第34炼向量的模长问题几何法

1、第 34 炼 向量的模长问题几何法一、基础知识：1、向量和差的几何意义：已知向量a,b ，则有：（1）若 a, b 共起点，则利用平行四边形法则求ab ，可得 ab 是以 a, b 为邻边的平行四边形的对角线（2）若 a, b 首尾相接，则利用三角形法则求出ab ，可得 ab ， a,b 围成一个三角形2、向量数乘的几何意义：对于a（1）共线（平行）特点：a 与 a 为共线向量， 其中0 时，a 与 a 同向；0 时，a与 a 反向（2）模长关系：aa3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设ABC 三个内角 A, B, C 所对的边为 a,b,c正弦定理：abcsin Asi

2、n Bsin C余弦定理： a2b2c22bc cos A（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60 的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。（3）矩形：若四边形ABCD 的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长二、典型例题：例 1：（ 2015 届北京市重点中学高三8月开学测试数学试卷）已知向量a, b 的夹角为 45 ，且 a1, 2ab10 ，则 b（）A.2B.2C.2 2D.3 2思路：本题利

3、用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知AB 2,B, AC10 ，只需利用余弦定理求出BC即可。4解：如图可得： bBC ，在2AB22ABC 中，有： ACBC2 AB BC cosB即： 10422 2BCcosBC423 2 或BC 2 2BC 6 0解得 BCBC2 （舍）所以 b32 ，答案：选 D例 2：若平面向量a,b,c 两两所成的角相等， 且 ab1, c3 ，则 abc 等于（）A. 2B.5C.2或5D.2 或 5思路：首先由 a,b, c 两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是a, b, c 同向（如图1，此时夹角均为0），则 ab c 为 5，另一种情

4、况为两两夹角2（如图 2），以 a b13为突破口，由平行四边形法则作图得到ab 与 a, b 夹角相等， ab a 1（底角为 60的菱形性质），且与 c 反向，进而由图得到a b c2，选 C答案： C例 3：已知向量 a,b ，且 a1, b2 ，则2b a 的取值范围是（）A.1,3B.2,4C.3,5D.4,6思路：先作出a ，即有向线段AB ，考虑 2ba ，将 2b 的起点与 A 重合，终点 C 绕 A 旋转且 AC 2 b4 ，则 2ba 即为 BC 的长度，通过观察可得 C 与 A, B 共线时 2b a 达到最值。所以2b a5,2b a3，且 2ba 连续变化，所以2b

5、a 的取值范maxmin围是 3,5答案： C例 4：设 a, b 是两个非零向量，且abab2 ，则 ab_思路：可知 a,b,ab 为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由abab2 可知满足条件的只能是底角为60 ，边长 a2 的菱形， 从而可求出另一条对角线的长度为3a23答案：23例 5：已知 a, b为平面向量， 若 ab 与 a 的夹角为，ab 与 b 的夹角为，则a（）34bA.3B.6C.5D.63433思路：可知 ab,a,b 为平行四边形的一组邻边及对角线，通过作图和平行四边形性质得：在ABD中 ，ABa , ADb , ABD,ADB，由正弦定理34ABsin ADBsi

6、n6a6可得：4，即ADsin ABDsin33b3答案： D例 6：已知 a,b 是单位向量，且a, b 的夹角为3，若向量 c 满足 | c a2b | 2，则 | c | 的最大值为（）A. 23B.23C.72D.72思 路 ： 本 题 已 知 a,b 模 长 且 夹 角 特 殊 ， 通 过 作 图 可 得 2ba 为 模 长 为3 ， 设mc2b a ，则可得 m2 且 cm2ba ，而 m 可视为以 2ba 共起点， 终点在以起点为圆心，2 为半径的圆上。通过数形结合可得c 的最大值为 23 （此时 m 的终点位于 A 点）答案： A例7：在ABC 中， B6, AB3 3,BC6

7、，设 D是 AB的中点， O是 ABC所在平面内的一点， 且 3OA2OB OC 0，则 DO 的值是（）A.1B.1C.3D.22思路：本题的关键在于确定O 点的位置， 从而将 DO 与已知线段找到联系，将3OA2OBOC0 考虑变形为3OA2OBOC3OA OBOBOCCB ，即 OA OB1CB ，设3OEOA OB ，则 O, D, E 三点共线，且 OEBC ，所以由平行四边形性质可得：OD1 OE1 CB126答案： B例 8：已知向量 ae, e1，对任意的 t R ，恒有 atea e ，则 e a e 的值为_思路：本题以atea e 作为突破口，通过作图设ABa, ACe

8、， D 为直线 l 上一点，则有 ADte 。从而可得 a eBC , ateBD ，即 BDBC ，所以 C 点为直线 l 上到 B 距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为B 到 l 的垂线段。所以BCl ，即 ea e，所以有 ea e0答案： 0小炼有话说：本题若用图形解决，找到ate,ae 在图上的位置和两个向量的联系是关键例 9：已知平面向量a,b,c 满足 a1, b2 ，且 a b1，若向量 ac,bc 的夹角为60 ，则 c 的最大值是 _C思 路 ： 由 a, b条 件 可 得 a,b夹 角的余弦值Dcosa b1120 ，若用代数方法处理夹角60a b2的条件，则运

9、算量较大。所以考虑利用图形，设ABABa, ADb, ACc，则CDb ,c C B，a即c DCB60， 从 而DCB180，可判定 A, B,C , D 四点共圆， 则 AC 的最大值为四边形ABCD 外接圆的直径，即ABD的直径。在ABD中，由余弦定理可得：BD2227，所以 BD7 ，由正弦定理可得：ABAD2 AD AB cosd2RBD22 12 21，即 cmaxsi nBAD33221答案：小炼有话说： 若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找几何图形进行求解。例 10：（ 2010 年，浙江， 16）已知平面向量,0,满足=1 ，且与的夹角为 12

10、0 ，则的取值范围是 _思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到,构成BCD，C60，从而可利用正余弦定理求出即 CD的取值范围解 ： 在BCD中 ，由正 弦定理可得：BDCDsinCsin DBCsin Csin DBCsin DBC1sin DBC2 sin DBCsin C332而 DBC0, 2sin DBC 0,12 sin DBC0,2 3333答案：的取值范围是0, 233小炼有话说 ：例题中的部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。具体解法如下：例 1：解： 2ab224ab24 b cos a, b24ab 4b 1026

11、0，解得 b32b 2 2 b例 2：解： ab22222a b2bc2accabca, b, c 夹角相同当 a, b, c 同向时，可得ab c225 ，所以 abc5当 a, b, c 两两夹角22 时，可得 a b1 , b c3 ,a c33222a b c4 ，所以abc2综上所述： abc2 或 5例 3：解： 2ba224ab2174 a b cos a,b17 8cos a, b4ba因为 cos a,b1,12ba29 ,2 5即 2ba3,5例 4：解： abab2 可得 a2a22b4bb2a代入 a b2 得 a b2222a ba b 2a b 12ab2 3例 8：解：以 B 为原点， BC 为 x 轴建立直角坐标系。 所以 C933x, y ,OC 6 x,则 OAx,y ,OB22396x0x131333得：24，所以 O9334,40