圆周运动经典例题

1、 圆周运动的应用圆周运动的应用 1、竖直平面内的圆周运动、竖直平面内的圆周运动 （1）无支持物模型）无支持物模型 临界条件：小球恰能过最高点临界条件：小球恰能过最高点 grv 0 r mv mg 2 0 A、能过最高点的条件：、能过最高点的条件： B 、不能过最高点的条件：、不能过最高点的条件： 思考思考:小球在竖直平面的运动情况小球在竖直平面的运动情况? grv grv 实际是球还没到最高点时就脱离了轨道实际是球还没到最高点时就脱离了轨道 （2）有支持物模型）有支持物模型 a、当、当v=0时，时，N=mg grc、当、当v= 时，时，N=0 b、当、当0v 时，支持力时，支持力N, 0Nmg

2、 gr mg N = r v m 2 grd、当、当v 时，拉力时，拉力TT + mg = r v m 2 临界条件：临界条件： 小球恰能到最高点：小球恰能到最高点：v=0； 轻杆无弹力时：轻杆无弹力时：grv 例例1、如图所示，长为如图所示，长为L的轻杆，一端固定着一个小球，的轻杆，一端固定着一个小球， 另一端可绕光滑的水平轴转使小球在竖直平面内运动，另一端可绕光滑的水平轴转使小球在竖直平面内运动， 设小球在最高点的速度为设小球在最高点的速度为v, 则（则（ ） A.v的最小值为的最小值为 B.v若增大，向心力也增大若增大，向心力也增大 C.当当v由由 逐渐增大时，杆对球的弹力也增大逐渐增大

3、时，杆对球的弹力也增大 D.当当v由由0逐渐增大时，杆对球的弹力先减小后增大逐渐增大时，杆对球的弹力先减小后增大 gL gL 例例2、杂技演员表演杂技演员表演“水流星水流星”，使装有水的瓶子在，使装有水的瓶子在 竖直平面内做半径为竖直平面内做半径为0.9 m的圆周运动，若瓶内盛有的圆周运动，若瓶内盛有100 g水，瓶的质量为水，瓶的质量为400 g，当瓶运动到最高点时，瓶口向，当瓶运动到最高点时，瓶口向 下，要使水不流出来，瓶子的速度至少为下，要使水不流出来，瓶子的速度至少为 m/s, 若瓶子在最高点的速度为若瓶子在最高点的速度为6m/s则瓶子对水的压力为则瓶子对水的压力为 N，绳子受到的，绳

4、子受到的 拉力为拉力为_N。 v 解：解： 在圆周的最高点，杯子中的水受到的杯底在圆周的最高点，杯子中的水受到的杯底 对它的压力和重力的合力为向心力。对它的压力和重力的合力为向心力。 r v mNmg 2 而压力只能：而压力只能： 0N smgrv/3 所以水不流出的条件是：所以水不流出的条件是： 若瓶子在最高点的速度为若瓶子在最高点的速度为6m/s6m/s )(15)()( 2 NgMm R v MmT绳子受到的拉力为：绳子受到的拉力为： )(3 2 Nmg R v mN则瓶子对水的压力为则瓶子对水的压力为 例例3、用钢管做成半径为用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环（管的光滑圆环（管 径

5、远小于径远小于R）竖直放置，一小球（可看作质点直）竖直放置，一小球（可看作质点直 径略小于管径）质量为径略小于管径）质量为m=0.2kg在环内做圆周运在环内做圆周运 动，求动，求:小球通过最高点小球通过最高点A时，下列两种情况下球时，下列两种情况下球 对管壁的作用力。对管壁的作用力。 取取g=10m/s2 ， ，求： 求： (1) A的速率的速率 为为1.0m/s (2) A的速率为的速率为4.0m/s。 A O m 解：解：先求出弹力为先求出弹力为0 0 时的速率时的速率v v0 0 (1) v(1) v1 1=1m/s v=1m/s v=4m/s v0 0 球应受到外壁向下的弹力力球应受到

6、外壁向下的弹力力N N2 2 A O m N2 mg 由牛顿第三定律，球对管壁的作用力分别为：由牛顿第三定律，球对管壁的作用力分别为： (1) (1) 对内壁对内壁1.6N1.6N向下的压力向下的压力 (2)(2)对外壁对外壁4.4N4.4N向上的压力向上的压力. . r v mmg 2 smrgv/25. 2 0 r v mNmg 2 1 1 )( 6 . 1 1 NN r v mNmg 2 2 2 )( 4 . 4 2 NN 例例4、 如图，轻细杆可绕光滑的水平轴如图，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直面内在竖直面内 转动，杆的两端固定有质量均为转动，杆的两端固定有质量均为m=1kg的小球的小

7、球A和和B， 球心到轴球心到轴O的距离分别为的距离分别为O=0.8m，BO=0.2m。已知。已知 A球转到最低点时速度为球转到最低点时速度为vA=4m/s，问此时，问此时A、B球对球对 杆的作用力的大小和方向？杆的作用力的大小和方向？ A B vA vB 解解: 两球固定在一轻杆上，它们的角速度相同，由此两球固定在一轻杆上，它们的角速度相同，由此 可知：可知： vA=4m/s时时vB=1m/s 对对A球：球：FA-mg=mvA2/OA 解出：解出：FA=30N，于是，于是A球对细杆的力大小为球对细杆的力大小为30N，方，方 向向下向向下 对对B球：设杆对球的作用力向下，则球：设杆对球的作用力向

8、下，则FB+mg=mvB2/OB 解出：解出：FB=-5N，于是，于是B球对细杆的力大小为球对细杆的力大小为5N，方向，方向 向下向下 A B vA vB 例例5、如图所示，在电动机上距水平轴如图所示，在电动机上距水平轴O为为r处固定一个处固定一个 质量为质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定时，以角速度的铁块，电动机启动后达到稳定时，以角速度 做匀速圆周运动，则在转动过程中，电动机对地面的做匀速圆周运动，则在转动过程中，电动机对地面的 最大压力和最小压力的数值之差为多少？最大压力和最小压力的数值之差为多少？ 【思路点拨】【思路点拨】当小铁块做匀速圆周运动时，小铁块转动至最低点当小铁块做匀速圆周

9、运动时，小铁块转动至最低点 时受杆的拉力时受杆的拉力F1及重力作用，如图甲所示，此时及重力作用，如图甲所示，此时F1mg。当小铁当小铁 块转至最高点时，铁块受向下的重力及拉力块转至最高点时，铁块受向下的重力及拉力F2（或向上的支持力（或向上的支持力 F2），如图所示），如图所示： 【解析】对铁块，由牛顿第二定律得：【解析】对铁块，由牛顿第二定律得： 甲：甲：F1-mg=m2r 乙：乙：F2+mg=m2r(或或mg-F2=m2r) 由两式得：由两式得： F1F2=2m2r. 由牛顿第三定律知，铁块对杆、杆对电动机两个作用力的差即为由牛顿第三定律知，铁块对杆、杆对电动机两个作用力的差即为： 2m2

10、r. 铁块转至最高点时，电动机对地面的压力铁块转至最高点时，电动机对地面的压力FN最小最小为：为： FN=MgF2，其中，其中M为电动机的质量为电动机的质量. 电动机对地面的最大压力为电动机对地面的最大压力为：FN=Mg+F1 故故：FN-FN=F1F2=2m2r 例例6、如图所示，水平转台上放着如图所示，水平转台上放着A、B、C三物，质量三物，质量 分别为分别为2m、m、m，离转轴距离分别为，离转轴距离分别为R、R、2R，与，与 转台动摩擦因数相同，转台旋转时，下列说法正确的转台动摩擦因数相同，转台旋转时，下列说法正确的 是（是（ ） A若三物均未滑动，若三物均未滑动，C物向心加速度最大物向

11、心加速度最大 B若三物均未滑动，若三物均未滑动，B物受摩擦力最大物受摩擦力最大 C转速增加，转速增加，A物比物比B物先滑动物先滑动 D转速增加，转速增加，C物先滑动物先滑动 例例7、细绳一端系着质量细绳一端系着质量M=0.6千克的物体，静止在水千克的物体，静止在水 平面，另一端通过光滑小孔吊着质量平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3千克的物体千克的物体 ，M与圆孔距离为与圆孔距离为0.2米，并知米，并知M和水平面的最大静摩擦和水平面的最大静摩擦 力为力为2牛，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度牛，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度 在在 什么范围什么范围m会处于静止状态？会处于静止状态？

12、(g取取10米米/秒秒2) m M O r m m M M O O r r 解：解：当当 具有最小值时，具有最小值时，M M有向圆心运动有向圆心运动 趋势，故水平面对趋势，故水平面对M M的摩擦力方向和指向圆心的摩擦力方向和指向圆心 方向相反，且等于最大静摩擦力方向相反，且等于最大静摩擦力2 2牛。牛。 当当 具有最大值时，具有最大值时，M M有离开圆心趋势，水平面对有离开圆心趋势，水平面对M M摩擦力方向指向圆心，摩擦力方向指向圆心， 大小也为大小也为2 2牛。牛。 故故 范围是：范围是：2.92.9弧度弧度/ /秒秒 6.56.5弧度弧度/ /秒。秒。 隔离隔离M M有：有：rMfT m

13、2 1 )/(9 . 2srad解得：解得： 隔离隔离M M有：有：rMfT m 2 2 )/(5 . 6srad解得：解得： 例例8、如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量 为为M的质点的质点P，与穿过中央小孔的轻绳一端连着。平板，与穿过中央小孔的轻绳一端连着。平板 与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为 a、角速度为、角速度为的匀速圆周运动的匀速圆周运动.若绳子迅速放松至某一若绳子迅速放松至某一 长度长度b而拉紧，质点就能在以半径为而拉紧，质点就能在以半径为b的圆周上做匀速圆的圆周上做匀

14、速圆 周运动周运动. 求：（求：（1）质点由半径）质点由半径a到到b所需的时间，所需的时间， （2）质点在半径为）质点在半径为b的圆周上运动的角速度。的圆周上运动的角速度。 P F b a V 22 abS 解：（解：（1 1）绳子迅速放松后质点绳子迅速放松后质点P P沿切线做匀沿切线做匀 速直线运动。如图所示，质点做匀速直线运速直线运动。如图所示，质点做匀速直线运 动的距离为：动的距离为： av 做匀速直线运动速度大小为做匀速直线运动速度大小为 a ab v S t 22 所以质点由半径所以质点由半径a a到到b b所需的时间为所需的时间为 （2 2）绳子绷直的瞬间，质点的法向绳子绷直的瞬间

15、，质点的法向 速度速度V V2 2变为变为0 0，此后质点以切向速度，此后质点以切向速度V V1 1 作半径为作半径为b b的匀速圆周运动。的匀速圆周运动。 v v b a 1 sin a b v v 1 而：而： 2 2 b a 所以：所以： 例例9、如图所示，一个人用长为如图所示，一个人用长为l=1m，只能承受，只能承受Tm=46N 拉力的绳子，拴着一质量为拉力的绳子，拴着一质量为m=1kg的小球，在竖直平面的小球，在竖直平面 内做圆周运动。已知圆心内做圆周运动。已知圆心O离地面高离地面高h=6m，转动中小球，转动中小球 在最低点时绳子断了。在最低点时绳子断了。 （1）绳子断时小球运动的角

16、速度多大？）绳子断时小球运动的角速度多大？ （2）绳子断后，小球落点到抛出点的水平距离是多大？）绳子断后，小球落点到抛出点的水平距离是多大？ h v R （1）6 rad/s （2）6 m 例例10、一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿 竖直方向，母线与轴线之间的夹角竖直方向，母线与轴线之间的夹角=30。一条长为。一条长为L 的绳（质量不计），一端固定在圆锥体顶点的绳（质量不计），一端固定在圆锥体顶点O处，另一处，另一 端栓着一个质量为端栓着一个质量为m的小物体（可视为质点）。小物体的小物体（可视为质点）。小物体 以速率以速率V 绕轴线做水平匀速

17、圆周运动。绕轴线做水平匀速圆周运动。 求：求： 当当 时时,绳对物体的拉力。绳对物体的拉力。 当当 时，求绳时，求绳 对物体的拉力。对物体的拉力。 2/3glv 6/glv 300 O 解：解：物体刚要离开锥面时，锥面对物体的支持物体刚要离开锥面时，锥面对物体的支持 力为力为0 0，设此时线速度为，设此时线速度为V V0 0。 mg TY Y方向：方向： mgTcos X X方向：方向： sin/sin 2 0 lmvT 解得：解得：6/3 0 glv mg T Y Y方向：方向： mgNTsincos X X方向：方向： sin/cossin 2 lmvNT 解得：解得：mgT 3 2 （1

18、 1）当当 时，时，锥面对物锥面对物 体有支持力。体有支持力。 6/36/glglv N Y Y方向：方向： mgTcos X X方向：方向： sin/sin 2 lmvT 解得：解得：mgT2 （2 2）当当 时，锥面对物时，锥面对物 体无支持力，物体已离开锥面高，设体无支持力，物体已离开锥面高，设表示绳表示绳 与轴线之间的夹角与轴线之间的夹角。 6/36/3glglv 0232 222 gmTmgT 两式整理得：两式整理得： 例例11、如图所示，两绳系一质量为如图所示，两绳系一质量为m0.1kg的小球，上的小球，上 面绳长面绳长L2m，两绳都拉直时与轴的夹角分别为，两绳都拉直时与轴的夹角分

19、别为30与与 45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当 角速度为角速度为3 rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？时，上、下两绳拉力分别为多大？ 30 45 A B C 分析：当角速度分析：当角速度很小时，很小时，AC和和 BC与轴的夹角都很小，与轴的夹角都很小，BC并不张并不张 紧。当紧。当逐渐增大使逐渐增大使AC绳与轴成绳与轴成 30时，时，BC才被拉直（这是一个才被拉直（这是一个 临界状态），但临界状态），但BC绳中的张力仍绳中的张力仍 然为零。然为零。 解：解： 当角速度当角速度为最小值为最小值1时，时，TBC=0， 则有：则有： TACcos30mg TACsin30m Lsin3012 将已知条件代入上式解得将已知条件代入上式解得 12.4 rad/s 当角速度当角速度为最大值为最大值2时，时，TAC0，则有：，则有： TBCcos45mg TBCsin45m Lsin3022 将已知条件代入上式解得将已知条件代入上式解得 23.16 rad/s 所以，当所以，当满足满足 2.4 rad/s3.16 rad/s时，时，AC、 BC两绳始终张紧。两绳始终张紧。 设设=3rad/s时两绳拉力分别为时两绳拉力分别为FAC和和FBC，则有：，则有： FACsin30FBCsin45m Lsin30