北师大版中考数学解题策略（答案部分）

1、第1讲 解选择题的策略 1第2讲 转化思想 10第3讲 数形结合思想 16第4讲 方程观点解几何计算题 21第5讲 探索性问题 26第6讲 应用性问题 31第7讲 开放性问题 38第8讲 代数综合题 42参考答案第一讲变式练习：1c 2a 3b 4d 5b 6a 7a 8c 9c 10b 11a 12c 13d【课后趣味体验】1d 2a 3b 4c 5d 6c 7b 8c 9c 10d 11c 12b（08福建莆田26题解析）26（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4) 因为b（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a=

2、-1/3 所以抛物线解析式为解法二：设抛物线的解析式为，依题意得：c=4且 解得 所以 所求的抛物线的解析式为（2）连接dq，在rtaob中，所以ad=ab= 5，ac=ad+cd=3 + 4 = 7，cd = ac - ad =7 5 = 2因为bd垂直平分pq，所以pd=qd，pqbd，所以pdb=qdb因为ad=ab，所以abd=adb，abd=qdb，所以dqab所以cqd=cba。cdq=cab，所以cdq cab 即所以ap=ad dp = ad dq=5 = ， 所以t的值是（3）答对称轴上存在一点m，使mq+mc的值最小理由：因为抛物线的对称轴为所以a（- 3，0），c（4，0

3、）两点关于直线对称连接aq交直线于点m，则mq+mc的值最小过点q作qex轴，于e，所以qed=boa=900 dqab， bao=qde， dqe abo 即 所以qe=，de=，所以oe = od + de=2+=，所以q（，）设直线aq的解析式为则 由此得 所以直线aq的解析式为 联立由此得 所以m则：在对称轴上存在点m，使mq+mc的值最小。（08甘肃白银等9市28题解析）28 本小题满分12分解：(1)（4，0），（0，3）； 2分(2) 2，6； 4分(3) 当0t4时，om=t由omnoac，得， on=，s= 6分当4t8时，如图， od=t， ad= t-4 方法一：由dam

4、aoc，可得am=， bm=6- 7分由bmnbac，可得bn=8-t， cn=t-4 8分s=矩形oabc的面积-rtoam的面积- rtmbn的面积- rtnco的面积=12-（8-t）（6-）-= 10分方法二：易知四边形adnc是平行四边形， cn=ad=t-4，bn=8-t7分由bmnbac，可得bm=6-， am=8分以下同方法一 (4) 有最大值方法一：当0t4时， 抛物线s=的开口向上，在对称轴t=0的右边， s随t的增大而增大， 当t=4时，s可取到最大值=6； 11分当4t8时， 抛物线s=的开口向下，它的顶点是（4，6）， s6 综上，当t=4时，s有最大值6 12分方法

5、二： s= 当0t8时，画出s与t的函数关系图像，如图所示 11分显然，当t=4时，s有最大值6 12分说明：只有当第（3）问解答正确时，第（4）问只回答“有最大值”无其它步骤，可给1分；否则，不给分第二讲：答案:例1分析：（1）求p点坐标，进而转化为求pb、ob的长度，p（m，n）再转为方程或方程组解，因此是求未知数m，n值 sabp=9，涉及ao长，应先求ao长，由于a是直线y=x+2与x轴的交点，令y=0，得0=x+2， x=-4， ao=4 =9 又点p（m，n）在直线y=x+2上， n=m+2 联解、 得m=2，n=3， p（2，3） （2）令x=0，代入y=x+2中有y=2， oc

6、=2，aocbrt， 设bt=a，rt=b 分类讨论： 当 又由p点求出可确定反比例函数y= 又r（m+a，b）在反比例函数y=上 b= 联解、可求a，b值，进而求到r点坐标当时，方法类同于上例2 分析：（1）y1的顶点为（t+1，t2），代入y2检验 x2-2x+1=（t+1）2-2（t+1）+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2， 点a在y2=x2-2x+1的抛物线上 （2）由y2=x2-2x+1=（x-1）2+0， y2顶点b（1，0），因为y1过b点， 0=a（1-t-1）2+t 2at2+t2=0 t0，t20， a=-1 当a=-1时，y=-（x-t-1）2+t2， 它与x轴的两

7、个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x-t-1）2+t2x-t-1=t x1=t+t+1=2t+1， x2=-t+t+1=1 情况一：两交点为e（2t+1，0），f（1，0） 而a（t+1，t2）由对称性有af=ae（如图） 只能是fae=90，af2=ad2+df2 而fd=od-of=t+1-1=t，ad=t2， af2=t2+t2=ae2， fe=oe-of=2t+1-1=2t 令ef2=af2+ae2，则有（2t）2=2（t2+t2），4t2=2t4+2t2， t0， t2-1=0，t=1 情况二：e（1，0），f（2t+1，0） 用分析法若fae为直角三角形，由抛物线对称性有af

8、=ae即afe为等腰直角三角形 且d为fe中点，a（t+1，t2）， ad=t2，od=t+1， ad=de，t2=oe-od=1-（t+1）， t2=-t， t1=0（不合题意，舍去），t2=-1 故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点a能够成直角三角形，这时t=1中考样题看台1（1）抛物线解析式是y=-x2-x+1 （2）由题意得： 消去c，得b=-2a-2，又抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧， b0，b=-2a-2-1，a的取值范围是-1a0 （3）由抛物线开口向下，且经过点a（0，1）知：它与x轴的两个交点b、c分别在原点的两旁，此时b、c两点的横坐标异号oa=c=1，又bac=90，点

9、a必在以bc为直径的圆上；又oabc于o，oa2=oboc，又b=-2a-2，c=1，抛物线方程变为：y=ax2-2（a+1）x+1，设此抛物线与x轴的两个交点分别为b（x1，0），c（x2，0），则x1、x2是方程ax2-2（a+1）x+1=0的两根，x1x2=，oboc=x1x2=x1x2=-x1x2，（x1x20），oboc=-，又oa2=obod，oa=1，1=-，解得a=-1，经检验知：当a=-1时，所确定的抛物线符合题意，故a的值为-12（1）证明，由已知1=2，3=4，bed=3+1，5=2，4+5=3+1，即ebd=bed（2）bfdabd，bd2=adfddf：fa=1：3，

10、ad=8，df：ad=1：4，df=2cm，bd2=16，de=bd=4cm3（1），即，得mb+nb=mbnb，两边同除以mbnb得+=1（2）mbnb=，即mbnb=5，又由（1）可知mb+nb=mbnb=5，mb、nb分别是方程x2-5x+5=0的两个实数根，x1=，x2=，mb500，不改变方向，输水线路不会穿过居民区5解：（1）oa=12，ob=6，由题意，得bq=1t=t，op=1t=toq=6-t，y=opoq=t（6-t）=-t2+3t（0t6）（2）y=-t2+3t，当y有最大值时，t=3，oq=3，op=3，即poq是等腰三角形把poq沿pq翻折后，可得四边形opcq是正方

11、形，点c的坐标是（3，3），a（12，0），b（0，6），直线ab的解析式为y=-x+6，当x=3时，y=3，点c不落在直线ab上（3）poqaob时，若，即，12-2t=t，t=4若，即，6-t=2t，t=2，当t=4或t=2时，poq与aob相似6（1）开口向上，p（2，-m2）（2）设对称轴与x轴交于点c，令（x-2）2-m2=0，得x1=-m+2，x2=m+2，a（-m+2，0），b（m+2，0），ac=2-（-m+2）=m，（m0）由抛物线对称性得 pa2=ac2+pc2=m2+（-m2）2 apb=90， 易证ac=pc， 即m=-m2，m1=0，m2=1 m0，m=1，abc的周

12、长为ab+2pa=2+27（1）m=-2，n=，t= （2）l1：y2=x+， l2：y=x+ （3）过b作bp1ac于p1，则p1（，）， 过b作bp2ab于p2，则p2（-2，）8（1）y=（1x） （2）bp= （3）若aepbec，则，易知rtbaprtcbe，be=ap 设ap=t（0t1），则ae=ab-eb=1-t， ，t=，又0t2时，=（-2m）2-4（m-）2+=m-20又ab+cd=2m0，abcd=（m-）2+0，abcd，abcd，四边形abcd是梯形（2）am=md，bn=nc，abcd，mnab，mncd，ap=pc，bq=qd，qd=dc，pn=ab，abcd，

13、pq=1，dc-ab=1，dc-ab=2，由已知得ab+cd=2m，abcd=（m-）2+=m2-m+2，（dc-ab）2=（dc+ab）2-4dcab，22=（2m）2-4（m2-m+2），m=3，当m=3时，x2-6x+8=0，x1=2，x2=4，ab800000所以，到第6天所有鸡都会被感染（2）过点o作oecd交cd于点e，连结oc、oaoa=5，oc=3，cd=4，ce=2，在rtoce中，oe2=32-22=5在rtoae中，ae=2，ac=ae-ce=2-2，ac=bc，ac+bd=4-4答：这条公路在该免疫区内有（4-4）千米【中考压轴题体验】28、解：（1）在和中，四边形是正

14、方形，又，3分（2）由（1），有，点是的外心，点在的垂直平分线上点也在的垂直平分线上为等腰三角形，而，设经过三点的抛物线的解析表达式为抛物线过点，把点，点的坐标代入中，得即解得抛物线的解析表达式为5分（3）假定在抛物线上存在一点，使点关于直线的对称点在轴上是的平分线，轴上的点关于直线的对称点必在直线上，即点是抛物线与直线的交点aeodcbgfxylq设直线的解析表达式为，并设直线与轴交于点，则由是等腰直角三角形把点，点代入中，得直线的解析表达式为设点，则有把代入，得，即解得或当时，；当时，在抛物线上存在点，它们关于直线的对称点都在轴上4分25（1）由题意可知c（0，3）， 抛物线的解析式为y

15、= ax22ax3（a0），过m作mny轴于n，连结cm，则mn = 1， cn = 2，于是m =1同理可求得b（3，0）， a3222a33 = 0，得 a = 1， 抛物线的解析式为y = x22x3 （2）由（1）得 a（1，0），e（1，4），d（0，1） 在rtbce中， ， ，即 ， rtbodrtbce，得 cbe =obd =b，因此 sin（ab）= sin（dbcobd）= sinobc =（3）显然 rtcoartbce，此时点p1（0，0）过a作ap2ac交y正半轴于p2，由rtcap2 rtbce，得过c作cp3ac交x正半轴于p3，由rtp3cartbce，得p3

16、（9，0）故在坐标轴上存在三个点p1（0，0），p2（0，13），p3（9，0），使得以p、a、c为顶点的三角形与bce相似【课后趣味体验】1（1）先证boeaof s四边形aeof=saob=oboa=r2 （2）由eaf=90且ac=ab=r， y=soef=s四边形aeof-saef， y=x2-rx+r2（0xr） （3）当soef=sabc时，即y=（2rr）=r2 x2-rx+r2=r2 即x2-rx+r2=0 解之得x1=r，x2=r soef=sabc时，=，=或=，= 当ae=r时，af=r，ef=r； 当ae=r时，af=r，ef=r2a（-2，0），b（m2-4m+，0）

17、，c0，-2（m2-4m+） （1）m=2 （2）过a作adbc于d，sinacb= （3）m=2时，s最小值=3解：（1）设a（x1，0），b（x2，0），由题设可求得c点的坐标为（0，c），且x10 a0 由saoc-sboc=oaob得：-x1c-x2c=-x1x2 得：c（-）=，得：b=-2 （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点m，与pab的外接圆交于点n tancab=，oa=2oc=2c， a点的坐标为（-2c，0），a点在抛物线上 x=-2c，y=0，代入y=ax2-2x+c得a=- 又x1、x2为方程ax2-2x+c=0的两根， x1+x2=即：-2c+x2=-c x=c b点

18、的坐标为（c，0） 顶点p的坐标为（-c，c） 由相交弦定理得：ambm=pmmn 又ab=c，am=bm=c，pm=c， c=，a=- 所求抛物线的函数解析式是：y=-x2-2x+第四讲：答案:例1分析：rtabc，c=90，ac=6，bc=8 ab=10由题意知 acdaeddeb=90，decd，ac=ae=6， 设cd=x，则de=x，而eb=4， 一个未知数，需要一个方程，从何而来，图中有直角，用勾股定理，有等式，有方程 在rtdeb中，（8-x）2=x2+42， 64-16x+x2=x2+16，16x=48， x=3（cm）例2ce：ed=1：4， 设ce=x，则ed=4x，由相交

19、弦定理得 ceed=aeeb， 即x4x=22， 4x2=4， x=1 cd=x+4x=5x=5例3分析：条件符合切割线定理，设bp=x，则由pm2=pbpa（方程出来了） 得（a）2=x（x+2a）， x2+2ax-3a2=0， （x+3a）（x-a）=0， x1=a，x2=-3a（舍去） x=a，即bp=a，连结mo（常作辅助线） 则omp=90，ob=bp=a，则mb为rtomp的斜边上的中线，mb=op=ambp的周长为2a+a例4 分析：设半径为r，（一个未知数建立一个方程即可），连om、on、oc， 则om=on=r，用面积，saoc+sboc=sabc， 得6r+8r=68（一元

20、一次方程） 14r=48，r=变式练习：1解：3（x+）2-5（x+）-8=0， x+=或x+=-1， 由x+=得x= x+=-1得x2+x+1=0无解 tanadc=， 在rtabc中，ac= 在rtadc中，cd= cd1，cd=2pdc=363（1）证明：连结ac，cea=caecea=cba，cba=cae，ab是直径，acb=90，cpab，cba=acp，cae=acp，ad=cd （2）解：acb=90，cae=acp，dcf=cfd，ad=cd=df=，ecb=dap，tanecb=，tandap=，pd2+pa2=da2，dp=，pa=1，cp=2，acb=90，cpab，a

21、pccpb，pb=44（1）要使方程有两个实数根，必须0， 即-（k+1）2-4（k2+1）0， 化简得：2k-30，解之得：k （2） 解之得：k1=2，k2=-6 由（1）可知，k=-6时，方程无实数根，所以，只能取k=25（1）连结oc，证ocp=90即可 （2）b=30，a=bcp=60， bcp=cgp=60，cpg是正三角形 pg=cp=4，pc切o于c pc2=pdpe=（4）2=48， 又bc=6，ab=6，fd=3，eg=， pd=2，pd+pe=2+8=10 以pd、pe为两根的一元二次方程为x2-48x+10=0 （3）当g为bc中点，ogbc，ogac或bog=bac时

22、，结论bg2=bfbo成立要让此结论成立，只证明bfgbgo即可，凡是能使bfgbgo的条件都可以6可以猜想到 证明：延工ad交o于点g bc是o的直径，adbc， ae=be， abe=bae， （2），bf=ag adbc，bc是o直径， ag=2ad， bf=2ad， bd、cd的长是方程x-kx+16=0的两个根， bdcd=16 又ad2=bdcd，ad2=16，ad=4，bf=8 （3）连结cf解不等式组得：9k10 k是整数，k=10 由（2）得bd+cd=k， bc+cd=10即o的直径bc=10 ，c=2a 在rtabc中，sinc=， sina=， sin2a= 2006年

23、浙江金华（1）直线ab解析式为：y=x+ （2）方法一：设点坐标为（x，x+），那么odx，cdx+由题意： ，解得（舍去）（，）方法二：,，由oa=ob，得bao30，ad=cdcdad可得cd ad=，odc（，）（）当obprt时，如图 若bopoba，则bopbao=30，bp=ob=3，（3，） 若bpooba，则bpobao=30,op=ob=1（1，）当opbrt时 过点p作opbc于点p(如图)，此时pbooba，bopbao30过点p作pmoa于点m方法一： 在rtpbo中，bpob，opbp 在rtpo中，opm30， omop；pmom（，）方法二：设（x ，x+），得o

24、mx ，pmx+由bopbao,得pomabotanpom= ，tanaboc=x+x，解得x此时，（，） 若poboba(如图)，则obp=bao30，pom30 pmom（，）（由对称性也可得到点的坐标）当opbrt时，点p在轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：（3，），（1，），（，），（，）2006山东烟台（1）设l2的解析式为y=a(x-h)2+kl2与x轴的交点a(-2,0),c(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称， l2过a(-2,0),c(2,0),顶点坐标是（0，4） y=ax2+4 0=4a+4 得 a=-1 l2的解析式为y=-x2

25、+4 (2)设b(x1 ,y1) 点b在l1上 b(x1 ,x12-4) 四边形abcd是平行四边形，a、c关于o对称 b、d关于o对称 d(-x1 ,-x12+4). 将d(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4 左边=右边 点d在l2上. (3)设平行四边形abcd的面积为s,则 s=2*sabc =ac*|y1|=4|y1| a.当点b在x轴上方时，y10 s=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且s随y1的增大而增大， s既无最大值也无最小值 b.当点b在x轴下方时，-4y10 s=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且s随y1的增大而减小， 当y1 =-4时，s由最大值

26、16，但他没有最小值 此时b(0,-4)在y轴上，它的对称点d也在y轴上. acbd 平行四边形abcd是菱形 此时s最大=16. 【课后趣味体验】1r2+r2=42，2r=4（cm）2ap=3或43设pb=a，pc=a+4，则 解之得a=2，m=10 由pa2=pbpc=26=12得pa=24过d作dfbc于f 由sincbd=，df=6， 由dfae ae=9 5易证adcbac， 即，x=6连be，则beac，易证befbce， ec=2第五讲：答案:例1解：设直角三角形abc的三边bc、ca、ab的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2 （1）s1=s2+s3； （2）s1=s2+s3

27、，证明如下： 显然：s1=c2，s2=a2，s3=b2， s2+s3=（a2+b2）=c2=s1 （也可用三角形相似证明） （3）当所作的三个三角形相似时，s1=s2+s3证明如下： 所作三个三角形相似， =1，s1=s2+s3（4）分别以直角三角形abc的三边为一边向外作相似图形，其面积分别用s1、s2、s3表示，则s1=s2+s3 例2分析：（1）即证ape=bpf=90，过p作二圆公切线，可证明 （2）证明abebfa可得 （3）同样可证abebfa e=baf，f=abe变式练习：1（1）y=x y=-x2+x （2）d（10，6） （3）当q在oc上运动时，可设q（m，m），依题意有

28、：m2+（m2）=（2t）2 m=t，q（t，t），（0t5） 当q在bc上时，q点所走过的路程为2t oc=10，cq=2t-10， q点在横坐标为2t-10+8=2t-2， q（2t-2，6）（5t10） （4）梯形oabc的周长为44，当q点在oc上，p运动的路程为t，则q运动的路程为（22-t） opq中，op边上的高为：（22-t）， sopq=t（22-t），s梯形oabc=（180+10）6=84 依题意有：t（22-t）=84， 整理得：t2-22t+140=0=222-41400， 这样的t不存在 当q在bc上时，q走过的路程为22-t， cq的长为：22-t-10=12-t

29、， s梯形ocqp=6（22-t-10+t）=3684， 这样的t值也不存在 综上所述，不存在这样的t值，使得直线pq同时平分梯形的周长和面积2（1）bc切o2于c，ecf=cdf，又f=f，fdcfce又adc=abc，ecf=cdf，abc=ecf，abec （2）有abec，证明：bc切o2于c，bce=d，又abcd内接于o1，abf=d，bce=abf，abec3（1）pc切a于点c，pcac，pc2=pa2-ac2，同理pd2=pb2-bd2，pc=pd，pc2-ac2=pb2-bd2，设pb=x，pa=4-x代入得x2-1=（4-x）2-22，解得x=，12） （2）假定有在一点

30、p使pc2+pd2=4，设pb=x，则pd2=x2-1，pc2=（4-x）2-22，代入条件得（4-x）2-22+x2-1=4，解得x=2，p在两圆间的圆外部分，1pb2，即1x2，满足条件的p点只有一个，这时pb=2-（3）当pc：pd=2：1或pb=时，也有pcapdb，这时，在pca与pdb中（或），c=d=rt，pcapdb，bpd=apc=bpe（e在cp的延长线上），b点在dpe的角平分线上，b到pd与pe的距离相等，b与pd相切，b也与cp的延长线pe相切4证明：连结dh在deh和dfh中， dehdfh，deh=dfhapcqbd2006重庆（1）.因为，所以.又因为，cd是斜

31、边上的中线，所以，即所以，所以所以，.同理：.又因为，所以.所以（2）因为在中，所以由勾股定理，得即又因为，所以.所以在中，到的距离就是的边上的高，为.设的边上的高为，由探究，得，所以.所以.又因为，所以.又因为，.所以 ，而所以(3) 存在. 当时，即整理，得解得，.即当或时，重叠部分的面积等于原面积的（2006山东潍坊）（1）把代入得，一次函数的解析式为； 二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，设二次函数解析式为，把代入得，二次函数解析式为 （2）由解得或，过点分别作直线的垂线，垂足为，则，直角梯形的中位线长为，过作垂直于直线于点，则， 的长等于中点到直线的距离的2倍，以为直径的圆与直线相

32、切（3）平移后二次函数解析式为，令，得，过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，此时，半径为2，面积为，设圆心为中点为，连，则，在三角形中，而，当时，过三点的圆面积最小，最小面积为【课后趣味体验】1（1）（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1 （n2） （2）等腰三角形（ab=ac）2（1）m=4，k=16， （2）k16且k0 （3）当0k16时，aob为锐角，当k132 因此，他这时有一定的危险 例2解：设存水量y与放水时间x的解析式为y=kx+by(升)1817x(分钟)8212o 把（2，17），（12，8）代入y=kx+b得 解得k=-，

33、b=， y=-x+（2x） （2）由图可得每个同学接水量是0.25升， 则前22个同学需接水0.2522=5.5升 存水量y=18-5.5=12.5升， 12.5=-x+， x=7 前22个同学接水共需7分钟 （3）当x=10时，存水量y=-10+=， 用去水18-=8.2升， 8.20.25=32.8 课间10分钟最多有32人及时接完水，或设课间10分钟最多有z人及时接完水，由题意可得0.25x8.2， z32.8 例3解：（1）设y=kx+b，它过点（60，5），（80，4），o406010012080x(元)y(万元) 解得 y=-x+8 （2）z=yx-40y-20=（-x+8）（x-