完整版)高二导数讲义

1、导数7【知识归纳】1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量 x，那么函数y相应地有增量 y =f (x0+ x) f (x0)，比 值丄 叫做函数y=f( x)在x0到x0+ x之间的平均变化率，即=x)一。如果当 x 0x yxx时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f (x)在点x0处的导数，记作xf(xo)或 y1 x 勺。(x0) = limx 0f(X。x)f(X)ox说明：(i函数f(X)在点x0处可导，是指x 0时，有极限。如果不存在极限，就说函数在xxx 0时，而 y是函数值的改变量，可以是零。点x 0处不可导，或说无导数。由导数的

2、定义可知，求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量y =f(x +x ) f (x )；(2)求平均变化率-y =f(X0x)f(X0).x;X(3)取极限，得导数f(x 0)=lim y。(2) x是自变量x在x0处的改变量,x 0 x2、导数的几何意义(x0, f (x0)处的切线的斜率。也就(x 0 )。相应地，切线方程为 y y0=f/sin x;函数y=f (x)在点x 0处的导数的几何意义是曲线 y=f (x)在点p 是说，曲线y=f (x)在点p (x0, f (x0)处的切线的斜率是 f(x0) (x x0)o3、 几种常见函数的导数：C 0；xn(ex)ex

3、；(ax)n 1nx ;(sin x) cosx ;(cos x)ax ln a ；ln xx lOga xTO4、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1 :两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和 (或差)，III即：(u v) u v -法则2 :两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(uv) u v uv -若C为常数，(Cu) Cu Cu0 Cu Cu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:(Cu) Cu.法则3:两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方:,_uv

4、 uv = 2 vy| X = y形如 y=f （x ） 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：1 U U， I x5、单调区间： 一般地，设函数 y f （x） 在某个区间可导，如果f（x）0，则f（x）为增函数；如果 f （x）0，则 f （x ）为减函数；如果在某区间内恒有 f （x）0，则 f（x） 为常数；6、极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧 为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；7、最值 ：一般地，在区间a, b上连续的函数f（x）在a, b上必有最大值与最小值。 求函数？（x

5、）在（a，b）内的极值; 求函数？（x）在区间端点的值？ （a）、？（b）； 将函数？ （x）的各极值与？（a）、？（b）比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。【常见综合题方法导航】1、关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开）,极值,最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令 f （x）0 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种： 第一种： 变更主元 （即关于某字母的一次函数） 题型特征 （已知谁的范围就把谁作为主元） ；第二种：分离变量求最值；第三种：关于二次函数的

6、不等式恒成立；第四种：构造函数求最值 题型特征f （x） g（x）恒成立h（x） f（x） g（x） 0 恒成立；2、 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题；（1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即f（x） 0或f（x） 0在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在 0 的同侧）,如果是同侧则不必分类讨论；若在 0 的 两侧,则必须分类讨论,要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来, 则必须用另外的方法；第二种：利用子区间（即子集思

7、想） ；首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区 间的子集；第三种：利用二次方程根的分布,着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；特别说明：做题时一定要看清楚“在（ a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（ a,b ）”,要弄清楚两句话的区别；（2）函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后 减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与 0 的关系； 第三步：解不等式（组）即可；3、函数的切线问题；问题

8、 1：在点处的切线,易求；问题 2：过点作曲线的切线需四个步骤； 第一步：设切点,求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式） ；第三步：根据切点既在曲线上又在切 线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；经典题型分类解析【导数定义的应用】f (x)0，g (x)0，例1、求抛物线 y x2上的点到直线x y 20的最短距离.x 0时()f (x) 0, g(x) 0B.f (x)0, g (x) 0f (x) 0, g(x) 0D.f (x)0, g (x) 0已知P (- 1,1), Q(2?, 4)是曲线2 2y x上的两点，则与直线 PQ平行的曲线y x的切线1、(福建)已知对任意

9、实数 x，有f( x)f(x), g( x)g(x)，且 x 0时,则A.C.2、方程是y)1、设f (x)是函数f(x)的导函数，将y f(x)和y f (x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正3x 3在点(1,y扛图4【利用导数解决函数的单调性及极值问题】例1、当x 0，证明不等式xln(1 x) x.1x例2、(全国高考)已知函数f (x) x3 ax2 x 1， a R .(I)讨论函数f(x)的单调区间；(U)设函数f(x)在区间 2, 1内是减函数，求a的取值范围.33【变式1】(全国高考)若函数x存2ax2 a ix 1在区间14上是减函数，在区间6,上是增函数，求实数a的取

10、值范围.【变式2】(浙江高考)已知函数f(x) x3 区间(1,1)上不单调，求a的取值范围.2 _ (1 a)x a(a 2)x b (a, b R).若函数 f (x)在练习1、利用函数的单调性，证明：lnx x ex,x 0变式1:证明：1In x 1 x， x 1x 1变式 2:(理科)设函数 f(x)=(1+x) 2 ln( 1+x)好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.若关于x的方程f(x)=x 2+x+a在0，2上恰12、已知函数f (x) 1 x3 bx2 2x a， x 2是f (x)的一个极值点.32(I)求f(x)的单调递增区间；(U)若当x 1, 3时，f(x) a2

11、 恒成立，求a的取值范3围.3、设函数f (x) ln(x a) x2,若当x 1时，f (x)取得极值，求a的值，并讨论f (x)的单调 性.4、设 a 0， f (x) x 1 In2 x 2alnx(x 0).(I)令F(x) xf (x)，讨论F(x)在(0，s)内的单调性并求极值;(n)求证：当 x 1 时，恒有 x ln2x 2alnx 1 .5、设 f (x)2x2,g(x) ax 5 2a(a 0)。 x 1(1) 求f(x)在x 0,1上的值域；(2) 若对于任意xi 0,1，总存在xo 0,1,使得g(xo)f(xi)成立，求a的取值范围【利用导数的几何意义研究曲线的切线问

12、题】例1、(江西咼考)若存在过点(1,0)的直线与曲线yA.1 或-24x3和y ax2 15 x 9都相切，则a等于4257或-25 D .-或7644【变式】(辽宁高考)设P为曲线C : y x2 2x 3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0,-，则点P横坐标的取值范围为()41 1A.1，1B.1,0C. 0,1D .1，2 2综合实战训练1.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f (x)的图象可能为()2. 已知曲线S：y=3x x3及点P(2, 2),则过点P可向S引切线的条数为()(A)0(B)1(C)2(D)33. C设S上的切点(

13、xo,y。)求导数得斜率，过点P可求得：(X。1)(X0 2)2 0.4. 函数y xcosx sinx在下面哪个区间内是增函数().3 35(A)(，斗)(B)( ,2 )(C)(J5 )(D)(2 ,3 )2 2 2 25. y =2x3 3x2+a的极大值为6，那么a等于()(A)6( B)0(C)5(D)136. 函数f (x) = x 3x+1在闭区间-3 , 0上的最大值、最小值分别是 ()(A)1 , 1(B)3 , -17(C)1 , 17(D)9, 197. 设l 1为曲线y1=si nx在点(0 , 0)处的切线，12为曲线y2=cosx在点(一,0)处的切线，则I 1与1

14、2的夹角为28. 设函数f ( x)=x3+ax2+bx 1，若当 x=1时，有极值为1,则函数 g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为19. (湖北)已知函数 y f(x)的图象在点M(1, f (1)处的切线方程是y x 2，贝V f (1) f (1)210.(湖南)函数f(x)12x x3在区间3,3上的最小值是 11 .(浙江)曲线yx3 2x2 4x 2在点(1, 3)处的切线方程是9 .已知函数32f (x) x ax b(a,b R)(I)若函数f (x)图像上任意一点处的切线的斜率小于1,求证： 3 a .3 ；(n)若x 0,1 ,函数yf (x)图像上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论k g(x)，那么下列情形不可能 出现的是( )A. 0是f (x)的极大值，也是 g(x)的极大值B. 0是f (x)的极小值，也是 g(x)的极小值2 2tx 2t x t 1(x R, tC. 0是f(x)的极大值，但不是 g(x)的极值7.(全国一)曲线y13-x x在点41,4处的切线i与坐标轴围成的三角形面积为(33