理学工程数学试卷及答案汇总完整版

1、一、单项选择题（每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。得分评卷人1某人打靶3发，事件ai 表示“击中i发”，i=0,1,2,3. 那么事件a=a1a2a3表示()。 a. 全部击中. b. 至少有一发击中. c. 必然击中 d. 击中3发2对于任意两个随机变量x和y，若e(xy)=e(x)e(y)，则有()。a. x和y独立。 b. x和y不独立。c. d(x+y)=d(x)+d(y) d. d(xy)=d(x)d(y)3下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。a 。 b. c. d. ，4设随机

2、变量x, y, , 则有（ ）a. 对于任意的, p1=p2 b. 对于任意的, p1 p25设x为随机变量，其方差存在，c为任意非零常数，则下列等式中正确的是（） ad(x+c)=d(x). b. d(x+c)=d(x)+c. c. d(x-c)=d(x)-c d. d(cx)=cd(x)得分二、填空题（每空3分，共15分）评卷人6 设3阶矩阵a的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为a*， 则|a*+3a2e|= 。7设a= ，则= 。8设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为p，则该系统正常工作的概率为 。9设随机变量的概率密度函数为，则概率 。10设二维连续型随机变量的联合概率密

3、度函数为，则系数 。得分三、计算题（每小题10分，共50分）评卷人11求函数的傅氏变换 (这里)，并由此证明：12发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。求（1）收报台收到信号“1”的概率；（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。13设二维随机变量的联合概率函数是求：（1）常数c；（2）概率p(xy )；（3）x与y相互独立吗？请说出理由。14将n个球随机的放

4、入n个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数x的数学期望。15设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量x为取得的球上标有的数字，求(1)x的概率分布律和分布函数。(2)ex得分四、证明题（共10分）评卷人16.设a=(a1,a2,an)t，a10,其长度为a，又a=aat,(1) 证明a2=a2a；(2) 证明a是a的一个特征向量，而0是a的n-1重特征值；(3) a能相似于对角阵吗？若能,写出对角阵.得分五、应用题（共10分）评卷人17.设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量x是随机变量,它在2000,4000( 单位：吨 )上服从

5、均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。参考答案及评分标准一、 选择题（每小题3分，共15分）1b2c3d4a5a 二、 填空题（每小题3分，共15分）6. 9 7. 1 8. 1(1p)3 9. 3/4 10. 12三、计算题（每题10分，共50分）11.解答：函数f(t)的付氏变换为：f(w)= （3分） = (2分)由付氏积分公式有f(t)=f(w)= (2分) = = （2分）所以 （1分）12.解答: 设 a1=“发出信号1”，a0=“发出信号0”，a=“收到信号1” （2分）

6、(1)由全概率公式 （1分）有 p(a)=p(a|a1)p(a1)+p(a|a0)p(a0) （2分） =0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52 （1分）(2)由贝叶斯公式 （1分）有 p(a1|a)=p(a|a1)p(a1)/ p(a) （2分） =0.8x0.6/0.52=12/13 （1分）13.解答:(1) 由联合概率密度的性质有即 （2分）从而 c=8 （2分）(2) （2分）(3) 当x0时， （2分）当x=0时, 同理有 （1分）因 故x与y相互独立 （1分）14.解答：设 i =1,2,n (2分)则 (1分)因 (2分) (2分)因而 (2分)所以 (2分)15.解答：（

7、1）随机变量的取值为1，2，3。 （1分）依题意有： （3分）的分布函数 （1分）由条件知：当时， （1分） 当时， （1分）当时， （1分）当时， （1分）（2）ex=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 （1分）四、证明题（共10分）(1) a2=aataat=ata aat =a2a （2分）(2)因 aa= aat a=ataa= a2a （2分）故a是a的一个特征向量。又a对称，故a必相似于对角阵 （1分）设a diag(1,2,n)=b, 其中1,2,n是a的特征值 (1分)因rank(a)=1, 所以 rank(b)=1 (1分)从而1,2,n中必有n-1个

8、为0, 即0是a的n-1重特征值 （1分）(3) a对称，故a必相似于对角阵，=diag(a2, 0,0) (2分)五、应用题（共10分）解答:设y为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与4000之间，用z表示国家的收益（万元）, （1分）则有 （4分）因 x服从r(2000,4000), 故有 (1分)所以 =( y2 7000y + 4106 ) /1000 (3分)求极值得 y=3500 (吨) (1分)工程数学（本）10秋模拟试题（一）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1设都是n阶方阵，则下列命题正确的是( )2向量组的秩是（ 3 ）3元线性方程组有解的充分必要条件是（

9、）4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（）5设是来自正态总体的样本，则（ ）是无偏估计二、填空题（每小题3分，共15分）6设均为3阶方阵，则-187设为n阶方阵，若存在数l和非零n维向量，使得 ，则称l为的特征值 8设随机变量，则a =0.3 9设为随机变量，已知，此时2710设是未知参数的一个无偏估计量，则有三、（每小题16分，共64分）11设矩阵，且有，求解：利用初等行变换得即 由矩阵乘法和转置运算得12求线性方程组的全部解解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为（其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解.方程组相应的齐

10、方程的一般解为（其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系.于是，方程组的全部解为（其中为任意常数）13设，试求: (1)；(2)（已知）解：(1) (2) 14据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kgcm2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）解： 零假设由于已知，故选取样本函数已知，经算得，由已知条件，故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。四、证明题（本题6分）15设是阶对称矩阵，试证：也是对称矩阵证明：是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知已知是对称矩阵，故有，即由此可知也是对称矩阵，证毕工程数学（本）10秋模拟试

11、题（二）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1若是对称矩阵，则等式（ ）成立2（ ）3若（）成立，则元线性方程组有唯一解4. 若条件（且 ）成立，则随机事件，互为对立事件5对来自正态总体（未知）的一个样本，记，则下列各式中（）不是统计量二、填空题（每小题3分，共15分）6设均为3阶方阵，则87设为n阶方阵，若存在数l和非零n维向量，使得 ，则称为相应于特征值l的特征向量 8若，则0.39如果随机变量的期望，那么2010不含未知参数的样本函数称为统计量 三、（每小题16分，共64分）11设矩阵，求解：利用初等行变换得即由矩阵乘法得12当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解解

12、：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。此时齐次方程组化为分别令及，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解 由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）13设，试求：(1)；(2)（已知）解：(1) (2)15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区解：由于已知，故选取样本函数已知，经计算得滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为四、证明题（本题6分）15设随机事件,相互独立，试证：也相互独立证明：所以也相互独立证毕工程数学（本）（10春）模拟试题2010年6月一、单项选择

13、题（每小题3分，本题共15分）1. 若，则（3）2. 已知2维向量组，则至多是（）3. 设为阶矩阵，则下列等式成立的是（）4. 若满足（），则与是相互独立5. 若随机变量的期望和方差分别为和，则等式（ ）成立二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设均为n阶可逆矩阵，逆矩阵分别为，则2. 向量组线性相关，则.3. 已知，则4. 已知随机变量，那么5. 设是来自正态总体的一个样本，则三、计算题（每小题16分，共64分）1设矩阵，求（1），（2）解： （1）利用初等行变换得即2. 当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当

14、时，方程组有解。8分此时相应齐次方程组的一般解为 （是自由未知量）分别令及，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）3. 设，试求；（已知）解： 4. 已知某种零件重量，采用新技术后，取了9个样品，测得重量（单位：kg）的平均值为14.9，已知方差不变，问平均重量是否仍为15（）？解： 零假设由于已知，故选取样本函数已知，经计算得，由已知条件，故接受零假设，即零件平均重量仍为15四、证明题（本题6分）设,是两个随机事件，试证： 证明：由事件的关系可知而，故由加法公式和乘法公式可知证毕工程数学（本）(09秋模拟试题2009年12月 一、单项

15、选择题（每小题3分，本题共15分）1. 设为矩阵，为矩阵，当为（）矩阵时，乘积有意义2. 向量组的极大线性无关组是（ ）3. 若线性方程组的增广矩阵为，则当（）时线性方程组有无穷多解 4. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（ ）.5. 在对单正态总体的假设检验问题中，检验法解决的问题是（未知方差，检验均值 ）二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设均为3阶矩阵，且，则2.设，则23. 设是三个事件，那么发生，但至少有一个不发生的事件表示为 .4. 设随机变量，则5. 设是来自正态总体的一个样本，则 三、计算题（每小题16分，共64分）1已知，其中，求解：利用初等行变换得即由矩阵

16、乘法运算得2.求线性方程组的全部解.解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为（其中为自由未知量） 令=0，得到方程的一个特解. 方程组相应的齐次方程的一般解为（其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系. 于是，方程组的全部解为（其中为任意常数）3. 设，求和.（其中,）解：设 =4. 某一批零件重量，随机抽取4个测得重量（单位：千克）为14.7, 15.1, 14.8, 15.2 可否认为这批零件的平均重量为15千克(已知)？解：零假设由于已知，故选取样本函数经计算得，已知，故接受零假设，即可以认为这批零件的平均重量为15千克.四、证明题（本题6分）设,为随机事件，试证：证明

17、：由事件的关系可知而，故由概率的性质可知即证毕工程数学（本）模拟练习一、单项选择题1. 若都是n阶矩阵，则等式（）成立2. 向量组的秩是（ ）3. 设线性方程组有惟一解，则相应的齐次方程组（只有0解）4. 设为随机事件，下列等式成立的是（）5. 设是来自正态总体的样本，则（ ）是无偏估计二、填空题1. 设是3阶矩阵，其中，则2. 当=1 时，方程组有无穷多解3. 若，则4. 若连续型随机变量的密度函数的是，则5. 若参数的估计量满足，则称为的无偏估计三、计算题1设矩阵，是3阶单位矩阵，且有，求解：由矩阵减法运算得 利用初等行变换得即由矩阵乘法运算得2. 求线性方程组的全部解解：将方程组的增广矩

18、阵化为阶梯形此时相应齐次方程组的一般解为 是自由未知量令，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）3.设，试求；（已知）解：4. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm，样本标准差s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平，） 解：零假设由于未知，故选取样本函数已知，经计算得， 由已知条件， 故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的四、证明题设是线性无关的，证明, 也线性无关证明：设有一组数，使得 成立，即，由已知线性无

19、关，故有该方程组只有零解，得，故是线性无关的证毕工程数学（本）08秋模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共15分）1设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ) 2方程组相容的充分必要条件是( )，其中，3设矩阵的特征值为0，2，则3a的特征值为 ( 0，6 ) 4. 设a，b是两事件，则下列等式中（ ，其中a，b互不相容 ）是不正确的5若随机变量x与y相互独立，则方差=（ ）二、填空题（每小题3分，共15分）1设，则的根是 2设向量可由向量组线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是 3若事件a，b满足，则 p（a - b）= 4设随机变量的概率密度函数为，则常数k =5若样本来自总体，且，则三

20、、（每小题16分，共64分）1设矩阵，求：（1）；（2）解：（1）因为 所以 （2）因为 所以 2求齐次线性方程组 的通解解： a=一般解为 ，其中x2，x4 是自由元 令x2 = 1，x4 = 0，得x1 =；x2 = 0，x4 = 3，得x2 =所以原方程组的一个基础解系为 x1，x2 原方程组的通解为： ，其中k1，k2 是任意常数3设随机变量（1）求；（2）若，求k的值 （已知）解：（1）1= 11（）= 2（1）0.045 （2）11即k4 = -1.5， k2.54某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5 cm，标准差为0.15cm.从一批产品中

21、随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm）10.4，10.6，10.1，10.4问：该机工作是否正常(, )？解：零假设.由于已知，故选取样本函数 经计算得， 由已知条件，且 故接受零假设，即该机工作正常.四、证明题（本题6分）设向量组线性无关，令，证明向量组线性无关。证明：设，即因为线性无关，所以 解得k1=0, k2=0, k3=0，从而线性无关工程数学（本）综合练习题一、填空题行列式。设二阶矩阵，其伴随矩阵。设均为4阶矩阵，且，。若为矩阵，为矩阵，为矩阵，则为矩阵。一个向量组中如有零向量，则此向量组一定线性相关。若，则0.7。设互不相容，且，则0。连续型随机变量的密度函数是，

22、则。设为随机变量，已知，那么18。样本是由若干个样品组成的集合。参数的估计量满足，则称为的无偏估计量。二、单项选择题由得到的矩阵中的元素（12）。（）。若是对称矩阵，则条件（）成立。设均为阶方阵，则等式（）成立。设为阶矩阵，既是又是的特征值，既是又是的属于的特征向量，则结论（是的特征向量）成立对任意两个事件，等式（）成立。若等式（）成立，则事件相互独立。下列函数中，能作为随机变量密度函数的是（）。设随机变量，则（0）。设是来自正态总体的样本，则（）是统计量。设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（）不是的无偏估计。工程数学（本）07春模拟试题2007年5月一、单项选择题（每小题3分，本题共

23、15分）1. 都是阶矩阵，则下列命题正确的是 ( ) 2. 已知2维向量组，则至多是（）3. 设是元线性方程组，其中是阶矩阵，若条件（是行满秩矩阵）成立，则该方程组没有非0解4. 袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是（）5. 设是来自正态总体的样本，则（ ）是无偏估计二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设均为3阶矩阵，且，2. 设为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得，则称为的特征值3. 已知，则4. 设随机变量，则5. 若参数的估计量满足，则称为的无偏估计 三、计算题（每小题16分，共64分）1设矩阵，是3阶单位矩阵，且有，求解：由矩阵

24、减法运算得 利用初等行变换得即由矩阵乘法运算得2. 求线性方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形此时齐次方程组化为令，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）3. 设，试求；（已知）解：8分4. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm，样本标准差s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平，）解：零假设由于未知，故选取样本函数 已知，经计算得，由已知条件，故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的。四、证明题（本题6

25、分）设是线性无关的，证明, 也线性无关证明：设有一组数，使得 成立，即，由已知线性无关，故有该方程组只有零解，得，故是线性无关的证毕工程数学（本）模拟试题（06秋-2）一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1. 若都是阶矩阵，则等式（）成立2. 向量组的秩是（ ）3. 甲、乙二人射击，分别表示甲、乙射中目标，则表示（至少有一人没射中）的事件4. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布5. 设是来自正态总体均未知）的样本，则（ ）是统计量二、填空题（每小题3分，共15分）1. 若为矩阵，为矩阵，为矩阵，则为矩阵2. 设为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得，则称为的特征值

26、3. 若，则4. 已知随机变量，那么5. 设是未知参数的一个无偏估计量，则有 三、计算题（每小题16分，共64分）1设矩阵，且有，求解：利用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2. 当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的一般解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解此时方程组的一般解为3. 设，试求；（已知）解：4. 对一种产品的某项技术指标进行测量，该指标服从正态分布，今从这种产品中随机地抽取了16件，测得该项技术指标的平均值为31.06，样本标准差为0.35，求该项技术指标置信度为0.95的置信区间（）解：由于未知，故选取样本函数已知，经计算

27、得该项技术指标置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为四、证明题（本题6分）设向量组，如果线性相关，证明线性相关证明：因为向量组线性相关，故存在一组不全为0的数，使成立于是存在不全为0的数，使成立，由相性定义知线性相关证毕工程数学（本）模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共21分）1设a是矩阵，是矩阵，且有意义，则是( )矩阵2若x1、x2是线性方程组ax=b的解，而是方程组ax = o的解，则（ ）是ax=b的解3设矩阵，则a的对应于特征值的一个特征向量=( ) 4. 下列事件运算关系正确的是（ ）5若随机变量，则随机变量（ ）6设是来自正态总体的样本，则（ ）是的无偏估计

28、7对给定的正态总体的一个样本，未知，求的置信区间，选用的样本函数服从（t分布）二、填空题（每小题3分，共15分）1设三阶矩阵的行列式，则=22若向量组：，能构成r3一个基，则数k 3设互不相容，且，则0 4若随机变量x ，则 5设是未知参数的一个估计，且满足，则称为的无偏 估计三、（每小题10分，共60分）1已知矩阵方程，其中，求解：因为，且即 所以 2设向量组，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组解：因为（ ）= 所以，r() =3 它的一个极大线性无关组是 （或）3用配方法将二次型化为标准型，并求出所作的满秩变换解：令 （*）即得 由（*）式解出，即得或写成 4罐中有12颗围棋子，其

29、中8颗白子，4颗黑子若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率解：设=“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，=“取到的都是白子”，=“取到的都是黑子”，b =“取到3颗棋子颜色相同”，则（1（2）5设随机变量x n（3，4）求：（1）p（1 x 7）；（2）使p（x a）=0.9成立的常数a (，)解：（1）p（1 x 7）= = = 0.9973 + 0.8413 1 = 0.8386 （2）因为 p（x 1)，则下列命题正确的是( )2向量组 的秩是( 3 )3若线性方程组ax=0只有零解，则线性方程组ax=b( 解的情况不能断定 )4袋中有

30、3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是( ) 5设f(x)和f(x)分别是随机变量x的分布密度函数和分布函数，则对任意ab，有二、填空题(每小题3分，共15分)1设a是2阶矩阵，且12设a为押阶方阵，若存在数a和非零”维向量x，使得(ax= )，则称x为a相应于特征值a的特征向量3若则 p(ab)= ( o3 )，4设随机变量x，若d(x)=3，则d(一x+3)= (3 )5若参数的两个无偏估计量和满足，则称比更(有效 )三、计算题(每小题】6分，共64分)1设矩阵，求a-1b解：利用初等行变换得即由矩阵乘法得2求线性方程组的全部解解：将方程组的增广矩

31、阵化为阶梯形此时齐次方程组化为令z4=1，得齐次方程组的一个基础解系令z4=o，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为(其中志为任意常数)3设，试求(1)(已知解：(1)(2)=（2）-(1)=0.9772-0.8413=0.13594据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度xn(325，121)，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度(单位：kgcm2)的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格()解：零假设由于已知，故选取样本函数已知；=31.12，经计算得由已知条件故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格四、证明题(本题6分)设a，b为随机事件，试证：p(a)=p(a-

32、b)+p(ab)证明：由事件的关系可知 而(a-b) ab=，故由概率的性质可知p(a)=p(ab)+p(ab) 证毕试卷代号：1080 中央广播电视大学学年度第二学期“开放本科”期末考试 工程数学(本) 试题2007年7月一、单项选择题【每小题3分。本题共15分)1设a，b为咒阶矩阵则下列等式成立的是( )的秩是(3 )3线性方程组解的情况是(有无穷多解 )4下列事件运算关系正确的是( )5设是来自正态总体的样本，其中是未知参数，则( )是统计量二、填空题(每小题3分。共15分)1设a，b是3阶矩阵；其中则 12 2设a为”阶方阵，若存在数a和非零咒维向量z，使得则称2为a相应于特征值的 特

33、征向量 3若则 034设随机变量x，若则25设是来自正态总体的一个样本，则三、计算题【每小题16分，共64分)1已知其中求x解：利用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2当a取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的一般解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当a3时，方程组无解当a一3时，方程组有解方程组的一般解为3设随机变量x具有概率密度求e(x)，d(x)解：由期望的定义得由方差的计算公式有4已知某种零件重量采用新技术后，取了9个样品，测得重量(单位：kg)的平均值为149，已知方差不变，问平均重量是否仍为解：零假设h。：卢一l5由于已知cr2一o09，故选取样本函数已知x一一

34、l49，经计算得由已知条件u，。一l96，故接受零假设，即零件平均重量仍为l5四、证明题(本题6分)设a，b是两个随机事件，试证：p(b)=p(a)p(b1a)+p(万)p(b1页)证明：由事件的关系可知而=p，故由加法公式和乘法公式可证毕工程数学（本）04秋模拟试题（1）一、单项选择题（每小题3分，共21分）1设都是阶矩阵，则下列命题正确的是（，且，则）2在下列所指明的各向量组中，（任何一个向量都不能被其余的向量线性表出）中的向量组是线性无关的3设矩阵，则a的对应于特征值的一个特征向量=( ) 4. 甲、乙二人射击，分别表示甲、乙射中目标，则表示（至少有一人没射中）的事件5设，是的分布函数，

35、则下列式子不成立的是（）6设是来自正态总体的样本，则（ ）是无偏估计7对正态总体的假设检验问题中，检验解决的问题是（已知方差，检验均值）二、填空题（每小题3分，共15分）1设是2阶矩阵，且，12已知齐次线性方程组中为矩阵，且该方程组有非零解，则33，则0.74若连续型随机变量的密度函数的是，则5若参数的两个无偏估计量和满足，则称比更有效三、计算题（每小题10分，共60分）1设矩阵，问：a是否可逆？若a可逆，求解：因为 所以a可逆。利用初等行变换求，即即 由矩阵乘法得2线性方程组的增广矩阵为求此线性方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形此时齐次方程组化为 ，（其中x3为自由未知量）.分别

36、令，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数） 3用配方法将二次型化为标准型，并求出所作的满秩变换解： 令 即得 由（*）式解出，即得或写成 4两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1，第二台废品率是2，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率解：设：“是第台车床加工的零件”，：“零件是合格品”.由全概公式有显然，故 5设，试求；（已知）解：6设来自指数分布，其中是未知参数，求的最大似然估计值解：答案: 解： 似然函数为取对数得求导得令得的最大似然估值四、证明题（本题4分）设是随机

37、事件，试证：证明：由事件的运算得 ，且与互斥，由加法公式得 ，又有 ，且与互斥，由加法公式得综合而得，证毕工程数学11春试题一、单项选择题（每小题3分） 1设为阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）a bc d 2方程组相容的充分必要条件是( )，其中，a bc d 3下列命题中不正确的是（ ） aa与有相同的特征多项式 b若是a的特征值，则的非零解向量必是a对应于的特征向量 c若=0是a的一个特征值，则必有非零解 da的特征向量的线性组合仍为a的特征向量 4若事件与互斥，则下列等式中正确的是（ ）a bc d 5设是来自正态总体的样本，则检验假设采用统计量u =（ ）a b c d 二、填空题（每

38、小题3分） 1设，则的根是 2设4元线性方程组ax=b有解且r（a）=1，那么ax=b的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量 3设互不相容，且，则 4设随机变量x b（n，p），则e（x）= 5若样本来自总体，且，则 三、计算题（每小题16分） 1设矩阵，求 2求下列线性方程组的通解 3设随机变量x n（3，4）求：（1）p（1 x 7）；（2）使p（x a）=0.9成立的常数a (已知，) 4从正态总体n（，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得= 2.5，求的置信度为99%的置信区间.(已知 ) 四、证明题（本题6分） 4设n阶矩阵a满足，则a为可逆矩阵工程数学（本）11春模拟试卷

39、参考解答 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1a 2b 3d 4a 5c 二、填空题（每小题3分，共15分）11，-1，2，-2 23 30 4np 5 三、（每小题16分，共64分）1解：由矩阵乘法和转置运算得6分利用初等行变换得即 16分7-2解利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即方程组的一般解为：，其中，是自由未知量 8分令，得方程组的一个特解方程组的导出组的一般解为：，其中，是自由未知量令，得导出组的解向量；令，得导出组的解向量 13分所以方程组的通解为：，其中，是任意实数 16分 3解：（1）p（1 x 7）= = 0.9773 + 0.8413 1 = 0.8186 8分 （2）因为 p（x a）= 0.9所以 ，a = 3 + = 5.56 16分 4解：已知，n = 625，且 5分 因为 = 2.5， 10分所以置信度为99%的的置信区间为： . 16分四、（本题6分） 证明： 因为 ，即 所以，a为可逆矩阵 6分05