知识梳理不等式的解法(高三文科)

1、不等式的解法【考纲要求】1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图，3.掌握一次不等式、分式不等式、高次、指对不等式等的解法，4.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。【知识网络】一元二次不等式解法不等式的解法一次、分式、高次、指对等不等式函数不等式解法【考点梳理】要点一、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2+bx+c0(或0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c0)的两根为x、x且xx，d=b2-4ac，则不等式1212的解的各种情况

2、如下表：d0d=0d0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0b)(a0的根x1,x2(x10(a0)的解集xxx12bxx-2arax2+bx+c0)的解集xx1x0)（2）计算判别式d，分析不等式的解的情况：d0时，求根xx（注意灵活运用因式分解和配方法）；12d=0时，求根x=x=-12b2a；d0（其中x1,x2,xn是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(nn).要点诠释：作出相应函数的图象草图.具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）.然后根据图象草图，写出满足不等式的解集.要

3、点三、无理不等式的解法无理不等式:如果函数f(x)是关于x的无理式，那么f(x)0或f(x)g(x)(1)f(x)0g(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)0(2)f(x)g(x)g(x)0或g(x)g2(x)g(x)0f(x)0或f(x)g2(x)g(x)0f(x)g(x)g(x)0(3)f(x)0f(x)g2(x)f(x)ag(x)(a0,a1).当0a1时，f(x)1时，f(x)g(x).(2)m(ax)2+n(ax)+k0.令ax=t(t0)，转化为mt2+nt+k0，先求t的取值范围，再确定x的集合.(3)logaf(x)logag(x)(a0,a1).

4、f(x)0f(x)0当0a0f(x)1时，g(x)0f(x)g(x)f(x)0g(x)0f(x)g(x)(4)m(logf(x)2+nlogf(x)+k0.aa令logaf(x)=t(tr)，转化为mt2+nt+k0，先求t的取值范围，再确定x的集合.【典型例题】类型一：一元二次不等式例1.不等式x2+mx-n0的解集。【解析】由题意可知方程x2+mx-n=0的两根为x=4和x=5由韦达定理有4+5=-m，45=-nm=-9，n=-20nx2+mx-10化为-20x2-9x-10，即20x2+9x+1011(4x+1)(5x+1)0，解得-x0的解集为(-,-).45.【总结升华】二次方程的根

5、是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：11【变式1】已知ax2+2x+c0的解为-x0.11211c【解析】由韦达定理有：-+=-，-=，a=-12,c=2.32a32a代入不等式-cx2+2x-a0得-2x2+2x+120，即x2-x-60，(x-3)(x+2)0，解得-2x3，综上，m的取值范围为：m-,-.m1或m-5即，解得m-，m0即，解得-m0的解集为：(-2,3).【变式2】已知关于x的不等式x2+ax+b0的解集.-a=1+2a=-3【解

6、析】由韦达定理有：，解得,代入不等式bx2+ax+10得b=12b=212x2-3x+10，即(2x-1)(x-1)0，解得x1.21bx2+ax+10的解集为：(-,)(1,+).2例2已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。【解析】(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1，则不等式化为30,对一切实数x成立，符合题意。若m=-5，则不等式为24x+30，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。(2)当m2+4m-50即m1且m-5时，由此一元二次不等式的解集为r知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)

7、x+3开口向上，且与x轴无交点，m2+4m-50所以，d=16(m-1)2-12(m2+4m-5)01m19，1m19。综上所述，实数m的取值范围是m|1m19。【总结升华】情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。举一反三：【变式1】若关于x的不等式mx2-(2m+1)x+m-10的解为一切实数，求m的取值范围.【解析】当m=0时，原不等式为：-x-10，即x-1，不符合题意，舍去.当m0时，原不等式为一元二次不等式，只需m0时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意当m0;(2)(x2-5x-6)(1-x)0.【解析】(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(

8、x-1)(x+1)的图象的草图（图1）.所以不等式的解集为(-,-2)(-1,1)(2,+).(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)0.【解析】此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于-1时（不含-1），y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时（不含1），y值符号发生了变化，如图3，(x+2)(x-1)(x-3)0x2故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+).x-1【总结升华】本题可以先对不等式化简再解。原不等式等价于类型三：无理不等式例4解不等式2x-1x-2.12x-10解法一：x-20即x2，所以x

9、5.2x-1(x-2)2x1或x5所以原不等式的解集为5，+）.t2+1解法二：设2x-1=t(t0).则x=.2t2+1所以原不等式化为t-2,2所以t2-2t-30,即t-1或t3.因为t0,所以t3,所以x5.解法3：令y1=2x-1,y2=x-2,从而原不等式的解集就是使函数y1y2的x的取值范围.在同一坐标系中分别作出两个函数的图象（图4）.设它们交点的横坐标是x0,则2x0-1=x0-20.解之，得x0=5或x0=1（舍）.所以原不等式解集为5，+）.【总结升华】解法1是通法，要求必须熟练掌握，解法2是换元法，由于不等式两边次数恰是倍数关系，故换元后变为二次不等式，但最终还要解x的

10、方程.解法3是数形结合法，用图象解题，一般比较简捷、形象、直观，但要注意作图的正确和表达的清晰和完整.举一反三：【变式】解不等式(x-1)x+20【解析】(x-1)x+20(x-1)x+20或(x-1)x+2=0x-10x-1=0或或x+2=0x1或x=1或x=-2.x+20x+20所以原不等式的解集是1,+)-2.类型四：指对不等式,均有9x0且a1)则实数a的取值范围是(例5.(2015洛阳一模)若x0,12)a.23,1b.0,23c.23,3d.1,23-1-111【答案】a【解析】a(0,1)(1,+)当0x12时,函数y=9x的图像如下图所示:对任意的0x12,总有9xlogx恒成

11、立a1y=logx的图象与y=9x的图象交于点,3时,此时a=2-32若不等式9xlogx恒成立,则y=logx的图像恒在y=9x的图象的上方aa1a故所求的y=logx的图象对应的底数a应满足2a举一反三：-13a1故选a.【变式】(2015北京高考)如图,函数f(x)的图象为折线acb,则不等式f(x)log()2(x+1)的解集是a.x|-1x0b.x|-1x1c.x|-1x1d.x|-1x2【答案】c【解析】由已知f(x)的图象,在此坐标系内做出y=log2(x+1)的图象,如图满足不等式f(x)log2(x+1)的x范围是-1x1所以不等式f(x)log(x+1)的解集是2x|-1log4(2x-1)【解析】原不等式可化为：log4(x+1)2log4(2x-1)+log4(x-1)log(x+1)2log(2x-1)(x-1)44x+10x-