线性规划的实际应用举例

1、线性规划的实际应用举例 为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划(即两个变量的线性规划)的实际应用举例加以说明。 1 物资调运中的线性规划问题 例1 a，b两仓库各有编织袋50万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运40万个到甲地，20万个到乙地。已知从a仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个、180元/万个；从b仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个、150元万个。问如何调运，能使总运费最小?总运费的最小值是多少? 解：设从a仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为z元。那么需从b仓库调运40-x万个到甲地，调运20-y万个到乙地。 从而有

2、 z=120x+180y+100(40-x)+150(20-y)=20x+30y+7000。 作出以上不等式组所表示的平面区域 (图1)，即可行域。 令z=z-7000=20x+30y. 作直线l：20x+30y=0， 把直线l向右上方平移至ll的位置时，直线经过可行域上的点m(30，0)，且与原点距离最小，即x=30，y=0时，z=20x+30y取得最小值，从而z=z+7000=20x+30y+7000亦取得最小值，zmin=2030+300+7000=7600(元)。 答：从a仓库调运30万个到甲地，从b仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地，可使总运费最小，且总运费的最小值为7600元。

3、 2 产品安排中的线性规划问题 例2 某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料1吨需耗玉米0.4吨，麦麸0.2吨，其余添加剂o.4吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3吨，其余添加剂0.2吨。每1吨甲种饲料的利润是400元，每1吨乙种饲料的利润是500元。可供饲料厂生产的玉米供应量不超过600吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过300吨。问甲、乙两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大?最大利润是多少? 分析：将已知数据列成下表1。 表1 例2表 解：设生产甲、乙两种饲料分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么 z=400x+500y。 作出以上不等

4、式组所表示的平面区域(图2)即可行域。作直线l：400x+500y=0。并把l向右上方平移，由于l1：4x+5y=6000与l平行，所以线段mn上所有坐标都是整数的点(整点)都是最优解。易求得m(250，1000)，n(0，1200)。 取整点m(250，1000)，即x=250，y=1000时， zmax=400250+5001000=600000(元)=60(万元)。 答：可安排生产甲种饲料250吨，乙种饲料1000吨，能使利润总额达到最大。最大利润为60万元。 注：课本题中出现的线性规划问题大都有唯一的最优解。例2使我们认识到最优解的个数还有其他可能，这里不再深入探究。 3 配料与下料中

5、的线性规划问题 例3 甲、乙、丙三种食物的维生素a，b含量及成本如表2。 表2 例3表 甲 乙 丙 维生素a(单位/千克) 600 700 400 维生素b(单位/千克) 800 400 500 成本(元/千克) 11 9 4 某食物营养研究所想用xkg甲种食物，ykg乙种食物，zkg丙种食物配成100kg混合食物，并使混合物至少含有56000单位维生素a和63000单位维生素b。 1)用x，y表示混合食物的成本c(元)； 2)确定x，y，z的值，使成本最低。 解：1)依题意有： x+y+z=100 (3) c=11x+9y+4z (4) 由(3)得z=100-x-y，代入(4)得： c=11

6、x+9y+4(100-x-y)=7x+5y+400，其中x0，y0。 2)将z=100-x-y代入(1)，(2)，并化简，得 作出不等式组 所表示的平面区域(图3)，即可行域。 作直线l：7x+5y=0，把直线l向右上方平移至ll的位置时，直线经过可行域上的点m，且与原点的距离最小。 由求得m点的坐标, 故当x=50，y=20时，7x+5y取得最小值，c=7x+5y+400亦取得最小值， cmin=750+520+400=850。 答：1) c=7x+5y+400(x0，y0)； 2) 当x=50，y=20，z=30时，成本c最低。 例4 现有2m及3m长的条钢各10根，需截成0.6m和0.8

7、m长两种规格的零件毛坯，其中0.6m长的毛坯需20个，0.8m长的毛坯需30个，为使材料不浪费，且使所用条钢根数最小，该如何设计下料方案。 解：为使材料不浪费，2m长的条钢可截成0.6m长的毛坯2个，0.8m长的毛坯1个，3m长的条钢可截成0.6m长的毛坯1个，0.8m长的毛坯3个。 设需截2m长的条钢x根，3m长的条钢y根，则 作出可行域(如图4)，目标函数为z=x+y. 作出一组平行线x+y=t(t为参数)中，经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线2x+y=20和直线x+3y=30的交点m(6，8)。 故当x=6，y=8时，z=x+y取最小值。 答：符合条件的下料方案是：使用2m长的条钢6根、3m长的条钢8根。 通过上述例题，不难发现，简单的线性规划在实际生活中有较广泛的应用。在工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等许多领域都常常使用线性规划方法。 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用： 一是征人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。 对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求