向量知识点题型归纳

1、24（4）已知dabc中，点d在bc边上，且cd=2db，cd=rab+sac，则r+s的值是专题-平面向量1.向向量的相关概念、2.向量的线性运算c.e=(3,5),e=(6,10)d.e=(2,-3),e=(1,-3)（答：b）；1212（3）已知ad,be分别是dabc的边bc,ac上的中线,且ad=a,be=b,则bc可用向量a,b表示为_24（答：a+b）；33（答：0）四实数与向量的积：实数l与向量a的积是一个向量，记作la，它的长度和方向规定如下：(1)la=la,(2)当l0时，la的方向与a的方向相同，当l0时，la的方向与a的方向相反，当l0时，la=0，注意：la0。五平

2、面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作oa=a,ob=b，aob=q2时，a，(0qp)称为向量a，b的夹角，当q0时，a，b同向，当qp时，a，b反向，当qp（1abc中，|ab|=3，|ac|=4，|bc|=5，则abbc=_（答：9）；（2）已知a=(1,),b=(0,-),c=a+kb,d=a-b，c与d的夹角为p已知|a|=3，|b|=5，且ab=12，则向量a在向量b上的投影为_（答：125）二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如ab，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3坐标表示法：在平面内建立直

3、角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y)，称(x,y)为向量a的坐标，a(x,y)叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1、l2，使a=l1e1l2e2。如13（1）若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c=_（答：a-b）；22（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是a.e=(0,0),e=(1,-2)b.e=(-1,2),e=(5,7)12

4、12b垂直。2平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为q，我们把数量|a|b|cosq叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ababcosq。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如11224，则k等于_（答：1）；（3）已知a=2,b=5,ab=-3，则a+b等于_（答：23）；（4）已知a,b是两个非零向量，且a=b=a-b，则a与a+b的夹角为_（答：30）3b在a上的投影为|b|cosq，它是一个实数，但不一定大于0。如4ab的几何意义：数量积ab等于a的模|a|与b在a上的投影的积。5向量数量积的性质：设两个非零向量a，b

5、，其夹角为q，则：abab=0；当a，b同向时，abab，特别地，a2=aa=a,a=2a2；当a与b反向时，abab；已知作用在点a(1,1)的三个力f=(3,4),f=(2,-5),f=(3,1)，则合力f=f+f+f的终点坐标是123123ab；|ab|a|b|。如（1）已知a=(l,2l)，b=(3l,2)，如果a与b的夹角为锐角，则l的取值范围是_（答：l0且l设a(2,3),b(-1,5)，且ac=1b当q为锐角时，ab0，且a、不同向，ab0是q为锐角的必要非充分条件；当q为钝角时，abb0，且a、不反向，ab0是q为钝角的必要非充分条件；非零向量a，b夹角q的计算公式：cosq

6、=ab13）；（答：（9,1）实数与向量的积：la=l(x,y)=(lx,ly)。1111若a(x,y),b(x,y)，则ab=(x-x,y-y)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终11222121点坐标减去起点坐标。如113ab，ad=3ab，则c、d的坐标分别是_（答：(1,3),(-7,9)）；平面向量数量积：ab=xx+yy。1212向量的模：|a|=x2+y2,a2=|a|2=x2+y2。如（2）已知dofq的面积为s，且offq=1，若12s2，则of,fq夹角q的取值范围是_3已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a+3b|_（答：13）；（答：(p,p)）

7、；43两点间的距离：若a(x,y),b(x,y1122)，则|ab|=(x2-x1)2+(y2-y1)2。()()()()()()()()下列命题中：a(b-c)=ab-ac；a(bc)=(ab)c；(a-b)2=|a|2-2|a|b|+|b|2；若ab=0，则a=0或b=0；若ab=cb,则a=c；a2=a2；ab=b；|pd|=l，六向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设ab=a,bc=b，那么向量ac叫做a与b的和，即a+b=ab+bc=ac；向量的减法：用“三角形法则”设ab=

8、a,ac=b,那么a-b=ab-ac=ca，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：ab+bc+cd=_；ab-ad-dc=_；(ab-cd)-(ac-bd)=_（答：ad；cb；0）；（2）若正方形abcd的边长为1，ab=a,bc=b,ac=c，则|a+b+c|_（答：22）；（3）若o是abc所在平面内一点，且满足ob-oc=ob+oc-2oa，则abc的形状为_（答：直角三角形）；（4）若d为dabc的边bc的中点，dabc所在平面内有一点p，满足pa+bp+cp=0，设|ap|则l的值为_（答：2）；（5）若点o是abc的外心，且oa+o

9、b+co=0，则abc的内角c为_（答：120）；2坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y)，则：1122向量的加减法运算：ab=(xx，yy)。如1212七向量的运算律：1交换律：a+b=b+a，lma=(lm)a，ab=ba；2结合律：a+b+c=a+b+c,a-b-c=a-b+c，lab=lab=alb；3分配律：(l+m)a=la+ma,la+b=la+lb，a+bc=ac+bc。如a2a(ab)2=a2b2；(a-b)2=a2-2ab+b2。其中正确的是_（答：）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取

10、模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向（量，切记两向量不能相除(相约)；2）向量的“乘法”不满足结合律，即a(bc)(ab)c，为什么？八向量平行(共线)的充要条件：a/ba=lb(ab)2=(|a|b|)2xy-yx0。如1212(1)若向量a=(x,1),b=(4,x)，当x_时a与b共线且方向相同（答：2）；（2）已知a=(1,1),b=(4,x)，u=a+2b，v=2a+b，且u/v，则x_（答：4）；（1）若m（-3，-2），n（6，-1），且mp=-1-3mn，则点p的坐标为_(abab+ac(ab。如2ax与线段ab交于m，且am=2mb，则a等于

11、_(1)已知oa=(-1,2),ob=(3,m)，若oaob，则m=（答：3十一平移公式：如果点p(x,y)按向量a=(h,k)平移至p(x,y)，则a=pp，x=x+h；曲线f(x,y)=0（2）函数y=sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y=cos2x+1，则a_4,1)）上时l1；当p点在线段pp的延长线上时-1l0；当p点在线段pp的延长线1212211221l。如若点p分ab所成的比为3-7（答：(-6,-)）；3（2）已知a(a,0),b(3,2+a)，直线y=1（答：或）y=y+k（按向量a=(h,k)平移得曲线f(x-h,y-k)=0.注意：1）函数按向量平移与平

12、常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）按向量a把(2,-3)平移到(1,-2)，则按向量a把点(-7,2)平移到点_（答：（，）；（答：(-p12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；b（2）|a|-|b|ab|a|+|b|，特别地，当a、同向或有0|a+b|=|a|+|b|b|b|a|-|b|=|a-b|；当a、反向或有0|a-b|=|a|+|b|a-b=|a+b；当a、不共线|(|a-b|ab1q0,2p1p:a+b1q(2p2pp:a-b1q0,);3（2）求sin(b+pp:a-b1q(,p;其中的真命题

13、是（）a.p,p3p414b.p,p13c.p,p23d.p,p243，求a+b，a-b。3，则a-b=3，a=3,a+b=13,则b=4，且a=1,2a-b=10,则b=变式二：设点m是线段bc的中点，点a在直线bc外，bc=16,ab+ac=ab-ac,则am=题型九：平面向量的模长例一：已知a=b=5，向量a与b的夹角为p变式一：已知向量a与b满足a=1,b=2,a-b=2，则a+b=变式二：已知向量a与b满足a=1,b=2,a与b的夹角为p变式三：在abc中，已知ab=3,bc=4,abc=600,求ac.例二：已知向量a与b的夹角为2p变式一：(高)已知向量a与b的夹角为p2变式一：已知变量m=(cosx,cos),n=(sin,3cos)，函数f(x)=mn变式三：在三角形abc中，已知abac=3babc5，求a的值3xxx333（1）求f(x)解析式（2）求f(x)的单调递增区间（）如果abc的三边a,b,c满足b2=ac，且b边所对的角为x，试求x的范围和此时f(x)的值域（1）求证tanb=3tana（2）若cosc=5题型十一：平面向量在解析几何中的应用2,sin2),x0,例题一：设曲线c上任意一点m(x,y)(x,yr),满足向量a=(x-2,y),b=(x+2,y)且|a|+|b|=8变式二：已知向量a=(cos3x3xx2),b=(cos