全国统考2022版高考数学大一轮备考复习第7章不等式第1讲不等关系与一元二次不等式课件文

1、第一讲 不等关系与一元二次不等式,第七章 不等式,考点帮必备知识通关,考点1 不等关系,考点2 一元二次不等式的解法,考法帮解题能力提升,考法1 不等式性质的应用,考法2 一元二次不等式的解法及其应用,考法3 一元二次不等式的恒成立问题,考情解读,考情解读,考点1 不等关系 考点2 一元二次不等式的解法,考点帮必备知识通关,考点1 不等关系,1.两个实数比较大小的方法,2.不等式的性质,思维拓展 1.倒数性质 (1)ab,ab0 1 b0,dc0 . 2.分数性质 若ab0,m0,则 (1)真分数性质: (b-m0). (2)假分数性质: + + ; 0).,考点2 一元二次不等式的解法,1.

2、求一元二次不等式解集的步骤,思维拓展 分式不等式的解法 (1) () () 0f(x)g(x)0;(2) () () 0f(x)g(x)0; (3) () () 0 ()()0, ()0; (4) () () 0 ()()0, ()0; (5) () () a(a0) () () -a0(a0).,2.三个“二次”间的关系,对于a0的情况可同理得出相应的结论.,考法1 不等式性质的应用 考法2 一元二次不等式的解法及其应用 考法3 一元二次不等式的恒成立问题,考法帮解题能力提升,考法1 不等式性质的应用,示例1 2019全国卷,6,5分 若ab,则 A.ln(a-b)0B.3a0D.|a|b|

3、,命题角度1判断不等式是否成立,思维导引 由已知选项,取特殊值验证或结合函数的单调性求解.,解析 解法一由函数y=ln x的图象(图略)知,当0b时,3a3b,故B不正确;因为函数y=x3在R上单调递增,所以当ab时,a3b3,即a3-b30,故C正确;当b3b,|a|b|,故排除A,B,D.选C. 答案 C,方法技巧(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明. (2)在判断一个关于不等式的命题的真假时,可结合不等式的性质,对数函数、指数函数的性质进行判断.,命题角度2求代数式的取值范围,示例2 已知二次函数y=f(x)的图象过原点,且1f(-1)2,3f(1)4,则f(-2)的

4、取值范围为.,设出f(x)的解析式,用f(1),f(-1)表示f(-2),得f(-2)的取值范围,思维导引,解析 (待定系数法)因为二次函数y=f(x)的图象过原点,所以可设y=f(x)=ax2+bx(a0),则 1(1)=2, 3(1)=+4. 由题意知f(-2)=4a-2b,设存在实数m,n,使得4a-2b=m(a+b)+n(a-b),即4a-2b=(m+n)a+(m-n)b,所以 +=4, =2, 解得 =1, =3, 所以f(-2)=4a-2b=(a+b)+3(a-b). 又3a+b4,33(a-b)6, 所以6(a+b)+3(a-b)10,即f(-2)的取值范围是6,10.,方法技巧

5、 利用不等式的性质求取值范围的方法 由af(x,y)b,cg(x,y)d,求F(x,y)的取值范围,可利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y)(或其他形式),通过恒等变形求得m,n的值,再利用不等式的同向可加性和可乘性求得F(x,y)的取值范围. 注意 不要先单独求x,y的范围,再求F(x,y)的范围,因为有可能改变了变量的取值范围.,考法2 一元二次不等式的解法及其应用,示例3 求下列不等式的解集: (1)-x2+8x-30;(2)ax2-(a+1)x+10.,命题角度1一元二次不等式的解法,解析(1)因为=82-4(-1)(-3)=520,所以方程-x2+8x-

6、3=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1=4- 13 ,x2=4+ 13 . 又二次函数y=-x2+8x-3的图象开口向下,所以原不等式的解集为x|4- 13 x4+ 13 .,(2)若a=0,则原不等式等价于-x+11.(最高次幂的系数a与0的关系不定,要分a=0,a0讨论) 若a0,解得x1.(a0,则原不等式等价于(x- 1 )(x-1)0, 方程(x- 1 )(x-1)=0的两根分别为1, 1 .(两根1, 1 之间的大小关系不定,要分类讨论) 当 1 =1时,a=1,(x- 1 )(x-1)0无解;,当 1 1,由(x- 1 )(x-1)1时,01;当a=0时,原不等式的解集为x

7、|x1;当01时,原不等式的解集为x| 1 x1.(下结论,注意参数取值不重不漏),方法技巧一元二次型不等式的解法 (1)对于常系数一元二次不等式,其求解步骤详见高考帮P137求一元二次不等式解集的步骤. (2)解含参数的一元二次型不等式的步骤: 若二次项系数含有参数,则需要对参数进行讨论.当参数等于0时,转化为一次不等式;当参数小于0时,转化为二次项系数为正的形式;当参数大于0时,直接求解. 判断一元二次不等式对应方程根的个数时,常需讨论判别式与0的关系. 确定无根或只有一个根时可直接写出解集;确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定不等式的解集.,命题角度2三个“二次”间的关系,

8、示例4 (1)若ax2+bx+c0的解集为(-,-2)(4,+),则对于函数f(x)=ax2+bx+c,有 A.f(5)- 1 2 ,则不等式ax2-bx+c0的解集为.,解析(1)因为ax2+bx+c0的解集为(-,-2)(4,+),所以a0,且-2,4是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得 2+4= , (2)4= , 所以 =2, =8, 所以函数f(x)=ax2+bx+c=ax2-2ax-8a=a(x2-2x-8),其图象的对称轴为x=1,开口向上,所以f(2)f(-1)f(5),故选D. (2)由条件,知-2,- 1 2 是方程ax2+bx+c=0的两根,且a0,-2-

9、 1 2 =- ,(-2)(- 1 2 )= .b= 5 2 a,c=a. 从而不等式ax2-bx+c0变为a(x2- 5 2 x+1)0. a0,原不等式等价于2x2-5x+20, 即(x-2)(2x-1)0,解得 1 2 x2. 不等式的解集为x| 1 2 x2.,特别提醒(1)三个二次的关系体现了数形结合,以及函数与方程思想,应用广泛,是高考的热点之一. (2)不等式解集的端点值是相应等价方程的根.,考法3 一元二次不等式的恒成立问题,命题角度1在R上恒成立,示例5 2020四川绵阳三诊若关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是 A.(-

10、2,2) B.(-,-2)(2,+) C.(-2,2 D.(-,2,思维导引 关于x的不等式的二次项系数含有参数,需要先分a-2=0和a-20两种情况讨论,然后结合已知条件求解即可.,解析 当a-2=0,即a=2时,不等式恒成立,符合题意. 当a-20,即a2时,要使不等式恒成立,需满足,20, =4(2 ) 2 +44(2)0, 解得-2a2. 综上可知,a的取值范围为(-2,2. 答案C,方法技巧一元二次不等式在R上恒成立的条件,命题角度2在给定区间上恒成立,示例6 2020江西南昌模拟若对任意的t1,2,函数f(x)=t2x2-(t+1)x+a总有零点,则实数a的取值范围是.,思维导引

11、将函数f(x)在t1,2时总有零点转化为方程f(x)=0在t1,2时总有解,借助根的判别式,通过分离参数,构造函数g(t),利用函数的性质求得函数g(t)的最值,进而求得结果.,解析 (分离参数法)由题意,对任意的t1,2,函数f(x)=t2x2-(t+1)x+a总有零点等价于方程t2x2-(t+1)x+a=0的根的判别式=(t+1)2-4at20对任意的t1,2恒成立,所以a (+1) 2 4 2 对任意的t1,2恒成立.,令g(t)= (+1) 2 4 2 = 1 4 ( 1 +1)2,t1,2.(构造函数) 因为t1,2,所以 1 1 2 ,1,所以g(t) 9 16 ,1, 即 (+1) 2 4 2 的最小值为 9 16 . 故实数a的取值范围是(-, 9 16 .,方法技巧求解不等式恒成立问题的常用方法 方法1不等式解集法 不等式f(x)0在集合A中恒成立等价于集合A是不等式f(x)0的解集B的子集,通过求不等式的解集,并研究集合间的关系可以求出参数的取值范围. 方法2分离参数法 若不等式f(x,)0(xD,为实参数)恒成立,将f(x,)0转化为g(x)或g(x)(xD)恒成立,进而转化为g(x)max或g(x)min,求g(x)(xD)的最值即可. 该方法适用于参数与变量能分离,函数最值易求的题目.,方法3主