函数对称性问题的几个典型错解剖析

1、函数对称性问题的几个典型错解剖析张长雁（甘肃省永登县第二中学 730302）摘要：函数对称性问题是学生学习的难点，本文以八个问题为载体，总结函数对称性的三类典型问题，通过错解剖析，澄清关系，提高认识，优化思维品质.关键词：函数 图象 对称 问题 剖析 学生 思维 我们知道，如果一个函数具有单调性、周期性以及奇偶性，那么这个函数图象不但自身具有对称性，而且与其他函数图象也具有对称性，即函数自对称和互对称问题.比如正弦函数为奇函数，周期为，图象关于原点对称.同时，函数在上，单调递增，存在反函数并在上是增函数，与原函数具有相同的单调性.对于一个具体的函数而言，我们可以通过研究它的图像来获得它的性质，

2、如果研究和考察的是未知函数，那么就要另当别论了.现就函数对称性问题的几个典型错误进行剖析，以便澄清关系，呈现规律，提高认识.一、问题呈现1.如果一个函数图象与它的反函数图象有交点，那么交点一定在直线上吗？2.对于函数,在上，恒有成立，那么函数的图象关于哪条直线对称? 一般地，对于函数,在上，若有恒成立，则函数图象关于哪条直线对称？3.函数与函数图象关于哪条直线对称?4.函数与函数图象关于哪条直线对称？5. 函数与函数图象关于哪条直线对称？6. 函数与函数图象关于哪条直线对称？7.函数与函数图象关于哪条直线对称？8.对于与有何区别?二、学生错解1.解答：原函数与反函数图象交点定在直线上.2.解答

3、：若（）恒成立，函数图象关于直线对称.若（）恒成立，函数图象关于直线对称.3.解答：函数与函数图象关于直线对称.4.函数与函数图象关于直线对称.5.函数与函数图象关于直线对称.6. 函数与函数图象关于直线对称.7.函数与函数图象关于直线对称.8.对于，函数图象关于直线对称.对于，函数图象关于直线对称.三、错解剖析上述八个问题总体上可以划分为三类，第一类型是原函数与反函数图象交点对称问题，第二类型是函数图象自对称性问题；第三类型是两个函数图象的对称性问题，即函数互对称问题.同时，学生错解也分为三种典型错误.1.片面理解原函数与反函数图象的交点与其对称轴位置关系，从而造成了知识性错误.问题1探讨的

4、是原函数与其反函数图象的对称性，属于第一类型问题.容易知道原函数与反函数图象关于直线对称，如果它们的图象有交点，那么交点与直线位置关系还要依赖于原函数的单调性.为了说明这个问题，首先我们证明一个定理:定理：已知原函数与反函数图象有交点，假若原函数为增函数，那么交点一定在直线上，相反，原函数是减函数，那么它们的交点在直线上或者关于直线对称.特例：函数在上的反函数就是本身，而且原函数与反函数都是减函数，则点p在直线上，而点m和点n分别在原函数和反函数图象上，并且关于直线对称.一般情况，已知函数，在定义域为i上为增函数，且反函数为，设原函数与反函数图象有交点，则交点m的坐标满足两个函数关系式，.由知

5、道点在原函数图象上.用反证法证明:假设点不在直线上，则一定有，不妨令，且， 由和知道，从而得，再结合原函数的单调性知，这与已知矛盾.所以假设错误，则，点和点重合，且都在直线上.当函数，在其定义域上i为减函数时，同样的，假设点不在直线上，一定有,不妨令，且.类似地，由结合和知，从而得出，再由原函数的单调递减知，这与已知一致.所以点和点关于直线对称.综上所述，定理得证.因此，学生错解原因是没能准确理解原函数与反函数图象对称实质，犯了以偏盖全的知识性错误.2.混淆函数图象自身对称性和函数周期性，导致了认知性错误.问题2探讨的是函数图象自身的对称性问题，问题8探讨的是函数的自身对称性以及周期性，都属于

6、第二类型问题.问题2中，对于函数,在上，恒有成立，则令，则由恒成立知道，点m和n一定关于直线对称，即函数图象对称轴为直线.一般地，对于函数,在上，若有恒成立，则函数图象关于直线对称.因此，在问题8中，由恒成立，说明函数图象关于直线对称.对于另一个恒等式来说，只要把换为就可得到，说明函数具有周期性，并且周期为.因而，问题8中，前者探讨是函数自身对称性问题，后者研究的是函数的周期性，二者考察对象不同，学生没有准确认识问题探究的对象，导致了认知性错误.3.混淆两个函数图象间对称性与函数本身对称性，导致了认知性错误.问题3、4、5、6、7探讨的是两个函数图象对称性，属于第三类型问题.以问题3为例分析，

7、因为函数图象与函数图象关于y轴对称，所以将函数图象和函数图象分别向左和向右平移一个单位得到函数图象和函数图象，而对称轴的位置没有变化，所以平移后两个函数图象仍然关于y轴对称.因而将问题3推广到问题5，得到函数与函数图象关于直线对称.问题4是问题3的变式，按照问题3中的平移分析法可知，函数与函数图象关于直线对称？同样的，问题6又是问题4的推广，类似地推出函数与函数图象关于直线对称.然后，通过问题7作更为一般情形的推广：一般地，函数与函数图象关于直线对称.因此，对于问题3、4、5、6、7来说，虽然它们与问题2表征疑似却实质不同，学生错解原因是没能分清问题探究的是两个函数图象之间的对称关系，并非是函数图象自身对称性，从而导致了认知性错误.四、正解1.原函数与反函数图象交点不一定在直线上.2.对于函数,在上，恒有成立，函数图象关于直线对称. 一般地，对于函数,在上，若有恒成立，则函数图象关于直线对称.3.函数与函数图象关于直线对称.4.函数与函数图象关于直线对称.5.函数与函数图象关于直线对称.6. 函数与函数图象关于直线对称？7.函数与函数图象关于直线对称？8.对于，函数图象关于直线对称.对于，函数具有周期性，并且周期为.五、教学反思通过师生、生生之间主动探究、合作交流的学习互动，暴露学生解决问题的思维过程