知识讲解_二元一次不等式(组)与平面区域_基础

1、二元一次不等式（组）与平面区域编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1. 了解不等式有丰富的实际背景 ,是刻画区域的重要工具 .2. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.3. 理解并能画出二元一次不等式表示的平面区域.【要点梳理】要点一：二元一次不等式（组）的定义1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1 的不等式叫做二元一次不等式2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对( x, y) ，所有这样的有序实数对( x, y) 构成的集合称为二元一次不等式（

2、组）的解集.要点诠释： 注意不等式（组）未知数的最高次数.要点二：二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.二元一次不等式所表示的平面区域：在平面直角坐标系中，直线l : AxByC0 将平面分成两部分，平面内的点分为三类：直线 l 上的点（ x， y）的坐标满足： Ax ByC0；直线 l 一侧的平面区域内的点（x， y）的坐标满足：Ax By C 0 ；直线 l

3、 另一侧的平面区域内的点（x y）的坐标满足：Ax By C 0 .，即二元一次不等式 Ax By C0 或 Ax ByC0在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0 的某一侧所有点组成的平面区域，直线AxBy C 0 叫做这两个区域的边界， （虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.要点三：二元一次不等式表示哪个平面区域的确定二元一次不等式表示的平面区域由于对在直线 Ax By C 0 同一侧的所有点(x, y) ，把它的坐标 ( x, y) 代入 AxBy C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点( x0 , y0 ) ，从 Ax0 By0C 的正

4、负即可判断AxByC0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0 时，常把 原点 作为此特殊点）以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法 .不等式组所表示的平面区域由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.1. 判断二元一次不等式 Ax+By+c0( 或 0( 或 0) 表示直线的哪一侧 .2. 画二元一次不等式 Ax By C 0( 0) 或 Ax By C 0( 0) 表示的平面区域的基本步骤：画出直线l : AxByC0 （有等号画实线，无等号画虚线）；当 C0 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当C0 时，另取一特殊点判断；确

5、定要画不等式所表示的平面区域.要点诠释：“ 直线定界，特殊点定域”二元一次不等式（组）表示平面区域的重要方法.【典型例题】类型一：二元一次不等式表示的平面区域例 1.画出不等式2xy40 表示的平面区域.【解析】先画直线2xy40 （画成虚线） .取原点 (0,0) 代入 2xy 4 得 2 0 0 4 4 0 ,原点不在2xy40 表示的平面区域内，不等式 2xy40 表示的区域如图：【总结升华】1. 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界， 特殊点定域 ”的方法 .特殊地， 当 C0 时，常把原点作为此特殊点.2. 虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线举一反三：【变

6、式 1】画出下列不等式所表示的平面区域（ 1） 4x3y12 ；（ 2） x1【答案】（ 1）【变式 2】( 2015漳州模拟（ 2）) 图中阴影（包括直线）表示的区域满足的不等式是（）A x- y- 1 0Bx- y+1 0C x- y- 10D x- y+1 0【答案】直线对应的方程为x- y- 1 0，对应的区域，在直线的下方，当 x0， y 0 时， 0- 0- 1 0，即原点在不等式 x- y- 10 对应的区域内，则阴影 ( 包括直线 ) 表示的区域满足的不等式是x- y- 10，故选： A【变式 3】（ 2016马鞍山）不等式3x+2y 6 0 表示的区域是（）【答案】可判原点适

7、合不等式3x+2y 6 0，故不等式3x+2y 6 0 所表示的平面区域为直线3x+2y 6=0的左下方，故选 D。类型二：二元一次不等组表示的平面区域xy50例 2. 用平面区域表示不等式组xy0x3【思路点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。【解析】不等式x y+50表示直线 x y+5 0 上及右下方的点的集合，x +y 0表示直线 x+y 0 上及右上方的点的集合，x3表示直线x 3 上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域：【总结升华】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因

8、而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 .举一反三：y3x12【变式 1】用平面区域表示不等式组2 y.x【解析】不等式 y3x 12 表示直线 y3x12 右下方的区域，x 2 y 表示直线 x 2y 右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集.【变式 2】画出下列不等式组表示的平面区域.x3xy22 yxx2 y 3（ 1）2 y6； （2）x；3x02 yx6y0【答案】（1）（2）例 3. 画出下列不等式表示的平面区域(1)( xy)( xy1)0 ； (2)xy2x【思路点拨】将原不等式等价转化为不等式组，然后画图.【解析】(1) 原不等式等价转化为xy

9、0xy0xy或xy（无解），1 01xy0内，如图：故点 ( x, y)在区域y10xy0y0(2) 原不等式等价为xy0 或xy0 ，如图2xy02xy0【总结升华】把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解举一反三：【变式 1】用平面区域表示不等式( xy1)( xy4） 0【答案】【变式 2】用平面区域表示不等式（ 1） yx1 ；（ 2） xy ； （ 3） xy【答案】（1）（2）（3）类型三：求平面区域的面积【高清课堂： 二元一次不等式（组）与平面区域392663 例题 1】xy60例 4 求不等式组 xy0表示的平面区域的面积 .x3【解析】【法1】（特殊三角形）显然ABC

10、为等腰直角三角形，A 90 ，ABAC ，易得 B 点坐标为 (3,3)，C 点坐标为 (3,9)，则 |BC | 12 SABC1 12636 .2【法2】（面积公式）易得 A点坐标为 (-3,3) ， B 点坐标为 (3,3) ， C 点坐标为 (3,9)，则|AC|(3 3)2(93)2 62| 3(3) 6|由点到直线的距离公式得高hAC6 22 SABC162 36.6 22【法 3】（向量法）易得 A点坐标为 (-3,3)， B 点坐标为 (3,3)， C 点坐标为 (3,9)，则 AC(6,6)， AB(6,6) S1(6)66 36.ABC62xy60故不等式组 xy0表示的平

11、面区域的面积等于36.x3【总结升华】这一类问题的关键是正确画出所求平面区域，其实质是二元一次不等式组表示的平面区域的应用，注意图形的分解转化举一反三：xy30【变式】画出不等式组xy0表示的平面区域并求其面积 .x3【答案】如图，面积为81 ；4xy10例 5（ 2015吉安一模）在平面直角坐标系中，若不等式组x10，（ a 为常数）所表示的平面区axy10域的面积等于5，则 a 的值为 ()A-11B3C 9D9 或- 11【答案】 C【思路点拨】aa 作出不等式组对应的平面区域，利用对应图形的面积即可得到 a 的值【解析】作出不等式组对应的平面区域，若不等式组构成平面区域则a 0，此时对

12、应的区域为ABC ，则 A ( 1， 0) ， B ( 0， 1) ， C( 1， 1+a) ， AC 1+a，则 ABC 的面积 S1(1a)15 ，解得 a 9，2故选： C【总结升华】本题主要考查线二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键举一反三：【变式】 （ 2015岳阳二模）已知x、 y R，不等式组k 的值为 ()A 1B2C 3D4【答案】作出不等式组对应的平面区域：则k 0x2 y0xy0 所表示的平面区域的面积为6，则实数0ykx2 y0x2k由k，解得y，即 A (- 2k， k) ，ykxy0xk由k，解得y，即 B( k， k)yk平面区域的面积是9，

13、1 (3k)k 6 ，2即 k 24解得 k 2，解得 k 2 或 k - 2（舍），故选： B类型四：实际应用问题【高清课堂：二元一次不等式（组）与平面区域392663例题 4】例 6. 某人准备投资 1 200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位 )( 注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以20 30 个班为宜，老师实行聘任制 ).学班级学配备教硬件建教师段生数师数设年薪初45226 万元2 万元中/班/人高40354 万元2 万元中/班/人【思路点拨】本题中条件较多，应分门列类列出约束条件后，再运用图解法进行求解。分别用数学关系式和图形表示上述限制条件【解析】设开设初中班x 个，高中班 y 个根据题意，总共招生班数应限制在20 30 之间，所以有20x y 30.考虑到所投资金的限制，得到26x 54y 22x 23y1 200，即 x 2y40.另外，开设的班数不能为负且为整数，即xN ， yN .把上面四个不等式合在一起，得到：20xy30,x2y40,x N , y N.用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域(阴影部分