，如图中的 BC梁；不能独立存在的部分称为辅梁，如图中的 AB梁。先从辅梁上解出铰链处的约 束力，再把此约束力当作外荷载加到主梁上， 这样就变成了两个简单 梁，作这两个简单梁的内力图并连接到一起， 即为有中间铰链梁的内力图(2对转动，固中间铰链只能传递力不能传递力偶。因此只要铰链左右两侧没有集中力偶，其弯矩应为零。例4.4利用剪力、弯矩与荷载集度的关系作图6-6所示梁的剪力图和弯矩图。解：计算支座反力 Ya = Yb = qa/4AC段剪力：q=c0,剪力为

24、下降的斜直线，A点剪力：Qa = qa/4, C点偏左剪力：Qc 左=3qa/4。AC段弯矩：q=c0,剪力为上升的斜直线,C点剪力：因C点无集中力，剪力在 C点连续，C点偏右剪力：Qc右=Qc左=一 3qa/4; B点剪力：Qb = qa/4。2BC段弯矩：q = c0,弯矩为上凸抛物线，C点偏右弯矩：Me右=qa/4, B点弯矩：Mb =0。2在距离B端支座为a/4的E处，剪力等于零，弯矩有极值 ：Me = - qa /32 根据以上分析和计算，画出剪力、弯矩图如图6-6(b)、(c)所示。解题指导：熟练掌握剪力、弯矩图的规律，可以不写剪力、弯矩方程，直接绘图对称结构承受反对称荷载时，剪力

25、图是对称的，弯矩图是反对称的第五章 弯曲应力 例题和解题指导例5.1将一根直径d = 1mm的直钢丝绕于直径 D = 1m的卷筒 上(图7-7)，已知钢丝的弹性模量 E= 200GPa，试求钢丝由于弹性 弯曲而产生的最大弯曲正应力。又材料的屈服极限cs= 350MPa，求不使钢丝产生塑性变形的卷筒轴径 D1应为多大。解：(1)最大弯曲正应力1 _ M由式(7-2)，有曲率与弯矩间的关系ElzJ maxEIM _ El zy _ Ey 200 109 0.5 10Wzz二0.5=200MPa(2)求轴径D1max，则Ey9_3200 100.5 106350 10=0.285m得轴径 D1 =

26、0.571m解题指导：钢丝的直径d远小于卷筒的直径径 D，因此钢丝的曲-D d . D率半径可以近似为.2 2 2例5.2 T字形截面铸铁梁的荷载及截面尺寸如图7-8(a)示，C为T形截面的形心，惯矩Iz= 6013 x 104mm4，材料的许可拉应力 G = 40MPa，许可压应力二c = 160MPa，试校核梁 的强度。解：梁弯矩图如图7-8(b)所示。绝对值最大的弯矩为负弯矩，发生于 B截面上，应力分布如15 tcN-mW (dj最大压应力在解题指导:(F)aMa%150 106 157.56013 10= 39.3MPa；刁B截面下边缘处，最大拉应力在A截面下边缘处，都满足强度条件。I

27、z由此例可知，对于铸铁等脆性材料，由于拉、压许可图7-8图7-8 (c)所示。此截面最大拉、压应力分别发生于截面上、下边缘各点处30 106(230 -157.5)6013 104=36.2MPa:刁30 106 157.546013 10= 78.6MPa；二虽然A截面弯矩的绝对值|Ma|y2因此，全梁最大拉应力究竟发生在哪个截面上,必须经计算才能确定。A截面最大拉应力为应力不等，通常制成上、下不对称截面，以充分发挥材料的承载潜力。应特别注意此种梁的弯矩有正、有负时，可能出现两个危险截面，而且两个危险点可能不在同一个截面上。例5-3矩形截面悬臂梁如图 7-9示，试计算梁的最大切应力和最大正应

28、力并比较大小。 解：梁的最大弯矩在固定端处，Mmax=PI,剪力在梁的各截面均为常数，危险截面在固定端处。匚maxmaxmaxWz3 P2 bh6Plbh2max应力比：二max 41解题指导：对于细长梁，如1= 5h,则有max= 0.05 max,亦即最大 切应力远小于最大正应力。这一结论适用于通常的非薄壁截面梁（指 厚壁截面梁及实心截面梁）。一般说来，非薄壁截面细长梁横力弯曲的强度计算可以只考查正 应力强度，不必考虑切应力。但对于顺纹方向抗剪强度差的材料如木 制梁及切应力较大的薄壁截面梁或短梁（跨度与梁的高度比小于5） 则需同时进行正应力和切应力的计算例5.4图7-10所示悬臂梁由三块胶

29、合在一起，截面尺寸为： b=100mm， a=50mm。已知木 材的门=10MPa , = 1MPa，胶合面的j = 0.34Mpa试求许可荷载P。解：（1）由梁的抗拉强度确定的许可荷载P!maxmaxWz6RIbh2(a)2 2.bh 二100 15010=-6I6 1000= 3.75kN（2）由梁的剪切强度确定的许可荷载P2max3R2 bh打叮2 bh2 11 00158kN（3）由胶合面的剪切强度确定的许可荷载P3jIzb*Sz* *1 _ QSz _ RSzj 一 Izb一 IzbSz =100 50 50 =2.5 105= 3.83kN0.34 1002 150312 2.5

30、105在三个荷载中选择最小的，得胶合梁的许可荷载P=3.75kN。解题指导：在上面胶合梁中假如胶合层发生破坏， 则杆的弯曲特性随之而改变，抗弯强度将会显著降低。设三个梁接触面间摩擦力甚小，每个梁可以自由弯曲，且弯曲曲率完全一样。这时，可近似认为 每个梁上承担的外力等于P/3，则每一梁的最大正应力等于maxmax Wz(P/3)l 6Pl2 2b(h/3) /6 bh与式（a）比较，最大正应力增加了三倍第六章弯曲变形例题及解题指导例6.1用积分法求图8-2所示梁挠曲线方程时，要分几段积分？将出现几个积分常数? 列出确定其积分常数条件。（弹簧刚度为k）U）（b图8-2解：（a）分两段积分，1. AC段，2.CB段。4个积分常数。边界条件：Va=O, vb= Rb/ k（Rb为B点支反力）连续条件： Vc1 = Vc2 二 C1 = C2（b）分三段积分，1. AD段，2.DC段，3.CB段。6个积分常数。边界条件：Va= 0, %= 0, vb= 0,连续条件：VD1 = yD2 ,T DI = T D2 , VC2= yC3解题指导：（1）在荷载突变处、中间约束处、截面变化处（惯性 矩I突变处）及材料变化处（弹性模量 E值突变处）均应作为分段积 分的分段点。（2）中间铰链连接了两根梁，也应作为分段点。（3）各分段点处都应列出连续条件，中间铰