直线与圆锥曲线.板块三.直线与抛物线.学生版

1、板块三 .直线与抛物线1椭圆的定义：平面内与两个定点F1 ，F2 的距离之和等于常数（大于| F1 F2 |）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距2椭圆的标准方程： x2y2，焦点是 F1 ( c ，0) ， F2 (c ，0) ，且 c2a 2b 2 221(ab0)a2b2 yx，焦点是 F1 (0 ， c) ， F2 (0 ，c) ，且 c2a2b2 221(ab0)ab3椭圆的几何性质（用标准方程x2y21(a b 0) 研究）：a2b2范围：a x a ， b y b；对称性：以 x 轴、 y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中

2、心又叫做椭圆的中心；椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的A1 ，A2 ，B1 ，B2 ；长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的 A1 A2 ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段B1B2 椭圆的离心率：ec ，焦距与长轴长之比， 0 e 1 ， e越趋近于 1，椭a圆越扁；反之， e越趋近于 0 ，椭圆越趋近于圆yB2y=bx=-ax=aM1cOF 2 A2xA F 1abB1y=-b4直线 l ： AxByC0 与圆锥曲线 C ： f ( x ，y)0 的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行

3、于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位1置关系的判定条件可归纳为：设直线 l ： AxBy C0 ，圆锥曲线 C ： f ( x ，y)AxByC 00 ，由，f ( x0y)消去 y （或消去 x ）得： ax2bx c 0若 a 0 ，b24ac ，0相交；0相离；0相切若 a 0 ，得到一个一次方程： C 为双曲线，则 l 与双曲线的渐近线平行； C 为抛物线，则 l 与抛物线的对称轴平行因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件5连结圆锥曲线上两个点的线段称

4、为圆锥曲线的弦求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦别为11( x，则弦长(x， ，y ) ，y )12| AB |21 kx 1 1y12x2k两根差公式：如果 x1 ，x2 满足一元二次方程：ax2bx c0 ，2c24ac则 x1x2( x1x2 )2bb4x1 x2a4aaAB 两端点坐标分公式为y（ 0 ）a6直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有： 从方程的观点出发， 利用根与系数的关系来进行讨论， 这是用代数方法来解决几何问题的基础要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同

5、时注意在适当时利用图形的平面几何性质 以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题典例分析【例 1】 已知抛物线21y ，过点 A(0 ,1)和点 B( t , 3)的直线与抛物线 CC 的方程为 x2没有公共点，则实数 t 的取值范围是（）A (,1) (1,)B,22 ,22C (,2 2)(2 2,)D (,2)( 2 ,)【例 2】 点 P 在直线 l : y x 1上，若存在过 P 的直线交抛物线 yx2 于 A ， B 两点，且PA AB ，则称点 P 为 “A 点 ”，那么下列结论中正确的是（）A 直线 l 上的所有点都是 “A 点 ”B直线 l 上仅有有限个

6、点是 “A 点 ”2C直线l上的所有点都不是 “ 点 ”AD直线 l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“A 点”2p 2【例 3】 如图抛物线 C1 ： y22 px 和圆 C2 ： xpy2，其中 p 0 ，直线 l 经过24C1的焦点，依次交C1， C2 于 A,B,C,D 四点，则 AB CD 的值为（）A p2B p2C p2D p 2432yDCOxBA【例 4】 斜率为 2的直线与圆锥曲线交于A(x1 ，y1 ) ，B(x2 ，y2 ) 两点，若弦长 AB2 5 ，则 y1 y2_【例 5】 抛物线 y x2mx1 与直线 xy 0 有两个不同的交点，则实数m 的范围是_【例 6

7、】 若直线 y kx2 与抛物线 y28x 交于 A 、 B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标是 2，则 AB_【例 7】 已知抛物线24x 的一条弦 AB ， A x1 ，y1， B x2 ，y2， AB 所在的直线与 yy轴交于点0 ，2，则 11y1y2【例 8】 过点 (2 ，4) 作直线与抛物线y28x 只有一个公共点，这样的直线有_条3【例 9】 对于抛物线 C ： y24x ，我们称满足 y024 x0 的点 M (x0 ，y0 ) 在抛物线的内部，若点 M (x0 ，y0 ) 在抛物线的内部， 则直线 l ： y0 y2( x x0 ) 与抛物线 C 的位置关系是 _【例 1

8、0】 设抛物线 y28x 的准线与 x轴交于点 Q ，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_【例 11】 若曲线 y2| x| 1 与直线 ykx b 没有公共点，则k 、 b 分别应满足的条件是【例 12】 过抛物线 y22 px( p 0) 的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B 两点，若线段AB 的长为 8 ，则 p_22 py （ p 为常数， p 0 ）上不同两点 A 、 B 的横坐标恰好是关【例 13】 已知抛物线 x于 x 的 方程 x26 x 4 q 0（ q 为常数）的 两个根，则 直线 AB 的 方程为_【例 14】 抛物线 y2

9、12x 截直线 y2 x 1 所得弦长A1 A2 的中点坐标为_，弦长A1 A2 为_【例15】已知抛物线2， 过 定 点 M ( p ， 0 )作 一 弦 PQ， 则y 2 p (x p 0 )11_22MPMQ2【例 16】 已知抛物线 y2 px( p0) 过点 A (1， 4) ， 求抛物线的焦点坐标与准线方程； 直线 m ：yx2 与抛物线交于两点M ，N ，求线段 MN 的中点坐标及MN 的值2被直线 y 2 x k 截得的弦长为 3 5 ，求 k 值【例 17】 设抛物线 y 4x 以 中的弦为底边，以x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求 P 点坐标4【例

10、18】 已知点 Q 到定点 ( p , 0) （ p0 ）与它到定直线xp 的距离相等， 求动点 Q 的轨迹方程； 设过点 A( 3 p ，0) 的直线与 Q 的轨迹交于E 、 F 两点，设 A (3 p ，0) ，当直线A E 与 A F 的斜率都存在时，求证直线A E 、 A F 的斜率之和为0 【例 19】 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线 x2的焦点 F 作直线与抛物线2 py( p 0)相交于 A ，B 两点若点 N 是点 F 关于坐标原点 O 的对称点，求 ANB 面积的最小值【例 20】 过抛物线 y22 px( p 0) 的对称轴上的定点M (m ，0)(m 0) 作直线

11、AB 与抛物线相交于 A 、 B 两点，若点 N 为定直线 l ： xm 上的任意一点，试证明：三条直线 AN 、 MN 、 BN 的斜率成等差数列【例 21】 已知抛物线 y2过动点 M ( a ，0) 且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交2 px( p 0)于不同的两点A、 B若AB 2 p ，求 a 的取值范围【例 22】 已知曲线 C 为顶点在原点， 以 x 轴为对称轴， 开口向右的抛物线，又点 M (2 ，1)到抛物线 C 的准线的距离为9 ，4求抛物线 C 的方程；证明：过点 M 的任意一条直线 l i 与抛物线恒有公共点；若 中的直线li(i 1 23 4)， ， ， 分别与抛

12、物线 C 交于上下两点 B1 ， A1 ， B2 ，A2 ，B3 ， A3 ， B4， A4 ，又点 A1， A2， A3 ， A4 的纵坐标依次成公差不为0 的等差数列，试分析 A1MA4M 与 A2MA3 M 的大小关系MB1MB4MB2MB3【例 23】 已知抛物线222，过点 P (a ，0) 作直线 l 交抛物线于Ay x和圆(x 7)y 5、 ，B交圆于 C ，D （自下而上依次为B ，D ，C ，A ），且 ACBD ，求实数 a 的取值范围【例 24】已知一条曲线C 在 y 轴右边， C 上每一点到点F (1，0) 的距离减去它到y 轴距离的差是 1 求曲线 C 的方程；5 是

13、否存在正数 m ，对于过点 M ( m，0) 且与曲线 C 有两个交点 A ，B 的任一直线，都有 FA FB 0 ?若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由【例 25】 已知 H ( 3，0) ，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点M 在直线 PQ 上，且满足 HP PM 0 ，PM3MQ ，2 当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C ； 过点 T ( 1，0) 作直线 l 与轨迹 C 交于 A 、 B 两点，若在x 轴上存在一点E(x0 ，0) ，使得 ABE 是等边三角形，求 x0 的值22【例 26】 已知 F1 , F2 分别是椭圆xy1 的左

14、、右焦点，曲线C 是以坐标原点为顶点，4 3以 F2 为焦点的抛物线， 自点 F1 引直线交曲线 C 于 P 、 Q 两个不同的交点， 点 P关于 x 轴的对称点记为M 设 F PFQ 11 求曲线 C 的方程；证明： F2MF2Q ； 若2 ，3，求 | PQ |的取值范围【例 27】 已知抛物线 y2，点 M (1, 0) 关于 y 轴的对称点为N ，直线 l 过点 M 交抛物4x线于 A, B 两点证明：直线NA , NB 的斜率互为相反数；求ANB 面积的最小值；当点 M 的坐标为 (m, 0)( m0 ，且 m1) 根据推测并回答下列问题（不必说明理由）：直线 NA, NB 的斜率是

15、否互为相反数？ ANB 面积的最小值是多少？【例 28】 过抛物线 y22 px( p 0)的对称轴上一点A a ，0 a0 的直线与抛物线相交于 M 、 N 两点，自 M 、 N 向直线 l : xa 作垂线，垂足分别为 M 1 、 N1 当 ap 时，求证： AM1 AN1 ；2记 AMM 1 、 AM 1N1 、 ANN1 的面积分别为 S1 、 S2、 S3 ，是否存在，使得对任意的 a0 ，都有 S22S1S3 成立若存在，求出的值；若不存在，说明理由6【例 29】 已知曲线 C 是到点 P1，3和到直线 y5 距离相等的点的轨迹l 是过点的直线， M 是288Q 1，0C上（不在l

16、上）的动点； A 、B 在l上，MA l MB x轴（如图） 求曲线 C 的方程；2 求出直线 l 的方程，使得QB为常数QAyMlABQOx【例 30】 已知抛物线 C ： y24x ，点 M (m ，0) 在 x 轴的正半轴上，过 M 的直线 l 与 C 相交 A 、 B 两点， O 为坐标原点 若 m 1 ， l 的斜率为 1，求以 AB 为直径的圆的方程； 若存在直线 l 使得 | AM | ， | OM | ， | MB |成等比数列，求实数m 的取值范围【例 31】 已知抛物线 Cy24x 的焦点为 F ，过点 K ( 1，0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、B 两点，点 A

17、关于 x 轴的对称点为D 证明：点F 在直线 BD 上；设 FAFB8 ，求 BDK 的内切圆 M 的方程 9【例 32】y22 x 及定点A(1，1)，B (1， 0)已知抛物线， M 是抛物线上的点，设直线AM ，BM 与抛物线的另一交点分别为M1，M2 求证：当点 M 在抛物线上变动时（只要M 1，M 2 存在且 M1 与 M 2 是不同两点），直线 M 1M 2 恒过一定点，并求出定点的坐标【例 33】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线 y24x 相交于不同的 A ，B 两点 如果直线 l 过抛物线的焦点，求OA OB 的值；如果 OA OB4 证明直线 l 必过一定点，并求出该定点7【例 34】 在平面直角坐标系 xoy 中，设点 F (1，0) ，直线 l : x1 ，点 P 在直线 l 上移动，R 是线段 PF 与