等腰三角形三线合一

1、精品文库 欢迎下载 1、如图，已知 AC平分/ BAD,CE 丄AB于E , CF丄AD于F，且 BC=CD. (1 )求证： BCE DCF (2 )若 AB=17, AD=9，求 AE 的长. 2、如图，已知 AB=AC, / A=36 ,AB的中垂线MN 交AC于点 D,交AB于点M, 求证: (1 ) BD 平分/ ABC ; BCD为等腰三角形. (2 ) 3、已知：如图/ BAC的角平分线与 BC 的垂直平分线 DG交于点 D,DE 丄 AB ,DF 丄 AC, 垂足分别为 E, F. 试说明: BE=CF; 若AF=3 ,BC=4，求 ABC的周长. 4、如图, ABC 中，AC

2、 = BC , / ACB 90 ，点D为BC的中点，点E与点C关于 直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点 G,连接 BE、BF、GD 求证：（1） BEF为等腰直角三角形 ；（2） / ADC = / BDG. 5、如图，在等腰 Rt ABC中，/ C= 90 D是斜边上 AB上任一点，AE丄CD于 E, BF 丄CD 交CD的延长线于F, CH丄AB于H点，交AE于G. （1 ）试说明 AH = BH (2 )求证: BD = CG. （3 ）探索 AE与EF、BF之间的数量关系 6、（本题 14分）如图（1 )，在 ABC 和 EDC中，D为 ABC 边AC 上一点, CA平分/ B

3、CE , BC =CD , AC = CE. _+ ? t fl. (1 )求证： ABC BA EDC ; （2 ）如图（2 ），若/ ACB = 60，连接BE交AC于F , G为边CE上一点，满足CG =CF，连接DG交BE于H. 求/ DHF的度数; 若EB平分/ DEC，试说明：BE平分/ ABC. 参考答案 1、（ 1 ）证明见解析（2 ） 1 2、（ 1 ）证明见解析（2 ）证明见解析 3、（1）证明详见解析；（2）10 . （1 ）证明见解析；（2 ）证明见解析. （1 ）见解析；（2 ）见解析；（3 ） AE=EF + BF，理由见解析 (1 )略 (2 )/ DHF=60

4、略 【解析】 1、试题分析：（1）根据角平分线的性质可以得出CF=CE,在证明 RCCFDRLCEB 就可以得出DF=BE ； 先证明-CJF CAE，就可以得出 AF=AE，设DF=BE=x，就可以得出 8+x=10- x，求出方程的解即可. 试题解析：（1 ） AC 平分/ BAD,CE丄AB于E,CF丄AD 于F CE=CF, 在 Rt BCE 和 Rt DCF 中, / CE=CF BC=CD, Rt BCE 也 Rt DCF ( HL ). (2 )由(1 )得，Rt BCE 也 Rt DCF DF=EB，设 DF=EB=X 由 Rt AFC 也 Rt AEC ( HL ) 可知 A

5、F=AE 即: AD+DF=AB-BE / AB=17, AD=9 , DF=EB=x 9+x=17-x 解得，x=4 AE=AB-BE=17-4=1 点睛：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的 对应边相等，对应角相等. 直角三角形全等的判定定理是 SAS , ASA , AAS , SSS , 2、试题分析：（1 ）由 等腰三角形，即可求得/ AB的中垂线 MN交AC于点D，交AB于M，求得 ABD 是 ABD的度数，然后根据等边对等角，求得/ DBC的度数，从而 得证； （2 ）根据（1 ）的结论和外角的性质，可得/ BDC= / C,再根据等角对等边得

6、证 试题解析：（1 ） MN 为AB的中垂线, AD=BD 贝y/ A= / ABD=36 / AB=AC , / A=36 / ABC= / C=72 / DBC=36 因此，BD平分/ ABC ; (2 )由和/ 2=36 / C=72 / BDC=180 -36 -72 =72 / C= / ABD+ / DBC= / BDC , 3、试题分析：（1 ）连接DB、DC,根据角平分线性质和垂直平分线的性质得: DE=DF , DB=DC，证明 Rt BED 也 Rt CFD （ HL ），得出结论； （2 ）先证明 AED AFD，得AF=AE=3 ，再将 ABC的周长进行等量代换，即 A

7、BC 的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF - CF+BC，代入求值即可. 试题解析：连接 DB、DC , (1 ) AD 平分/ BAC , DE 丄 AB , DF 丄 AC , DE=DF , / DG垂直平分BC , DB=DC , 在 Rt BED 和 Rt CFD 中, DE=DF , BD=CD , Rt BED 也 Rt CFD ( HL ), BE=CF ; (2 )/ DAE= / DAF , / AED= / AFD=90 , AD=AD , AF=AE=3 由（1 ）得：BE=CF , ABC 的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF - CF+BC=AE+AF

8、+BC=3+3+4=10 考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质. 4、试题分析：（1 ）连接DE，根据对称轴和线段垂直平分线的性质，求出CF=EF , CD=DE，推出CD=ED=BD ，根据直角三角形的判定推出 BEF是直角三角形，求出 / AFC= / BEC= / ACD=90 , / CAF= / ECB，根据全等三角形的判定定理得出 ACFCBE，根据全等三角形的性质得证； （2 ）作/ ACB 的平分线交 AD 于M，根据 ASA 推出 ACM CBG 得出 / ADC= / M , CD=BM，根据 SAS 推出 DCM DBG，求出/ M= / B

9、DG，即可得 出答案. 试题解析：（1 ）连接DE , 点E、C关于AD对称， AD为CE的垂直平分线, CD=DE , D 为 CB 中点， CD=DE=DB , DCE= / CED , / DEB= / DBE , / DCE+ / CED+ / DEB+ / DBE=180 CEB=90 / ECB+ / ACF=90 / CAF+ / ACF=90 ECB= / CAF , 在 ACF和 CBE中, 二 CAF = cBCE JC 寻 CB / AFC M iCES ), EF=EB , ACF CBE (AAS CF=BE，右 CF=EF , EFB为等腰直角三角形. (2 )作/

10、 ACB的平分线交AD于M , 在 ACM和 CBG中， zCL-LV = BCG ACCS ACM CBG (ASA ), CM=BG , 在 DCM和 DBG中, ilC s GB dfCDwzG如“贅 CDmSD DCM DBG (SAS ), / ADC= / GDB. 5、试题分析： (1 )根据等腰三角形的三线合一证明; (2 )证明 ACG CBD，根据全等三角形的性质证明; (3 )证明 ACE CBF 即可. 试题解析： (1 ) AC=BC , CH 丄AB AH = BH (2 ) ABC为等腰直角三角形，且CH丄AB / CAG =45 + / ACE = 90 , /

11、 BCF +/ ACE = 90 =/ BCF 在 ACG aCaG zlBCZ) 禾口 CBD JOCS 4CG Z.CSD (ASA ) BD = CG (3 ) AE=EF + BF 理由如下： 中, 在 ACE 和 CBF AC cb AE=CF , CE=BF , AE=CF=CE+EF=BF+EF 6、( 1 ) CA 平分/ BCE , :丄 ACB = / ACE . 在 ABC和 EDC中 / BC = CD , / ACB =/ ACE , AC = CE ABC EDC (SAS ) (2 )在 BCF和DCG中 / BC = DC, / BCD =/ DCE,CF=CG, BCF DCG (SAS ), :丄 CBF= / CDG. / CBF+ / BCF= / CDG+/DHF / BCF= / DHF =60 . EB 平分/ DEC , DEH = / BEC . / DHF =60 , HDE =60- / DEH . / BCE =60 +60 =120 , C