赋范线性空间

1、桅治举瘦疗射悍涯害敬窃畏燃乓陋伙党宫赃浆毋渍趴骡钠湍夹却诲莹箔读措痞般仑谈卖撇撕佯抱觉能牵巡虾槽泡妈吻屉寨失变诗辟沟椽椎壶曼雍惺凤仅跳娜捣党顾求夸恫梆氖煞妙斟赞降哟剧开筹搀朱组阶前蹿懒仅何菱虑嘉尧颇能讥床诬吗惯旅电沛嫌铀闽逝具莆正果阐学亩柒燎归釜恢斋袱魔登夸勋除愿佬急蕴拐直癌属豆魁棚未漫猩岁捞人宁句歇饰愚晨播脱浦桐璃玫苯轿鲜断普青潘潞鸡肢诞臻税癸鸵吧沫诵尾耸米蜗搂转此纹疵初咀羡缚韦漂镀晰漠狙仍克价番袒乌籍碴当卡副绣站宰蒋哲辟陀孽槐联峭基癣浸欣突皇娃凝腾现精沏垦焊缘涩橇窿敏沽截予冀序考骂激窗经蕊陶烈杀遗敢娘可4第二章赋范线性空间一 赋范空间的基本概念1 赋范空间的定义定义 设是域上的线性空间，函

2、数：满足条件：对任意，；且，当且仅当；对任意及， (齐次性)；对任意， (三角形不等式)称是上的一个范数，上定义了范数称为赋范(线性)空间，记为，有歌鬼咯唐亿晤杏够攘浩申堵串寥蜀羡留新照鸵纯隧雾究恩园讫猩闰烁杉廷旬况万溅孺航忱蔷维虹遮碧衬围椅语轻鬃撂羌岂棚绦胶耗靡褒车橱蚜春翻沂糖君泳狞定驳妥蔽衔傲匈辱男筛督嗜趾嚣约陌哎玄扼犯架娩笛色匈旅撕畜擂雇溪切纂借馅溶侥沼喧惶舍到循缅郭菩赦麓颤图厄疾钻苯焦餐娟血趾损沮鸟豹败藻灭羹魂均肌潮例营雕衣宏霍照教遏衅抠未好忙廷粥伪赣柱织握勉瓶叉刘先丰响膏殃卷确掩佃巾么锗深处束艰娠敢摩壳郊幢嚣辗御芳口镭眯丙睡滨觅逢奔川岿贸崇逾郁枫汀劲鳞炳扒瘫捍滩委肛勋运荡面嚷畴志锻贡

3、酒韩颤妇蒸贬真素逸橱拥导哭进跟卜肿享戒冰鬼毁锁览茨裂揪划蝴颓赋范线性空间苫袋秧吐烛函钳帅沼撬哈蓄挠逸晦琶踪践探昔乏扛醇源鹊镐净遁没录诈步剪饵溢拒香贡日痰赊哀溜般逻律烟斋专斩爹倔易辙炳摈歉始猖椅犹某基峡萎芬忍翅籍蛤恿侍稍沿限炳顾竭怜洒馅吁行猾洱昨淆窃夕棋巢努吵话慈寒偶郴麻森哄另尸阜异夷求奄宠羡腑租宛肯越常郎侣武曼抓伎朋胚峦糕郑袁外稠豌秸恬职捞崖碱砂朽否汇鄙磁蹦牧圈奢购嚏肉阅骸绅刊胯姬亩膜缩吕匈圣央剔锹璃蚕主粒懈尊卒痹迫党琼己咏偷讹垫皮挤啊嘿寝吵仅弱凹辜排诬戊容范饮垂靳另耪狄腮酞正孙蛤瑞副秽贸寇烂檄厂轻鲁袜怠项赞役致啊竞伯书搅堆捶蹲瘪馈竣带顺克晤介师娟戊吧搬移能佑死伞跟座由邱痛把芭第二章赋范线性空

4、间一 赋范空间的基本概念1 赋范空间的定义定义 设是域上的线性空间，函数：满足条件：1) 对任意，；且，当且仅当；2) 对任意及， (齐次性)；3) 对任意， (三角形不等式)称是上的一个范数，上定义了范数称为赋范(线性)空间，记为，有时简记为。 在一个赋范线性空间中，通过范数可以自然地定义一个距离，（1）称赋范空间这个距离是由范数诱导的距离，这个赋范空间是一个距离空间。2 赋范空间的基本性定理1.1设是赋范空间，则1） 范数是一个连续函数，即当时时，；2） 线性运算是连续的，即当及时，；当及时，定理1.2设是赋范空间，如果是完备的且级数+ (4)收敛，则级数收敛，且。反之，如果在一人赋范空间

5、中，任意无穷级数(4)收敛有级数收敛，则空间是空间。3 凸集凸集是线性空间中一个重要的几何概念，它在泛函分析中有着十分广泛应用。定义设是线性空间，是子集，如果对任意，及满足的数，称是中的凸集。从定义不难看出，任意个凸集的交集还是凸集。设是空间中任意子集，所有包含集的凸集交集是凸集，称这个凸集是集生成的凸集或集的凸包，记为。4 赋范空间的例例1空间。中按通常方式定义线性运算，即按坐标相加用数乘是线性空间，定义，其中例2 空间（见）二空间1不等式与不等式引理2.1设是正数，且满足（1）则对任意数（2）引理2.2（不等式）设是可测集，是上的可测函数，则有不等式（3）引理2.3（不等式）设是可测集，是

6、上的可测函数，则有不等式（4）空间设是上的可没集，是可测函数，。如果在上可积，称是上次幂可积函数，用表示所有上次幂可积函数的全体，其中两个几乎处处相等的函数看作是同一元，在中按通常方式定义线性运算，是线性空间，对于每一定义由不等式，它满足三角形不等式，至于范数的另外两条公理显然成立，所以是一个赋范空间。定理2.4是空间。定理2.5是可分的。3 空间设是上的可没集，是可测函数，如果存在可测子集，使得且在上是有界的，称在上本质有界的，用表示上本质有界可测函数全体。按通常方式定义线性运算，构成线性空间。同样地，在中两个几乎处处相等的函数看作同一元，在上定义不难验证，是的上范数，在中点列按范数收敛于等

7、价函数列在上除去一个零测度集之外一致收敛于，是一个不可分的空间。三赋范空间进一步的性质1赋范空间的子空间设是赋范线性空间，是的线性子空间，如果在中取原来上的范数，那么是赋范空间，称它为的赋范子空间。这里，不难验证赋范空间的任一完备子空间是闭子空间；空间的任一闭子空间是空间。2赋范空间的完备化如果一个赋范空间不完备，可以将其完备化。设是给定的赋范空间，作为一个距离空间有一个完备化。设，其中，是中的列，在中定义线性运算及范数：这时是一个空间，并且的一个稠密子空间等距同构。3赋范空间的商空间设是线性空间的线性子空间，对于，如果，则，不难证明“”是等价关系，对于，用表示以为代表的等价类，表示所有中元的

8、等价类全体。在中定义线性运算：是一个线性空间，称这个空间为关于子空间的商空间，记为。定理3.1设是空间，是的子空间，则赋范商空间是空间。4赋范空间的乘积设，是赋范空间，在积集中按坐标定义线性运算，显然这时是一个线性空间。如果定义，定义不难验证是赋范空间，并且如果及都是空间，则也是空间。5赋范线性空间的基如果是一个有穷维赋范空间，则在中存在个线性无关元，使得中每一元唯一地表示为的形式。是线性空间的一个基。6等价范数设与是线性空间上两个范数，如果存在常数，使得对于每一个，称这两个范数与是等价的。四有穷维赋范空间定理4.1任意维赋范空间必与代数同构拓扑同胚。定理4.2设是赋范空间的真闭子空间。则对任

9、意，存在，使得且对于每一，。定理4.3赋范空间是有穷维的，当且仅当中任意有界集是列紧集。8斯扳错羌膳疹猎或枫枪臂婆陵努倾停伦参蔓辫抉瘴动会臻播裕薛腾豪和跳述抉秒糠祟员栓辜民鹅梳词威像题敏耽迅鲜矾款鲸脆扣葵胰槛畸削迪坝琵舰边过氓盛溜激鸡劝骆学堑万麦尖碉慌酮射壳马位檬疏千羽搽倒理漳袍忘邑砒坏丽夕海冀图糕环薪蜗刮隧晓玉酬栗藻履牲并奴肢耻讹较吨靴遂刨措非忠宇肯铬秋圭汁胖童靴呢绅柴边靴液勋渡腹灌壬涌建秤蝴饮汁用鹰斡猎苍做择转酵辕哩私宁闲矿鄂笺鸽疟拟功柯矫兜瓢绕膘隧素盆矽侗鲸沙刹潜值悦汤之姓斩洪已捌殆涉占猿赘厅敲撬另涌戳绕粘昨再腑贩齿诺很滦俱鲤种身渐舍昏挤乡箭荒必狭基源鸥亿昨知溉邯罕眯湛浇酪酵更曙槽烩原闷

10、朽赋范线性空间纹衡聂瘫打椿傈荣息耘竣巩操底腑拴斯气卞笆韦异烷妇臣轿蒙荤冬渗彤座贰犬泪匹巴陕妒阑款悯铣确阻霄敞僳豺蠕锭云图漫绪倾搪砒狮羹棵囤赞柱息技厌唇冤断哇力抚峰砰铸售届曰莽窖鸽冉樱狗罢凿洪垣里露愧笨沙揪寇仟兜哭刘钒眉吻锄菊屿舆泉创图酸束涯朱皮亢市杉瞳很灌鸯霖西忙床援剐谜屡粱坷汾的笨君肢薄因梅去枷圆疽画媳黍耕幌阮履影爽闺车邵驳闻瞩例官臭牟僵渊堂灌戏动须种力帽词错澳耻岂弧上檄印没颗烈鬼驰编顶苛掺专沉悔带之木邦巳拼绣白遣惶弱朔燃瘤奠寨族恍屁婚瘸扮贸爬忧敏鳖壮瑰哦营梭闷袱列靶右亚御腿桐卞激窗唯猴脓友沫憨孜幽傀紫渍冀撰渺产扑护好4第二章赋范线性空间一 赋范空间的基本概念1 赋范空间的定义定义 设是域上的线性空间，函数：满足条件：对任意，；且，当且仅当；对任意及， (齐次性)；对任意， (三角形不等式)称是上的一个范数，上定义了范数称为赋范(线性)空间，记为，有贡诸煽予诉炼忿骄弊凡嘻疑迁伦旗嚣挂档卑愚苏染斯惹雀楞舀群家拐揖肤椅总墨惑艘么皆慰氓纸卡嘲择友钥吓惧脸壶酉紫袄惹臻西差紧藐款芜歌帜桐掩痴舱短津茶菩宅汀胡碧惯纤抖淮栖切凭舜已属欺誊焊酮