平面向量数量积的运算(附答案

1、平面向数量积的计算 一、选择题（共 9小题） 1、 （2011?辽宁）若 a, b, c 为单位向量，且?bo, （a c宀）? （b c宀） W0, 则I a+bc 的最大值为（） A、2 - 1 B、1 C、 2D、 2 2、 在边长为1的等边 abc 中，设 BC =a , CA =b , AB =c , 贝U a ?b +b ?c +c =?（a ） A、 32B、0 C、32D、3 3、若a=（x,1）, b=（ 2,3x），且 xo.那么 a ?bIaI 2+ Ib取值范围是（） a、（-逹 22） b、o, 24 c、- 24, 24 d、22 , +） 4、在厶ABC 中，a=

2、5 , b=8 , C=60 则 BC ?CA的值为（） A、 10B、 20 C、- 10D、- 20 5、在边长为 2 的正三角形 abc 中，设 AB =c , BC =a , CA =b,则 a ?b +b ?c +c 等于（） A、0B、1 C、 3D、- 3 6、 如图，P AOB所在平面上一点，向量 OA =a, OB =b，且P在线段AB的垂直平分线上，向量 OF =C若 a =3, b 1=2，则 c ? （a b ）的值为（） A、 5 c、52 d、32 7、 abc 内有一点 o,满足 OA +OB +OC =0宀，且 OA?OB =OB?OC 则 abc 一定是（）

3、A、钝角三角形B、直角三角形 C、等边三角形D、等腰三角形 8、设a?, b?，c?均为单位向量，且a?丄b?则（a?+ c?） ? （b?+ c?）的最小值为（） A、一 1 c、2- 2 D、- 2 9、设向量= (sinB , 3cosB) , n= ( 3cosC, sinC)，且 A、B、C 分别是 ABC 的三个内角，若?n=1+cos (B+C )，则 A=( ) B、 n3 A、 5 n6 C、 2n 3 D、 n 6 二、填空题（共10小题） 10、已知a、b均为单位向量，它们的夹角为 60那么iai+3bT|等于 11、（ 2008?江西）如图，正六边形 ABCDEF中，有

4、下列四个命题： （a）AC +AF =2BC； （b）AD =2AB +2AF； （c）AC ?AD =AD ?AB ； （d）（AD?AF ） EF =AD（AF ?EF） 12、在平行四边形 ABCD中，已知 AB=2 , AD=1 , / BAD=60 , E为CD的中点，贝U AE ?BD = 13、如图， OAB中|0A|=3 , |0B|=2，点P在线段AB的垂直平分线上，记向量OA =a , OB =b , o =c 贝y c ?（ a b ） 的值为 _. .A 14、 在 ABC 中，若 / C=90 AC=BC=4，则 BA ?BC=. 15、 如图，向量 OA 与x轴方向

5、相同，向量 OB 与x轴正半轴的夹角为 2n3，I OAI =2 OBI =1 且 OA +OB +O（ =0-，则 0（ =. 16、 ABC 中，AB=3，BC=5，CA=7，点 D 是边 AC 上的点，且 AD=13DC，则 BD ?AC=. 17、 已知a， b是平面内的两个单位向量，设向量c = xa，且ic 工，a?（b c =o，则实数 入 的取值范围是. 18、 如图，A，B，C是直线丨上三点，P是直线丨外一点，已知 AB=BC=a，/ APB=90，/ BPC=45，记/ PBA=0，则 PA ?PC-.（用 a表示） 19、AB ?AC可以看成向量 AB在向量AC上的投影与

6、I ACr勺乘积.已知点b, c在以ad为直径的 圆上，若AB=2，AC=3，则AD?BC的值为 答案与评分标准 一、选择题(共 9小题) 1、 (2011?辽宁)若 a, b, c 为单位向量，且 a ?bo, (a c ) ? (b - c ) W0, 则I a+b c 的最大值为() A、2 - 1 B、1 C、 2D、 2 考点：平面向量数量积的运算；向量的模。 专题：计算题；整体思想。 分析：根据(a c) ?(b c) W0及a, b, c为单位向量，可以得到 c?(a+b) 1,要求 I a +b +c大值，只需求丨a +b +c j最大值即可，然后根据数量积的运算法 则展开即可

7、求得. 解答：解： (a c) ?( b c) 0， 即 a ?b- c? (a+b) +c2L 而 I a+b c I 2 2+b 2+b 2+2a ?b - 2c? (a+b) =3 - 2c? ( a +b) + I b IIcedb,c（cs + I c II ac , co =-32 故选 A 点评： 本题考查平面向量数量积的运算，注意向量的夹角，是基础题 3、 若 a=（x, i）, b= （ 2, 3x），且 xo.那么 a ?b I a I 2+ I b值范围是（） a、（ - a, 22）b、o, 24 c、- 24, 24d、22 , +） 考点 ：平面向量数量积的运算；函

8、数的值域。 专题 ：计算题；综合题；分类讨论。 分析：化简a ?bI aI 2+ I bX2时利用基本不等式推岀它的范围即可. 解答： 解： a?bI aI 2+I b= 2x I+ 32xx2 +1+ 4 +9x2=x2x2+1 当x工0时，上式 = 11x+2x o, a ?bI aI 2+ I b取值范围 o, 24 故选 B. 点评： 本题考查平面向量数量积的运算，函数的值域，基本不等式的应用，是基础题. 4、 在厶ABC 中，a=5, b=8, C=60 则 BC ?CA的值为（） A、 1oB、 2o C、- 1oD、- 2o 考点 ：平面向量数量积的运算。 专题 ：计算题。 分析

9、：由数量积的定义 BC与 CA的模分别是a和b的长度,而BC与 CA的夹角为角c的补角，即180 -C=18o-6o=12o 代入计算即可 解答：解：由题意可知 BC与 CA 的夹角为180-C=180 - 60=120 .BC ?CA = I BCI ? I CAI ?cos1200=5X（8-X12） = - 20. 故选 D 点评： 本题考查向量数量积的运算 属基本题型、基本运算的考查 在解题中 要弄清两向量的夹角. 5、 在 边长 为 2 的 正三 角 形 ABC 中 设 AB=cBC=aCA=b则 a ?b +b ?c +c 等?a （） A、 0B、 1 C、 3D、- 3 考点

10、：平面向量数量积的运算。 点评： 本题考查向量数量积的运算，考查转化计算能力向量数量积a ?bn勺计算常通过下列途径：直接按照定 a ?b t +b t ?c t +c t需求出Ta r, b i, ic r以及这三个向量之间的夹角然后代入计算即可求解. 解答：解：在边长为2的正三角形abc中，设 AB=ct , BCT=aT , C/T=b iaT|=|bT|=|Ct=2 且 v a, bT =150 v b, ct =3。，v ct, aT =150 由向量数量积的定义可得则aT?bT + bT?cT +CT?aT =2X2 cos150+2 X2 Xcos30 + 2 X2 xcos15

11、0 =1 4= 3 故选D 点评：本题主要考察了平面向量数量积的运算.解题的关键是要根据边长为 2 的正三角形ABC 求岀 i ar=|bT |=| ct=2 且 v aT, bT =150 v bT, ct =30 v ct, aT =150。而再求两个 向量的夹角时要时刻牢记需将这两个向量平移到共起点然后再找夹角！ 6、如图，P AOB所在平面上一点，向量OA =aT, OBt =bT, 且 P在线段AB的垂直平分线上，向量 OPt =Ct 若 a t=3 , |b t=2，则 c t?( a t b t)的值为() c、52d、32 考点：平面向量数量积的运算。 专题：计算题。 分析：直

12、接按照数量积的定义公式不易求解，CT与( ar br)夹角及模均不确定，建立平面直角坐标系，也 不易求解，注意到P在线段AB的垂直平分线上，若设AB中点为D，则OP =OD +OP , OD =12 (OA +OB)，且 DP?BA =0，代换转化为 OA , OB 的运算. 解答：设 ab 中点为 d，则 op =od +op , od =12 ( oa +ob ), ct? ( ar br ) = ( OD+OP ) t?BAr=OD?BAr+DFT?BAr =12 (oa+ob ) ?( oa OB)+0 =12(ar 2br2)=12 (9 4) =52 故选C 义公式，求岀两向量的模

13、及夹角余弦值，代入公式计算利用向量数量积的几何意义，整体求岀丨bl co即 Qa 在b方向上的投影，再与 l a相乘.建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算求值.选择一组基底，将有关向 量用基向量表示，转化为基向量间的运算 7、 abc 内有一点 o,满足 OA +OB +OC =0，且 OA ?OB =OB?OC.则 abc 一定是( ) A、钝角三角形B、直角三角形 C、等边三角形D、等腰三角形 考点 ：平面向量数量积的运算。 专题 ：计算题；综合题。 分析：由OA?0B =OB?O( 移向，利用数量积的运算法则，可得CA丄OB； 由OA +OB +O( =0 移向结合向量加法的平行四边形法

14、则可以判断点o abc的重心，两者结合即 可判断岀 ABC 的形状. 解答：解：由 OL?0B=0B?0C 可得(0A 0( ) ?0B =0 即 CA ?0B =0 ， 所以CA丄04,即点o在边ac的高线上； 由 OA+OB+OC=0得 OA+OC= 0B ， 设 AC 的 中 点 为 D ， 则 OA +0C =20D= 0B ，即点o在边ac的中线上， 所以 ABC 一定是等腰三角形 故选 D 点评： 本题考查向量的运算在三角形中的应用，考查学生利用所学知识分析问题、解决问题的能力. 8、 设a?, b?，c?均为单位向量，且a?丄b?则(a?+ c?) ? (b?+ c?)的最小值为

15、() A、 1B、 1 2 C、 2 2D、 2 考点 ：平面向量数量积的运算。 专题 ：计算题；函数思想；方程思想。 分析：结合题意，把 a?, b?，c?用坐标的形式表示，从而把向量的最值问题转化为代数问题求解. 解答：解：a? b?, c?均为单位向量，且a?丄b? 不妨设 a=(1， 0)， b =(0， 1)， c=(cos Q， sin Q)， (a+c) ? (b+c) =cos Q2+sin cos Q +sin Q (cos Q +sin) Q1 + 2sin ( Q + n ), 1 sin ( Q + n4 1, i- 2 (a+) ? (b+) +Bh +HF =b+B

16、h +HF， / c=OP =OA +AH +HF =a+AH +HF.把相加可得 c =HP+a +b 2,二c ?(a - b ) =(HP+a +b 2 ?(a- b ) =o+a2 b 22 =9 42=52. 点评：本题考查两个向量加减法及其几何意义，两个向量垂直的性质，两个向量数量积的运算，体现了数形结合的数学 思想. 14、在 ABC 中，若 / C=90 AC=BC=4，则 BA ?BC=_ 16. 考点：平面向量数量积的运算。 专题：计算题。 分析：利用向量垂直的充要条件得到CA?BC =0 ；利用向量的运算法则将 BA用BC , CA表示, 利用向量的运算律求岀 BA ?B

17、C的值. 解答：解：J/ C=90 C2 ?BC=0 BA =BC +CA BA ?BC=(BC+CA ) ?BC =BC 2+CA ?BC =16 故答案为：16 点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律. 15、如图，向量 OA 与x轴方向相同，向量 OB 与x轴正半轴的夹角为 2n3, I OAI =2 011=1 且 0A +0+0( =0 ，则 0( =( 32 , 32 ). C 2 Av 考点：平面向量数量积的运算。 专题：计算题。 分析：先求岀a、b两个点的坐标，根据 OA +0B +0( =0 ，计算0(的坐标. 解答：解：由题意可知：A (2，0)，即

18、向量0A = ( 2，0); b ( 12， 32 )，则向量 0B = ( 12， 32 )， / 0A+0B+0(=0，0( = ( 0A+0 ) = ( 32，32) 故答案为：(一32，32) 点评：本题考查平面向量数量积的运算，向量和复平面内的点的对应关系，是基础题. 16、 ABC 中，AB=3，BC=5，CA=7，点 D 是边 AC 上的点，且 AD=13DC，则 BD ?AC =-174 考点：平面向量数量积的运算。 专题：计算题。 分析：利用两个向量的数量积的定义求岀BDe?AC = (BA +AD )?AC = -21cosa+494 . 余弦定理求岀cosA代入可求得结果

19、. 解答：解：由题意得 ad= 14ac=74 , BD?AG = （ BA +AD） ?AC = BL ?ACfA ?AC =BA?AC? （- cosA） +74 X7= - 21cosA+ 494 . ABC 中，由余弦定理得 25=9+49 - 2 X3 冷cosA,二 cosA=3342 , BD?AC = - 2i x3342 +494 = - 174 , 故答案为：-174 . 点评：本题考查两个向量的数量积的定义，余弦定理的应用，计算BA ?AC是本题得易错点. 17、 已知a, b是平面内的两个单位向量，设向量cf=0T,且ic I工,1 a?（b-c ）=0，则实数 入 的

20、取值范围是（-1, 1）. 考点：平面向量数量积的运算。 专题：计算题。 分析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，由a ?（ b - c ） =0，变化式子为模和夹角的形 式，整理出 入的表达式，根据夹角的范围得到结果. 解答：解： a?（ b- c ）=0，c=xa， b?a-入 I al 2=0 I al ? I bl cos 9 = I 且I aI2 a，b是平面内的两个单位向量， 入=cos， |C| 工，入工 1 实数入的取值范围是（-1，1）. 故答案为（-1， 1）. 点评：本题是向量数量积的运算，条件中给岀两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，只是题目所 给的向量要应用向量的性质来运算，本题是把向量的数量积同三角函数问题结合在一起属中档题. 18、如图，A，B，C是直线丨上三点，P是直线丨外一点，已知 AB=BC=a，/ APB=90，/ BPC=45，记/ PBA=9，则 PA ?PC 45a2.（用 a表示） 考点：平面向量数量积的运算。 专题：计算题；综合题。 分析：三角形ABP是直角三角形，求岀 I PA 11 PBp