平行线之间的动点问题(含答案)

1、 15 平行线之间的动点问题 平行线的判定与性质 1. 判定方法：（1）同角相等,两直线平行； （2）内错角相等,两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行；. （4）在同一平面内，垂直于同一直. 2. 性质：（1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补. 3. 相同点：平行线的判定和性质研究的都是两直线被第三条直线所截的图形，可以说 这个图形是它们共同的、必备的前提条件。 4. 区别：平行线的性质和平行线的判定中的条件 平行线的“判定”，是为了判断两条直线是否平行，就要先研究同位角、内错角、同 旁内角的数量关系，当知道了“同位角相等”或“内

2、错角相等”或“同旁内角互补 时就可以判定这两条直线平行。它们是由“数”到“形”的判断。 平行线的“性质”，是已经知道两条直线平行时，就可以推出同位角相等，丽角相 等，同旁内角互补的数量关系，即“平行线”这种图形具有的性质。它们是由“形 到“数”的说理。 1、（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生 折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根 据光学知识有/ 仁/2，/ 3=/ 4,请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由. （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线 与镜面的夹角相等，如图

3、2有一口井，已知入射光线 a与水平线0C的夹角为42，而 如何放置平面镜 MN可使反射光线 b正好垂直照射寸到井底?_（即求MN与水平线的夹角） （3）如图3,直线EF上有两点A C,分别引两条射线 AB CD / BAF=110，/ CD与AB平 D E A C DCF=60，射线AB CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转 动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得 行？若存在，求出所有满足条件的时间t . 圏1 解：（1）平行.理由如下: 如图，/ 3= / 4， /./ 5=/ 6， V/ 1=/ 2， / 1+/ 5=/ 2+/ 6, a /

4、 b; (2)v入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等， / 1=/ 2, 入射光线a与水平线OC的夹角为42, b垂直照射到井底, / 1+/ 2=180 -42 -90 =48 , /./ 1= 2 X 48 =24, MN与水平线的夹角为：24 +42 =66; (3)存在. 如图，AB与 CD在 EF 的两侧时，/ BAF=110 , / DCF=60 , /./ ACD=180 -60 -3t=120 -3t , / BAC=11O -t , 要使AB/ CD 贝y/ ACDM BAF, 即 120 -3t=110 -t , 解得t=5 ; 此时(180 -60 )- 3=4

5、0, Ov t 40, CD旋转到与 AB都在EF的右侧时，/ BAF=110，/ DCF=60 , / DCF=360 -3t-60 =300 -3t , / BAC=110 -t , 要使AB/ CD 贝y/ DCF/ BAC 即 300 -3t=110 -t , 解得t=95 , 此时(360 -60 )- 3=100, 40t 110, 95 110, 此情况不存在. A C 解析: (1) 根据等角的补角相等求出/ 3 与/ 4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平 行即可判定a / b； 即可得解； ACD与/ BAC然后根据两直线平行, 1=/ 2,然后根 (2) 根据入射光线与

6、镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得/ 据平角等于180求出/ 1的度数，再加上42。 (3) 分AB与 CD在 EF的两侧，分别表示出/ 内错角相等列式计算即可得解； DCF与/ BAC然后根据两直线平行, CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出/ 同位角相等列式计算即可得解； DCF与/ BAC然后根据两直线平行, CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出/ 同位角相等列式计算即可得解. 2、女口图 1, CE平分/ ACD AE平分/ BAC / EAC+/ ACE=90 (1) 求证：AB/ CD 如图2,由三角形内角和可知/ E=90,移动直角顶点 E ,使/ MCE/ E

7、CD当直角 顶点E点移动时，问/ BAE与/ MCD5存在确定的数量关系？并证明； 如图3 , P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点 Q在射线CD上运 动时(点C除外)/ CPQ/ CQP与/ BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由.当点 Q 在射线CD的反向延长线上运动时(点C除外)/ CPQ/ CQP与/ BAC有何数量关系？猜 想结论，不需说明理由. 证明：(1)V CE平分/ ACD AE平分/ BAC / BAC=/ EAC / ACD=/ ACE V/ EAC/ ACE=90 , / BAC-/ ACD=180 AB/ CD 丄 (2) / BAE+2 / MCD=9

8、0 ; 过 E作 EF/ AB, V AB/ CD EF/ AB/ CD / BAE玄 AEF, / FECK DCE V/ E=90 , / BAE-/ ECD=90 , V/ MCE/ ECD 丄 / BAE+2 / MCD=90 ; (3) 如图 3：v AB/ CD, A / BACf ACD=180 , V/ QPC/ PQC/ PCQ=180 , / BAC/ PQC/ QPC 如图 4：V AB/ CD, / BAC/ ACQ V/ PQC/ PCQ/ ACQ=180 , / PQC/ QPC/ BAC=180 . 解析： (1) 根据角平分线的性质可得/ BAC=/ EAC /

9、 ACD=2/ ACE再由/ EAC/ ACE=90 可得/ BAC/ ACD=180进而得到 AB/ CD (2) 过 E作 EFI AB 证明 EFII AB/ CD 可得/ BAE玄 AEF, / FEC玄 DCE 再由/ 丄 E=90,可得/ BAE+/ ECD=90 ,进而得到/ BAE+2 / MCD=90 ; (3) 根据平行线的性质结合三角形内角和定理可得/CPQ/CQP与/ BAC数量关系 3、 如图1, AC平分/ DAB / 1=/ 2,试说明AB与CD的位置关系，并予以证明; 值. 2 如图2,在 的条件下，AB的下方两点E, F满足/ EBF=2/ ABF, CF平分

10、/ DCE 若/ F的2倍与/ E的补角的和为190,求/ ABE的度数； 如图3,在前面的条件下，若 P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分/ BPG pQ II GN GM平分/ DGP下列结论：/ DGP-/ MGN勺值不变；/ MGN勺度数不变.可 以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并 (1) 答：AB/ CD 证明：/ 1 = / 2, AB/ CD (2) 解：设/ ABF=x 则/ EBF=2x / ABE玄 ABF+/ EBF=x+2x=3x 根据三角形的内角和定理可得，/E+/ EBF=/ F+/ ECF, 根据三角形的外角性质，/1=/ E+/ ABE/ E+

11、3x, AB/ CD / 1=/ DCE V CF 平分/ DCE 1 1 1 / ECF=2 / DCE=2 / 1=2(/ E+3x), 丄 / E+2x=/ F+ 2(/ E+3x), 整理得，2 /F- / E=x, / F的2倍与/ E的补角的和为190, 2/ F+180 - / E=190 ， 代入得，x+180 =190, x=10 , / ABE=3x=30 ; (3)解：如图，根据三角形的外角性质，/ PQ平分/ BPG GM平分/ DGP 1 1 / GPQ / BPG / MGP / DGP AB/ CD / 1=/ DGP 丄 / MGP= (/ BPG/ B), P

12、Q/ GN 丄 / NGP/ GPQ=2 / BPG / MGN/ MGP/ NGP/(/ BPG/ B) 1=/ BPG B, 1 1 -2 / BPG空 / B, 根据前面的条件，/B=30, 丄 / DGP/ MGN勺值随/ DGP勺变化而变化；/ MGN勺度数为15 不变. 解 根据内错角相等，两直线平行证明即可； (2)设/ ABF=x则/ ABE=3x根据三角形内角和定理整理得到/ 解析: (1) E+/ EBF=/ F+/ / MGN= X 30 =15, 丄 ECF空/ 1,然后 ECF再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义表示出/ 整理得到/ E、/ F的关系式，再根

13、据/ F 与/ E的补角的关系列出等式，然后整理即可 求出x，从而得解； (3)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得/1=/ BPG B,再 根据平行线的性质以及角平分线的定义表示出/MGP/ DPQ根据两直线平行，内错 丄 从而判定正确. 角相等可得/ NGP/ GPQ然后列式表示出/ MGN= / B， OC=3点B在第三象限. 4、 长方形OABC 0为平面直角坐标系的原点，0A=5 求点 如图 分为1: 如图 B的坐标； 1, 若过点B的直线BP与长方形 4两部分，求点P的坐标； 2, M为x轴负半轴上一点，且/ OABC勺边交于点 P,且将长方形OABC勺面积 的平分

14、线CD交BM的延长线于点 出其值；若变化，请说明理由. D,在点 CBMMCMB N是x轴正半轴上一动点，/ MCN N运动的过程中，的值是否变化？若不变，求 1 1 2 X ABX AP=5 X OAX 丄 X BCX PC=5 X OAK 0C 解：(1)v四边形 OABC为长方形，0A=5 0B=3且点B在第三象限, B (-5 , -3 ). (2)若过点B的直线BP与边0A交于点P,依题意可知: 0C 丄1 即 2 X 3X AP=5 X 5 X 3， AP=2 0A=5 0P=3 二 P (-3 , 0), _1 若过点B的直线BP与边0C交于点P,依题意可知： 2 丄1 即 2

15、X 5X PC=5 X 5X 3， PC= 0C=3 _9_ OP=5， 二 P (0,-). 综上所述，点P的坐标为(-3 , Oh或(0, - 5 ). (3)延长BC至点F, 四边形OABC为长方形, OA/ BC. / CBMMAMB / AMCMMCF / CBMMCMB / MCF=Z CMB 过点M作ME/ CD交BC于点E, / EMCM MCD 又 CD平分/ MCN ./ NCM=2 EMC /./ D=/ BME$ CMBZ EMC / CN7=Z NCF玄 MCF2 NCM=2 BMC-2Z DCM=2 D, 图2 山 A zCNM =2 解析： (1) 根据第三象可点

16、的坐标性质得出答案; (2) 利用长方形 点坐标，再求出 (3) 标先求出/ 得出答案. OABC勺面积分为1: 4两部分，得出等式求出 AP的长，即可得出 P PC的长，即可得出OP的长，进而得出答案； MCF=N CMB 即可得出/ CNM部 NCF玄 MCF2 NCM=2 BMC-2/ DCM解：(1)v四边形 OABC为长方形，OA=5 OB=3且点B在第三象限, 1 1 2 X ABX AP=5 X OAX 丄 X BCX PC=5 X OAK OC B (-5, -3 ). (2)若过点B的直线BP与边OA交于点P,依题意可知: OC 1 1 即 2 X 3X AP=5 X 5 X

17、 3 , AP=2 OA=5 OP=3 二 P (-3 , 0), 1 若过点B的直线BP与边OC交于点P,依题意可知：2 1 1 即 2 X 5X PC=5 X 5X 3, PC= V OC=3 9 OP=5 , 二 P (0 ,-). 综上所述，点P的坐标为(-3 , Oh或(0, - 5). (3)延长BC至点F , 四边形OABC为长方形, OA/ BC. ./ CBMMAMB / AMCMMCF V/ CBMMCMB ./ MCF=/ CMB 过点M作ME/ CD交BC于点E , / EMC/ MCD 又V CD平分/ MCN / NCM=/ EMC ./ D=/ BME$ CMBZ

18、 EMC 解析： (1) 根据第三象可点的坐标性质得出答案; (2) 利用长方形 点坐标，再求出 (3) 标先求出/ 得出答案. OABC勺面积分为1: 4两部分，得出等式求出 AP的长，即可得出P PC的长，即可得出OP的长，进而得出答案； MCF=N CMB 即可得出/ CNM部 NCF玄 MCF-Z NCM=2 BMC-2/ DCM 5、 如图，已知直线 AB/ CD / A=/ C=100, E、F 在 CD上，且满足/ DBF=/ ABD BE平分/ CBF (1) 直线AD与 BC有何位置关系？请说明理由. 求/ DBE的度数. (3)若平行移动AD,在平行移动AD的过程中，是否存

19、在某种情况，使/ 存在，求出其度数；若不存在，请说明理由. BEC=/ ADB 若 (1) AD/ BC 证明： AB/ CD /./ A+/ ADC=180 , 又/ A=/ C A / ADC C=180, AD/ BC; (2)解： AB/ CD / ABC=180 - / C=80, / DBF=/ ABD BE平分/ CBF, 丄 丄 丄 / DBE=2 / ABF+2 / CBF=2 / ABC=40 ; (3)存在. 解：设/ ABD玄 DBF* BDC=X . AB/ CD / BEC/ ABE=x +40; AB/ CD / ADC=180 - / A=80, / ADB=8

20、0 -x . 若/ BEC/ ADB 则 x +40 =80 -x , 得 x =20. 存在/ BEC玄 ADB=60 . 解析： (1) 根据平行线的性质，以及等量代换证明/ADC/ C=180,即可证得AD/ BC; (2) 由直线AB/ CD根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得/ABC的度数，又由 / DBE=2 / ABC即可求得/ DBE的度数. 可求得/BEC与/ ADB的度数，又由/ BEC/ ADB即 。，解此方程即可求得答案. （3）首先设/ ABD玄DBF=/ BDC=X，由直线 AB/ CD根据两直线平行，同旁内角互 补与两直线平行，内错角相等， 6、 已知直线I 1

21、 / I 2,且 可得方程：x +40 =80 -x |3、|4和|1、|2分别交于A、B C D四点，点P在直线 AB上运动.设/ ADP/ 1,/ DPC/ 2，/ BCP玄 3. （1）如果点P在A B两点之间时（如图），探究/ 1、/ 2、/ 3之间的数量关系.（要求 说明理由）； 此时，若/ 1=30,/ 3=40，求/ 2的度数； 5 如果点P在A B两点外侧时，猜想/ 1、/ 2、/ 3之间的数量关系（点P和A 重合）（直接写出结论）. 解：（1）/ 2=/ 1 + / 3,理由为： 明：过P作PM/ I 1，如图所示： D l 1 / l 2,得到 PM/ I 2, /./ 1

22、=/ DPM / 3= / CPM A / 2=/ DPM# CPM/ 1+/ 3; (2)v/ 1=3 三。，/ 3=4 三。， / 2=/ 1+/ 3=7 三。： 23 证明：！ 1 / I 2, / 3=/ 4, 又/ 4为 PDQ的外角， / 4=/ 1+/ 2, 则/ 3=/ 1+/ 2. 解析： (1) / 1、/ 2、/ 3之间的数量关系为/ 2=/ 1+/ 3,理由为：过P作PM平行于I 1, 由I 1 / I 2，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到PM平行于l2,由PM平行于11, 利用两直线平行内错角相等得到/1 = / DPM由PM平行于l2,利用两直线平行内错角 相

23、等得到/ 3= / CPM而/ 2=/ DPM/CPM等量代换可得证； (2) 将/ 1和/3的度数代入第一问的结论/ 2=/ 1 + / 3中，即可求出/ 2的度数； (3) / 1、/ 2、/ 3之间的数量关系为/ 3=/ 1+/ 2,理由为：由I 1 / 12，利用两直线 平行同位角相等得到/ 3=/4,又/ 4为三角形PDQ的外角，利用三角形的外角性质得 到/ 4=/ 1+/ 2,等量代换可得证. 7、 如图，已知两条射线 OM/ CN动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM CN 上，且/ C=/ OAB=108 , F 在线段 CB上, OB平分/ AOF OE平分/ COF (1

24、)请在图中找出与/ AOC相等的角，并说明理由； 若平行移动AB,那么/ OBC与/ OFC的度数比是否随着 AB位置的变化而发生变化? 若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； 在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使/OEC=/ OBA若存在，请求出 / OBA度数；若不存在，说明理由. 解：(1)V OM/ CN / AOC=180 - / C=180 -108 =72 / ABC=180 - / OAB=180 -108 =72, 又/ BAM/180 - / OAB=180 - 108 =72, 与/ AOC相等的角是/ AOC / ABC / BAM (2 )v OM/ C

25、N / OBC/ AOB / OFC/ AOF / OB平分/ AOF / AOF=/ AOB / OFC=/ OBC 丄 / OBC/ OFC= 2 ; (3)设/ OBA=x 则/ OEC=2x 在 AOB中，/ AOB=180 - / OAB / ABO=180 -x- 108 =72 -x , 在 OCE 中，/ COE=180 - /C- / OEC=180 - 108 -2x=72 -2x , / OB平分/ AOF OE平分/ COF 丄 丄 丄 丄 / COE必 AOB=2 / COF+2 / AOF=2 / AOC=2 X 72 =36, 72 -x+72 -2x=36 ,

26、解得x=36 , 即/ OBA=36 . 解析： (1 )根据两直线平行，同旁内角互补可得求出/ AOC/ ABC再根据邻补角的定义求出 / BAM即可得解； (2) 根据两直线平行，内错角相等可得/ OBCMAOB / OFCM AOF再根据角平分线的定 义可得/ AOF=Z AOB从而得到比值不变； (3) 设/ OBA=x表示出/ OEC然后利用三角形的内角和定理表示出/ AOB / COE再根 据角平分线的定义根据/ AOB# COE= 2 / AOC列出方程求解即可. (1)如图，求证：OB/ AC ；(在横线上填上答案即可). 如图，若点 E、F在线段BC上，且满足/ FOCM A

27、OC并且OE平分/ BOF贝卩上 EOC的度数等于 在 的条件下，若平行移动 AC,如图，那么/ OCB / OFB的值是否随之发生变 化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值. 在的条件下，如果平行移动 AC的过程中，若使/ OEB/ OCA此时/ OCA度数等 于.(在横线上填上答案即可). (1 )由 BC/ OA得/ B+ / O=180 ，所以/ O=180 -/ B=80 ，则/ A+ / 0=180。，根据平行线的判定即可得到 OB/ AC; (2 )由 OE 平分/ BOF 得到/ BOE= / FOE,加上/ FOC= / AOC，所以/ EOF+ / COF= 2 /

28、AOB=40 ; (3) 由 BC/ OA得至y OCB= / AOC, / OFB= / AOF，加上/ FOC= / AOC，贝U/ AOF=2 / AOC，所以/ OFB=2 / OCB, (4) 设/ AOC的度数为X，则/ OFB=2x，根据平行线的性质得/ OEB= / AOE，贝卩/ OEB= / EOC+ / AOC=40 +x，再根据三角形内角和定理得/OCA=180 - / AOC-/ A=80 -x，利用/ OEB= / OCA得到 40 +x=80 -x，解得 x=20 ，所以/ OCA=80 -x=60 . (1) 证明： BC/ OA, / B+ / O=180 ,

29、 / O=180 - / B=80 , 而/ A=100 , I / A+ / O=180 , OB / AC; (2) 解： OE 平分/ BOF, / BOE= / FOE, 1 1 2 / AOB= 2 X 80 =40 ; 而/ FOC= / AOC, A / EOF+ / COF= (3) 解：不改变. BC/ OA, / OCB= / AOC,/ OFB= / AOF, / FOC= / AOC, / AOF=2 / AOC, / OFB=2 / OCB, 即/ OCB:/ OFB 的值为 1: 2; / AOE, / EOC+ / AOC=40 +x , 180 - / AOC-/ A=180 -x-100 =80 -x, /