完整版)切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理37508

1、实用标准文案切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1. 切线长概念“切线长”是切线上（PA 长）切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。2. 切线长定理（2）若已知两条切对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3 ）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条

2、切线所夹的角。文档3.弦切角:直线AB切OO于P, PC PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段 定理图形相交弦定 理AXDC总已知O O中，AB CD为弦，交 PA- PB= PC- PD. 于P.结论证法连结AC BD证： APCDPB.相交弦定CO O中，AB为直径，CDL pC= PA- PB.理的推论/AB于 P.（特殊情况）用相交弦定理O 0中，PT切O 0于T, 割线PB交O

3、 0于ApT2= PA- PBPBPD为O O的两条割线，PA- PB= PC- PD 交O 0于A C连结 TA、TB,证： PTBPAT过P作PT切O O于T,用两次切割线定理（记忆的方法方法）O 0中，割线PB交O 0于PC - PD = r2- 0P2延长P0交O 0于 M 延 A, CD为弦PA- PB= 0P- r2r为O0的半径长0P交O 0于N,用相交 弦定理证；过P作切线用 切割线定理勾股定理证8.圆幕定理：过一定点P向O 0作任一直线，交O 0于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积 为常数L一厂| （ R为圆半径），因为叫做点对于O 0的幕，所以将上述定理统称为 圆幕定理

4、。【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆 0,过A作半圆切线，切 点为F,交CD于 E,求DE AE的值。图1解：由切线长定理知： AF= AB= 1, EF= CE 设CE为x，在Rt ADE中，由勾股定理A1_ 3日15)5 = 1-恥二 1 + 二一4=44 43- = 3： 544cm。例2. O O中的两条弦 AB与CD相交于 E,若AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm 那么CE=解：由相交弦定理，得AE BE= CE- DE/ AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm,DE=CD-CE =1-CE.6冥2=強(76

5、) ,即亡费+12 = 0/ CE= 3cm或 CE= 4cm。故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则*小:AC2 = $氏解：/ P=Z P/ PAC=Z B, PACA PBAAB _ PB.疋二7Z,又 PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得M 二刃，FCAB2 _ 阳 _ FS _ 円花-丽 ?Bn A护:PC即，故应填PCo点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。例4.如图3, P是O O外一点，PC切O O于点C, PAB是O O的割线，交O O于A B两点，如果PA:PB=

6、1 : 4, PC= 12cm o O的半径为10cm 则圆心 o到AB的距离是cm。解：/ PC是O O的切线，PAB是O O的割线，且 PA: PB= 1 : 4PB= 4PA又 PC= 12cm由切割线定理，得 ?，-： _.1，4R4.PB= 4 X 6= 24 (cm). AB= 24 6 = 18 (cm)设圆心O到AB距离为d cm,由勾股定理，得出二二应匈 故应填J。例5.如图4, AB为OO的直径，过 B点作O O的切线BC, OC交O O于点E, AE的延长线交 BC于点 D,( 1)求证：占JU ； (2)若AB= BC= 2厘米，求CE CD的长。点悟：要证证明：（1）

7、连结BE召U是0 0的切线=Zj4=乙亡血ZD坤角OA = OE ZA = ZOSA乙 OEA = 5ECHUEDS心EE = = 窗=CB * CDCD CS(2)胆是0沏线 应为直径= 丄ABD = 90-血二2 n O吕二1 U g = 用门OS = A又-,厘米。例6.如图5，AB为O O的直径，弦E。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。证明：连结BD,/ AE切O O于 A/ EAD=Z ABD/ AE AB,又 AB/ CD AE CD/ AB为O O的直径/ ADB= 90/ E=Z ADB= 90 ADEA BADAD DE.-丄：.AD2 =

8、 AB* DE/ CD/ ABc nAD=BC AD= BC,EC2 = AS* DS例7.如图6, PA PC切O O于A、C, PDB为割线。求证： AD- BC= CD- AB图6点悟：由结论 AD- BC= CD- AB得-，显然要证厶 PADA PBAD PCSA PBC证明：/ PA切O O于A,/ PAD=Z PBA又/ APD=Z BPA PADA PBAM PD.I J 同理可证厶PCDA PBCCD PD/ PA PC分别切O O于A、C PA= PCM CD.I=1 AD- BC= DC- AB例8.如图7,在直角三角形 ABC中，/ A= 90。，以AB边为直径作O O

9、,交斜边BC于点D,过D点 作O O的切线交AC于 E。图7求证：BC= 2O吕点悟：由要证结论易想到应证 。丘是厶ABC的中位线。而 OA= OB只须证AE= CE, 证明：连结ODAC丄AB, AB为直径 AC为O O的切线，又DE切OO于D EA= ED, ODL DE/ OB= OD / B=Z ODB在 Rt ABC中，/ C= 90/ B/ ODE= 90.= 92 - ODBC=/ EDC ED= EC AE= EC。丘是厶ABC的中位线 BC=2OEC例9.如图8,在正方形 ABCD中，AB= 1，弓是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点En是边AD上的任意一点（点 E与

10、点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边 DC于点F，G 为切点。当/ DEF= 45时，求证点 G为线段EF的中点；解：由/ DEF= 45,得【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1.已知：PA PB切O O于点A、B,连结AB,若AB= 8，弦AB的弦心距3,则PA=（）20253C. 5B.D. 8A一eI）D0图8/ DFE=Z DEF DE= DF又 AD= DC AE= FC因为AB是圆B的半径，ADL AB,所以AD切圆B于点A;同理，CD切圆B于点G 又因为EF切圆B于点G 所以AE= EG FC= FG因此EG= FG,即点G为线段EF的中点。A. -2. 下列图形

11、一定有内切圆的是（A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形A. 50B. 40D. 553. 已知：如图1直线MN与O O相切于C, AB为直径，/ CAB= 40，则/ MCA勺度数（4. 圆内两弦相交，一弦长 8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1: 4,则另一弦长为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5. 在厶ABC中，D是BC边上的点，AD2c, bd= 3cm, DC= 4cm,如果 E是AD的延长线与 ABC的外接圆的交点，那么 DE长等于（）A.C.B.弭去啊D.%民烧6. PT切O O于T, CT为直径，D为0C上一点，直线 PD交O O于B和A B在线段P

12、D上，若 =2, AD= 3, BD= 4,贝U PB等于（）A. 20B. 10C. 5D.兽厂二、填空题7. AB 、CD是O 0切线，AB/ CD EF是O 0的切线，它和 AB CD分别交于 E、F,则/ EOF= 度。8. 已知：O O和不在O O上的一点 P,过P的直线交O O于 A、B两点，若 PA- PB= 24, OP= 5,则OO的半径长为。9. 若PA为O O的切线，A为切点，PBC割线交OO于B、C,若BC= 20,八 V ，贝UPC的长为。10. 正厶ABC内接于O O, M N分别为AB AC中点，延长 MN交O O于点D,连结BD交AC于P,PC _则刃 。三、解

13、答题11.如图2, ABC中，AC= 2cm,周长为8cm, F、K、N是厶ABC与内切圆的切点， DE切O O于点 M 且 DE/ AC,求 DE的长。xAD/f0jF BE MC图212. 如图3，已知P为O O的直径AB延长线上一点，PC切O O于C, CDL AB于D,求证：CB平分13.如图4，已知AD为O O的直径，AB是O O的切线，过 B的割线BMN交 AD的延长线于 C,且 BM= MN= NC若AB 2”氐喘，求O 0的半径。A J图4【试题答案】-、选择题1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A、填空题7. 908. 19. 3010.三、解答题:11. 由切线长定理得厶 BDE周长为4,由厶BDEA BAG 得 DE= 1cm12. 证明：连结AC贝U AC丄CB/ CD! AB