全国各地中考试题压轴题精选讲座八探究操作性问题

1、2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座八探究、操作性问题【知识纵横】探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导 学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求 一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生 按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。【典型例题】【例1】(江苏南京)问题情境：已知矩形的面积为 a ( a为常数，a 0),当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型：设该矩形的长为x，周长为y，则与x的函数关系式为y 2(x -)(x0).x1探索研究：

2、我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y x -(x0)的图象性x质.填写下表，画出函数的图象:4x1413121234y观察图象，写出该函数两条不同类型的性质;234在求二次函数 y ax2 bx c a 0的最大(小)值时，除了通过观察图象，还可1以通过配方得到请你通过配方求函数y x -(x 0)的最小值.x解决问题：用上述方法解决 问题情境”中的问题，直接写出答案.【思路点拨】将x值代入函类数关系式求出y值，描点作图即可，然后分析函数图像。仿对y 2(x -)进行配方成二次函数的顶点式，即可解决。x【例2】（湖南岳阳）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们 经历

3、了实践-应用-探究的过程：（1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面 6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式.（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m 为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？（3）探究：该课题学习小组为进一步 探索抛物线的有关知识，他们借助上 述拋物线模型，提出了以下两个问题， 请予解答：I 如图，在抛物线内作矩形 ABCD ,

4、使顶点C、D落在拋物线上，顶点 A、 B落在x轴上.设矩形ABCD的周长 为丨，求丨的最大值.II?如图，过原点作一条y = x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N ,P为直线0M上一动点，过 P点作x轴的垂线交抛物线于点 Q.问在直线 OM上是否 存在点P,使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】（1）利用顶点式求解。（2）可得当x=2时，正好是两辆汽车的宽度。（3）II.利用等腰直角三角形的I. 首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出。性质，以及P在y=x的图象上，即可得出 P点的坐标。【例3】（湖南株洲

5、）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y ax2（a 0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原 点0,两直角边与该抛物线交于 A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得0A=0B= 2y/2 （如图1），求a的值；（2） 对同一条抛物线，孔明将三角板绕点 0旋转到如图2所示位置时，过B作BF x 轴于点F，测得0F=1，写出此时点 B的坐标，并求点 A的横坐标；（3） 对该抛物线，孔明将三角板绕点 0旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连 线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标.【思路点拨】（2）过点A作AE丄x轴于点丘，证厶AE0 s

6、“）FB，得出AE=20E ,一 1 2 1 2可得方程点 A的横坐标。（3）设A （ m , -m ） （ m 0）, B （ n , -n）（ n 0 ）,2 2可证AAEO s）FB ,再根据相似三【学力训练】1、(福建漳州) 如图1,抛物线y= mx2 11mx + 24m (m v 0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线另有一点 A在第一象限内，且/ BAC = 90(1) 填空：0B = _, OC = _;(2) 连接0A，将 OAC沿x轴翻折后得 ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛 物线的解析式；(3) 如图2,设垂直于x轴的直线I: x =门与(2 )中

7、所求的抛物线交于点 M，与CD交 于点N，若直线I沿x轴方向左右平移，且交点 M始终位于抛物线上 A、C两点之间时，试探究：当 n为何 值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值.d1yaCJLy0: pA 12、（江苏扬州）在厶ABC中，/ BAC = 90, AB V AC , M是BC边的中点，MN丄BC 交AC于点N.动点P从点B出发沿射线BA以每秒 3厘米的速度运动.同时，动点 Q 从点N出发沿射线NC运动，且始终保持 MQ丄MP,设运动时间为t秒（t 0 ）.（PBM与厶QNM相似吗？以图1为例说明理由；（2）若/ ABC = 60, AB = 4 . 3 厘米. 求动

8、点Q的运动速度； 设 APQ的面积为S （平方厘米），求S与t的函数关系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由.M 图1M图2（备用图）3、（湖南永州）探究问题：方法感悟：如图，在正方形 ABCD中, 别为DC，BC边上的点，且满足/ EAF=45 求证 DE+BF=EF .感悟解题方法，并完成下列填空：将厶ADE绕点A顺时针旋转90得到 ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得:AB=AD , BG=DE, / 仁/ 2，/ ABG= / D=90 , /-Z ABG+ / ABF=90 + 90 180 ,F因此，点G , B , F在同一条直线上./Z

9、EAF=45/.Z 2+Z 3= Z BAD Z EAF=90 45 =45 .vZ 1 = Z 2,/.Z 1 + Z 3=45 .即Z GAF= Z.又 AG=AE , AF=AF / GAF也./ =EF，故DE+ BF=EF.方法迁移：如图，将Rt ABC沿斜边翻折得到厶 ADC，点E, F分别为DC , BC边上的点，且Z EAF= - Z DAB .试猜想DE , BF, EF之间有何数量关系，并2证明你的猜想.问题拓展：如图，在四边形 ABCD中，AB=AD , E, F分别为DC,BC上的点，满足Z EAF= - Z DAB,试猜想当Z B与Z D满足什么关系2时，可使得DE+

10、BF=EF .请直接写出你的猜想 （不必说明理由）探究操作性问题x1413121234y17410352252103174【典型例题】【例1】(江苏南京)解：函数y x -(x0)的图象如图:x本题答案不唯一，下列解法供参考.当0 x 1时，y随x增大而减小;当x 1时，y随x增大而增大；当x 1时，函数y的最小值为2。1t y x = xS幕2 2当.x1时，函数yx 1(x0)的最小值为2。xy 2(x a) = 2 ( x)2x2 ( t)22（x a）（x0）的最小值为4 a。x当该矩形的长为.a时，它的周长最小，最小值为4 a。可得 PiRi:P2R2= Q2R2: QiRi= 1：

11、 2，且 PiRi/ P2R2, Q2R2/ Q1R1。./ P1R1A = Z P2R2A，/ Q1R1A =Z Q2R2A。./ P1R1Q1 = Z P2R2 Q2。由结论（2）,可知S p&q sp2r2q2【例2】（湖南岳阳）解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5, 6.25）,设抛物线的解析式为y a2x 56.25。图象过（10, 0）点，10 a20 56.25，解得 a 0.25。抛物线的解析式为 y0.25 x256.25。(2) 当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，x =2把 x=2 代入解析式得：y= - 0.25 (2 - 5) 2+6.25

12、, y =4。/ 4 - 3.5=0.5 ,隧道能让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶。(3) I .假设 AO= x，可得 AB=10 - 2x , AD= - 0.25 ( x - 5) 2+6.25。矩形ABCD的周长为丨为：l =2 - 0.25 ( x - 5) 2+6.25+2 (10-2 x ) = - 0.5 x 2+ x+20= - 0.5 ( x 1) 2+20.5。 l的最大值为20.5。II?当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形, / P在y=x的图象上，设 P （ m , m ）。过P点作x轴的垂线交抛物线于点 Q. / POA= / OPA=4

13、5 , N 点的坐标为（5, 5）二Q点的坐标为(m , 5)。2把Q点的坐标代入 y 0.25 x 56.25，得50.25 m 5 2 6.25，解得 m 5. 5。使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为:(5, 5， 5, 5 )或(55， 55 )。【例3】(湖南株洲)解：(1)设线段AB与y轴的交点为C,由抛物线的对称性可得C为AB中点，Q OA=OB= 2 2 , / AOB=90, AC=OC=BC=2。B(2, 2)。1将B(2 , 2)代入抛物线y ax2(a 0)得，a -。2(2)过点A作AE x轴于点E,11Q点B的横坐标为1, B (1 ,)。BF

14、=-。22又 Q / AOB=90 0，易知/ AOE= / OBF。又 AEOOFB90 ,/ AEO= / OFB=900,AEOF1 AEOOFB ,2。OEBF12AE=2OE。设点A ( m1 2,-m)(m0),1 2贝U OE m, AEm2 ,1 m2 2m。222m 4，即点A的横坐标为一4。1n2) ( n 0 ),2、“ 1 2(3)设 A ( m ,m ) ( m 0), B ( n ,2设直线AB的解析式为：y kx b ,mk b1 2 m2(1)则-nk b2 n2mn2)-m n(m2n), n (2) m 得，(m n)b-(m2n2b-mn。2又易知 AEO

15、 sOFB,AEOFOE BF，20.5mm0.5n2， mn 4。由此可知不论k为何值，线段AB恒过点0,2)。【学力训练】1、(福建漳州)解：(1) OB= 3, OC = &(2)连接AD，交OC于点E,四边形OACD是菱形,1 AD 丄 OC , OE = EC =才 X8 = 4。BE = 4 3 = 1 o又/ BAC = 90 ACE BAE。i1/0 0 BE = CE。二 AE2= BE CE = 1 4= 4o AE = 2。.点A的坐标为(4,2)。把点A的坐标(4,2)代入抛物线24m，得 m =-扌。i17y= mx2 11mx +抛物线的解析式为11y= x2+ 斗

16、-12o(3)：直线x= n与抛物线交于点 M,1 11点M的坐标为(n,卫2+12)。由(2)知，点D的坐标为(4， 2),1则由C、D两点的坐标求直线 CD的解析式为y= 2x 4。1点 N的坐标为(n,尹4)。1 11 1 1 MN =( 2n2+ 亍12) ( 2n 4)= 2门2 + 5n 8。1 1 1 S 四边形 amcn = Saamn + Scmn = qMN，CE= 2 ( 2门2+ 5n 8) X4当n= 5时，S四边形amcn = 9o2、（江苏扬州）解：（1 ） PBM QNM。理由如下:如图1,/ MQ 丄 MP , MN 丄 BC ,PMBPMN90QMNPMN

17、90 oPMBQMN oPBM C 90 QNM90PBMQNM o(2)BAC90ABC60 BC又MN垂直平分BC, BMCM 4 3 cmC30 MN3 CM=4 cm。3设Q点的运动速L度为v cm/s. PBM QNM当0 t 4时，如图1,由（1）2AB知厶 PBM QNM ,.NQBPMNMB即 Vt4 o.3t.3当t 4时，如图2,同样可证厶PBM QNM，得到综上所述，Q点运动速度为1 cm/s. AB = 43 cm, BC 8 3cm，由勾股定理可得,AC = 12 cm o AN = AC NC = 12-8= 4 cm当 0 t 4 时,1- S -AP2AQ当t

18、4时,如图 S 】AP2AQ2AP = . 3t 4 3, AQ = 4 t ,如图 1 , AP = 4 3. 3t , AQ = 42,4 3 3t 4 t3t 4 3 4 t 2 2C228.30 t 4(3) PQ2 BP2 CQ2 。理由如下:S3综上所述，S83 t 4如图3，延长 QM至D，使MD = MQ，连结 BD、PD。/ MQ 丄 MP , MD = MQPQ= PD。又 MD = MQ，/ BMD =Z CMQ , BM = CMBDM CQM ( SAS )。 BD = CQ，/ MBD =Z C。： BD / AC。又 BAC 90 PBA 90在 RtAPBD 中，PD2 BP2 BD2，即 PQ2 BP2 CQ2。3、(湖南永州)解：(1) EAF、 EAF、GF。(2) DE + BF=EF。证明如下：假设/ BAD的度数为m，将 ADE绕点A顺时针旋转m0得到