2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.1.2蝗制学案含解析新人教A版必修第一册202103091184

1、51.2弧度制内容标准学科素养1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换数学运算数学抽象2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系3.掌握并能应用弧度制下的扇形、弧长公式和面积公式.授课提示：对应学生用书第79页教材提炼知识点一角度制与弧度制设 n，OPr，点P所形成的圆弧的长为l.由初中所学知识可知l，于是n.如果n确定，的值变化吗？知识梳理(1)度量角的单位制单位制内容角度制周角的为1度角，记作1；用度作为单位来度量角的单位制叫角度制弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1

2、rad(2)弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.这里，的正负由角的终边的旋转方向决定(3)弧度制与角度制的换算公式角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad()57.30(4)角的集合与实数集R的关系角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，

3、如图知识点二扇形的弧长、面积初中学的扇形的弧长公式、扇形面积公式，改为弧度制如何表示？ 知识梳理扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，其中，则度量单位类别弧度制角度制扇形的弧长lRl扇形的面积SlRR2S自主检测12 rad的角的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限答案：B2若一扇形的圆心角为，半径为20 cm，则扇形的面积为()A40 cm2B80 cm2C40 cm2 D80 cm2解析：因为扇形的圆心角为，半径为20 cm，所以扇形的面积为S扇形R280 cm2，故选B.答案：B3请将下列角度化为弧度，弧度化为角度(1)60_，150_；(2

4、)_，_.解析：根据角度与弧度的互化公式知60，150，30，120.答案：(1)(2)301204终边在y轴上的角的集合用弧度表示为_答案：|k，kZ授课提示：对应学生用书第80页探究一角度与弧度之间的互化例1(1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：1，2，39，4855；(2)把下列各角化为2k(02，kZ)的形式：，315，；(3)在0720中找出与终边相同的角解析(1)1180282.86 ；218015 330；399515.66；4855855.(2)4；315360452；2.(3)18072，与终边相同的角为72k360(kZ)当k0时，72；当k1时，43

5、2.在0720中与终边相同的角为72，432.1进行角度与弧度的互化时，抓住关系式 rad180是关键，由它可以得到：度数弧度数，弧度数()度数2特殊角的弧度数与度数对应值要熟记：角度030456090120135150180弧度0角度210225240270300315330360弧度2(1)已知15，1，105，试比较它们的大小(2)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02，并判断它是第几象限角？解析：(1)法一：(化为弧度)：1515，105105，显然1.故.法二：(化为角度)：()18，157.30，()105.显然，151857.30105.故.(2)1 4801 48010，

6、其中02，因为是第四象限角，所以1 480是第四象限角探究二用弧度制表示角例2用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合解析对于题图(1)，225角的终边可以看作是135角的终边，化为弧度，即，60角的终边即的终边，所求集合.对于题图(2)，同理可得，所求集合为.首先写出终边所在的角的形式，再根据旋转方向写出所在区域的角的集合，注意单位要统一，注意虚实边用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判断2 014是不是这个集合的元素解析：因为150，所以终边落在阴影区域内角的集合为S.因为2 014214536010.又，所以2 014S.探究三扇形的弧

7、长、面积公式的应用例3教材P174例6拓展探究(1)已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为_，圆心角为_弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是_解析设扇形的圆心角为，半径为r，则2r|r4，|2.S扇形|r22rr2(r1)21.当r1时，(S扇形)max1，此时|2.答案1 cm21 cm2(2)求半径为2，圆心角为的圆弧的长度解析半径R2，圆心角，弧长l|R.(3)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数解析设扇形的半径为r，弧长为l，所对圆心角为(02，不符合，舍去；当r4时，l2，此时(rad)所求圆心角的弧度数为rad.求扇形的弧长和面积的解题技巧(1)记公式

8、：弧长公式为：l|R.面积公式为SlR|R2(其中l是扇形的弧长，是扇形圆心角的弧度数)(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解授课提示：对应学生用书第81页一、弧度的实际应用生活实际中的“旋转”量都可以用“弧度”来解释，甚至要比用“度”方便典例已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿(1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；(2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分)，小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少？解析设大齿轮的半径为R，小齿轮的半径为r.根据题意设大齿轮的周长L48.小齿轮的周长l20.故，即.(1)当大轮转动一周时，小轮转动的角度为，r2R，22.(2)大轮的转速v13 r/s，故小轮的转速v23，1 s转过的弧长为3210.5151.2(cm)二、角度制与弧度制混用典例把角570化为2k(02)的形式为()A3B4150