计量经济学的各种检验课件

1、计量经济学的各种检验,1,经济计量学的几种检验,计量经济学的各种检验,2,多重共线性,.Multicollinearity arises because we have put in too many variables that measure the same thing. As the degree of multicollinearity increases, the regression model estimates of the coefficients become unstable and the standard errors for the coefficients ca

2、n get wildly inflated. Measure :vif, tol=1/vif,condition index;etc.,计量经济学的各种检验,3,多重共线性的后果,1.存在完全多重共线性时,参数的估计值无法确定,而且估计值的方差变为无穷大. 2.存在不完全多重共线性时,可以估计参数值,但是数值不稳定,而且方差很大. 3.多重共线性会降低预测的精度,甚至失效,增大零假设接受的可能性(t值变小).,计量经济学的各种检验,4,多重共线性的检测方法(1)样本可决系数法,如果样本的可决系数R-square 比较大，且回归系数几乎没有统计上的显著性，则可认为存在多重共线性。 Theil 提

3、出了一个指标：多重共线性效应系数,计量经济学的各种检验,5,Theil test results,Sas 结果： 结果表明有多重共线性。,计量经济学的各种检验,6,多重共线性检测方法（2）辅助回归检验法,若存在多重共线性，则至少有一个解释变量可精确或近似地表示为其余皆是变量的线性组合。 相应的检验统计量为：,计量经济学的各种检验,7,辅助回归检验结果,Sas 结果： Klein经验法则：若存在一个i,使得 R(i)-squareR-square,则认为多重共线性严重；本例中x1,x3有多重共线性。,计量经济学的各种检验,8,多重共线性检验方法（3）样本相关系数检验法,计量经济学的各种检验,9,

4、FG test results,fg=20.488013401 p=0.0001344625； 拒绝零假设，认为存在多重共线性。 具体那些变量之间存在多重共线性，除了上面提到的辅助回归的方法外，还有以下提到的条件数检验和方差膨胀因子法。,计量经济学的各种检验,10,多重共线性检验方法：（4）特征值分析法所用的检验统计指标,; 为第k各自变量和其余自变量回归的可决系数. VIF10,有多重共线性;TOL=1/VIF; 条件指数: 条件数: ;C20,共线性严重.,计量经济学的各种检验,11,多重共线性的检验和补救,例一:进口总额和三个自变量之间回归; Sas 结果如下:Pearson Corre

5、lation Coefficients, N = 11 Prob |r| under H0: Rho=0 x1 x2 x3 x1 1.00000 0.02585 0.99726 GDP 0.9399 .0001 x2 0.02585 1.00000 0.03567 存蓄量 0.9399 0.9171 x3 0.99726 0.03567 1.00000 总消费 .0001 0.9171 从上面可以看出x1和x3线性相关严重.,计量经济学的各种检验,12,多重共线性的检验和补救,(2)回归结果: Parameter Estimates Parameter Standard Variance Va

6、riable DF Estimate Error t Value Pr |t| Inflation Intercept 1 -10.12799 1.21216 -8.36 .0001 0 x1 1 -0.05140 0.07028 -0.73 0.4883 185.99747 x2 1 0.58695 0.09462 6.20 0.0004 1.01891 x3 1 0.28685 0.10221 2.81 0.0263 186.11002 发现x1的系数为负,和现实经济意义不符,出现原因就是x1 和x3之间的线性相关.,计量经济学的各种检验,13,补救措施,增加样本;岭回归或主分量回归; 至

7、少去掉一个具有多重共线性的变量;对具有多重共线性的变量进行变换. 对所有变量做滞后差分变换(一般是一阶差分),问题是损失观测值,可能有自相关. 采用人均形式的变量（例如在生产函数估计中） 在缺乏有效信息时,对系数关系进行限制,变为有约束回归(Klein,Goldberger,1955),可以降低样本方差和估计系数的标准差,但不一定是无偏的(除非这种限制是正确的). 对具有多重共线性的变量,设法找出其因果关系,并建立模型和原方程构成联立方程组.,计量经济学的各种检验,14,岭回归,岭回归估计: K=0, b(k)=b即为OLSE; K的选取: 即使b(k)的均方误差比b的均方误差小.,计量经济学

8、的各种检验,15,岭迹图,计量经济学的各种检验,16,岭回归结果,Obs _MODEL_ _TYPE_ _DEPVAR_ _RIDGE_k _PCOMIT_ _RMSE_ Intercept x1 x2 x3 y 1 MODEL1 PARMS y 0.48887 -10.1280 -0.051 0.58695 0.287 -1 2 MODEL1 RIDGEVIF y 0.00 方差膨胀因子 185.997 1.01891 186.110 1 3 MODEL1 RIDGE y 0.00 0.48887 -10.1280 -0.051 0.58695 0.287 1 4 MODEL1 RIDGEV

9、IF y 0.01 8.599 0.98192 8.604 -1 5 MODEL1 RIDGE y 0.01 0.55323 -9.1805 0.046 0.59886 0.144 1 6 MODEL1 RIDGEVIF y 0.02 2.858 0.96219 2.859 -1 7 MODEL1 RIDGE y 0.02 0.57016 -8.9277 0.057 0.59542 0.127 -1 8 MODEL1 RIDGEVIF y 0.03 1.502 0.94345 1.502 -1 9 MODEL1 RIDGE y 0.03 0.57959 -8.7337 0.061 0.5908

10、0 0.120 -1 10 MODEL1 RIDGEVIF y 0.04 0.979 0.92532 0.979 -1 11 MODEL1 RIDGE y 0.04 0.58745 -8.5583 0.064 0.58591 0.116 -1,计量经济学的各种检验,17,主分量回归,主分量回归是将具有多重相关的变量集综合得出少数几个互不相关的主分量. 两步:(1)找出自变量集的主分量,建立y与互不相关的前几个主分量的回归式.(2)将回归式还原为原自变量结果. 详见,方开泰;,计量经济学的各种检验,18,主分量回归结果,Obs _MODEL_ _TYPE_ _DEPVAR_ _PCOMIT_ _

11、RMSE_ Intercept x1 x2 x3 y 1 MODEL1 PARMS y 0.48887 -10.1280 -0.05140 0.58695 0.28685 1 2 MODEL1 IPCVIF y 1 0.25083 1.00085 0.25038 1 3 MODEL1 IPC y 1 0.55001 -9.1301 0.07278 0.60922 0.10626 1 4 MODEL1 IPCVIF y 2 0.24956 0.00095 0.24971 -1 5 MODEL1 IPC y 2 1.05206 -7.7458 0.07381 0.08269 0.10735 -1,

12、计量经济学的各种检验,19,主分量回归结果,由输出结果看到在删去第三个主分量（pcomit=1)后的主分量回归方程： Y=-9.1301+0.07278x1+0.60922x2+0.10626x3; 该方程的系数都有意义，且回归系数的方差膨胀因子均小于1.1；主分量回归方程的均方根误差（_RMSE=0.55) 比普通OLS方程的均方根误差（_RMSE=0.48887) 有所增大但不多。,计量经济学的各种检验,20,Sas 程序,data ex01; input x1 x2 x3 y; label x1=国内生产总值; label x2=存储量; label x3=消费量; label y=进口

13、总额; cards; 149.3 4.2 108.1 15.9 161.2 4.1 114.8 16.4 171.5 3.1 123.2 19.0 175.5 3.1 126.9 19.1 180.8 1.1 132.1 18.8 190.7 2.2 137.7 20.4 202.1 2.1 146 22.7 212.4 5.6 154.1 26.5 226.1 5.0 162.3 28.1 231.9 5.1 164.3 27.6 239.0 0.7 167.6 26.3 ; run;,proc corr data=ex01; var x1-x3; run; *岭回归*; proc reg

14、data=ex01 outest=ex012 graphics outvif; model y=x1-x3/ridge=0.0 to 0.1 by 0.01; plot/ridgeplot; run; proc print data=ex012;run; *主分量回归法*; proc reg data=ex01 outest=ex103; model y=x1-x3/pcomit=1,2 outvif;*pcomit表示删去最后面的1或2个主分量,用前面m-1或 m-2各主分量进行回归*; run; proc print data=ex103;run;,计量经济学的各种检验,21,Sas 程序

15、,/*theil test*/; proc reg data=ex01; equation3:model y=x1 x2; equation2:model y=x1 x3; equation1:model y=x2 x3; run;/*r-.9473;r3s=0.9828*/; data theil; rsq=0.9919;r1s=0.9913;r2s=0.9473;r3s=0.9828; theil=rsq-(3*rsq-(r1s+r2s+r3s);put theil=; run; /*辅助回归检验法*/; proc reg data=ex01; equation3:model x3=x1

16、x2; equation2:model x2=x1 x3; equation1:model x1=x2 x3; run;,/*FG test*/; proc corr data=ex01 outp=corr nosimple;var x1-x3;run; proc print data=corr;run; title 计算相关矩阵的行列式; proc iml; R=1.000 0.026 0.997,0.026 1 0.036,0.9152 0.6306 1; d=det(R); print d; run;/*d=0.081371*/; title 计算检验统计量及其p值; data fg;

17、n=11;p=3;d=0.081371; fg=-(n-1-1/6*(2*p+5)*log(d);df=p(p-1)/2; p=1-probchi(fg,df); put fg= p=; run;/*fg=20.488013401 p=0.0001344625,拒绝零假设*/;,计量经济学的各种检验,22,异方差的检验和补救,OLSE unbiased,inefficient;t, F test invalid; forecast accuracy decreased. If the model is well-fitted, there should be no pattern to the

18、 residuals plotted against the fitted values. If the variance of the residuals is non-constant, then the residual variance is said to be heteroscedastic.,计量经济学的各种检验,23,异方差的检测,There are graphical and non-graphical methods for detecting heteroscedasticity. A commonly used graphical method is to plot t

19、he residuals versus fitted (predicted) values. Example :grade:educated years;potexp:working years;exp2=potexp2;union:dummy variable.,计量经济学的各种检验,24,收入方程回归的结果,Dependent Variable: LNWAGE Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr F Model 4 12.42236 3.10559 14.06 |t| Intercept

20、1 0.59511 0.28349 2.10 0.0384 GRADE 1 0.08354 0.02009 4.16 .0001 POTEXP 1 0.05027 0.01414 3.56 0.0006 EXP2 1 -0.00056172 0.00028785 -1.95 0.0540 UNION 1 0.16593 0.12445 1.33 0.1856,计量经济学的各种检验,25,图示法检测,利用残差平和对因变量的预测值做散点图 如右图所示:残差变化不大,因此认为没有异方差存在.,计量经济学的各种检验,26,怀特检验,Sas程序结果: Analysis of Varianc Sum of

21、 Mean Source DF Squares Square F Value Pr F Model 12 1.18881 0.09907 0.88 0.5731 Error 87 9.83078 0.11300 Corrected Total 99 11.01958 Root MSE 0.33615 R-Square 0.1079 Dependent Mean 0.20989 Adj R-Sq -0.0152 Coeff Var 160.15281 Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr |t| Intercept 1

22、-0.07767 0.98580 -0.08 0.9374 GRADE 1 -0.01220 0.12502 -0.10 0.9225 POTEXP 1 0.07784 0.07188 1.08 0.2819 EXP2 1 -0.00399 0.00409 -0.97 0.3325 UNION 1 0.64879 0.86160 0.75 0.4535 grade2 1 0.00220 0.00425 0.52 0.6065 exp4 1 -3.34378E-7 0.00000151 -0.22 0.8256 exp3 1 0.00006170 0.00014192 0.43 0.6648 g

23、x2 1 0.00011683 0.00011102 1.05 0.2955 gp 1 -0.00375 0.00494 -0.76 0.4498 gu 1 -0.05137 0.04430 -1.16 0.2494 pu 1 0.00193 0.06061 0.03 0.9746 eu 1 -0.00022185 0.00126 -0.18 0.8605,残差项平方对所有一阶,二阶及交叉项回归. 1.由左边的结果可知: 故同方差的假设未被拒绝. 2.Proc reg data=aa; Model y=x/spec; Run; 可得到相同的结果。,计量经济学的各种检验,27,布罗施-帕甘/戈弗

24、雷检验怀特检验的特例,（1）OLS残差额et和一个估计的干扰误差 （2）用OLS将 对选中的解释变量进行回归，并计算解释平方和(ESS); (3)在零假设下，有 (4)一个更简单且渐进等价的做法是直接利用残差平方对选中的解释变量进行回归.在零假设(同方差)下,计量经济学的各种检验,28,Dependent Variable: rsq Sum of Mean Source DF Squares Square F Value PrF Model 12 1.18881 0.09907 0.88 0.5731 Error 87 9.83078 0.11300 Corrected Total 99 11

25、.01958 Root MSE 0.33615 R-Square 0.1079 Dependent Mean 0.20989 Adj R-Sq -0.0152,BPG test results(1),计量经济学的各种检验,29,BPG test results(2),Dependent Variable: rsqadjust Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr F Model 3 10.70415 3.56805 1.43 0.2386 Error 96 239.41116 2.49387 C

26、orrected Total 99 250.11531 Root MSE 1.57920 R-Square 0.0428 Dependent Mean 0.99997 Adj R-Sq 0.0129 Coeff Var 157.92443 ESS=10.70415,计量经济学的各种检验,30,BPG test results(3),*ESS=5.35 F Model 3 0.47160 0.15720 1.43 0.2386 Error 96 10.54798 0.10987 Root MSE 0.33147 R-Square 0.0428,计量经济学的各种检验,31,戈德菲尔德-匡特(Gol

27、dfeld-Quandt)检验,按potexp的值将数据从小到大进行排列. 取前后个35个观测值分别回归.c=30; 回归的主要结果: RSS1=6.39573;RSS2=7.2517;RSS2/RSS1=1.13; 而 ;该比值不显著,不能拒绝同方差的原假设; 去掉的中间观测值的个数要适中,否则会降低功效,一般取观测值个数的1/3.,计量经济学的各种检验,32,补救措施-已知方差的形式,1.广义最小二乘法(GLS); 请参考讲义中的例子; 2.模型变换法,适用于函数型异方差;已知方差的函数形式; 3.加权最小二乘法(WLS);实质上是一种模型变换法;具体参见讲义中的例子; 采用面板数据,增加

28、信息量.,计量经济学的各种检验,33,未知方差的形式,Furnival(1961)提出了一种拟合指数进行不断的修正,最后找出最佳的权重(使得该指数值最小).,计量经济学的各种检验,34,处理盲点-robust regression,1.迭代加权最小二乘法(IRLS),Neter提出了2中加权函数, Huber and Bisquare,但是不易操作.SAS v8中常使用Proc NLIN迭代. 2.非参数回归.Proc Loess. 3.SAS v9.0中有一个过程Proc robustreg Stata 中有一个比较好的命令:rreg直接进行鲁棒回归(robust),采用迭代过程.,计量经济

29、学的各种检验,35,序列相关性(serial correlation),OLSE unbiased,but inefficient and its standard error estimators are invalid; BLUE of the Gauss-Markov Theorem no longer holds. The variance formulas for the least squares estimators are incorrect. AR,MA,or ARMA forms of serial correlation. Take the AR(1) for insta

30、nce:,计量经济学的各种检验,36,Dw 检验需要注意的地方,假定了残差是服从正态分布,而且是同方差;自变量是外生的,如果包含了内生滞后变量,就需要用修正的dh检验(proc autoreg). 只适用于一阶自相关,对高阶或非线性自相关不适用. 样本容量至少为15.,计量经济学的各种检验,37,自相关检验的标准,德宾和沃森根据显著水平,n,k,确定了二个临界值du(上界),dl(下界);然后进行比较; (1)ddu,不拒绝零假设; (3)dl2,负自相关;d=2,无自相关;,计量经济学的各种检验,38,Eg:Ice cream demand(Hildreth,Lu(1960),Cons:co

31、nsumption of ice cream per head(pints); Income:average family income per week($); Price :price of ice cream(per pint); Temp: average temperature(in Fahrenheit); Data:30 four-weekly obs from March 1951 to 11 July 1953;,计量经济学的各种检验,39,残差的散点图,计量经济学的各种检验,40,回归结果,Parameter Estimates Parameter Standard Var

32、iable DF Estimate Error t Value Pr |t| Intercept 1 0.19732 0.27022 0.73 0.4718 price 1 -1.04441 0.83436 -1.25 0.2218 income 1 0.00331 0.00117 2.82 0.0090 temp 1 0.00346 0.00044555 7.76 .0001 Durbin-Watson D 1.021 Number of Observations 30 1st Order Autocorrelation 0.330,计量经济学的各种检验,41,1.DW test,查表可得:

33、在0.05的显著水平上,dl=1.21(N=30,k=3);du=1.65; 直接在回归的语句中加上一个dw选项; Dw=1.021dl=1.21;故有一阶正的自相关;,计量经济学的各种检验,42,2.当回归元严格外生时-AR(1)序列相关的检验,1.yt对做xt1,xt2,xtk回归,得到残差t. 2.进行回归: t 对t-1,采用t检验. 注意:采用t检验时,必须假定: t = t-1+et种的误差项et服从同方差的假定,否则采用稳健的检验统计量(robust ).,计量经济学的各种检验,43,3.当回归元非严格外生时-AR(1)序列相关的检验步骤,当解释变量非严格外生时,会有一个或多个解

34、释变量和ut-1相关,t检验和dw检验失效. 例如含滞后因变量 一种解决办法: dh检验统计量(Durbin,1970). 另一种更一般的方法,无论有多少个非严格外生变量都有效: 1.yt对做xt1,xt2,xtk回归,得到残差t. 2.进行回归: t 对xt1,xt2,xtk ,t-1(包含截距项),采用t检验.(同样可以采取稳健性t检验),计量经济学的各种检验,44,4.高阶的BG(Breusch-Godfrey检验)AR(P)序列相关检验,假设干扰项: 零假设:所有自回归系数为零; 检验步骤:(拉格朗日乘数检验) (1) yt对做xt1,xt2,xtk回归,得到残差t. (2)辅助回归

35、(3),计量经济学的各种检验,45,Breusch-Goldfrey(BG) test,P=1;(一般从低阶开始探测直到10左右,如果没有什么显著的结果,就认为扰动项不存在序列相关). e(t)e(t-1), OLS N*R-square=29*0.15=4.35 ; 因此拒绝零假设,认为有自相关;且显著一阶正相关; Parameter Estimates Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr |t| resid 1 0.38454 0.17029 2.26 0.0319,计量经济学的各种检验,46,补救方法,1.已知

36、rho时,采用广义差分变换. 2.未知rho时,先求相关系数,然后进行广义差分. 求相关系数的方法有: (1)Cochrane-Orcutt迭代方法; (2)Hildreth-Lu. (3)Durbin 2 step.,计量经济学的各种检验,47,对严格外生回归元的序列相关的校正AR(1)模型-可行的广义最小二乘法(FGLS),采用估计的相关系数值 回归方程: FGLS步骤: 1. .yt对做xt1,xt2,xtk回归,得到残差t. 2. t = t-1+et,求出相关系数的估计值 3.对上面的方程进行回归.常见的标准误,t统计量和F统计量都是渐进正确的.采用相关系数估计值的代价是FGLS有限

37、样本性质较差,可能不是无偏的(数据弱相关时),但仍然是一致的. 尽管FGLS不是无偏的,不是BLUE,但是当序列相关的AR(1)模型成立时,比OLS更渐进有效,计量经济学的各种检验,48,区分科克伦-奥克特(Cochrane-Orcutt)和普莱斯-温斯登(Paris-Winsten)估计,Co 估计省略了第一次的观测值,使用的是t = t-1+et 滞后项系数估计值,而Pw估计方法使用了第一次的观测值,见上面的回归式. 大体来说是否使用第一次的估计值并不会带来很大的差别,但是时间序列的样本很小,实际中还是有很大差别. 注意下面的估计结果中没有还原到原方程,还原时要写正确. 高阶序列相关的校正

38、,类似于一阶的修正,广义的差分方法.,计量经济学的各种检验,49,Sas 程序,data ice; input cons income price temp time; cards;.; proc reg data=ice; model cons=price income temp/dw; output out=ice1 p=consp r=resid; run; symbol1 i=none v=dot c=blue h=.5; proc gplot data=ice1; plot resid*time=1/vref=0; run;,/*BG test*/ data tt1; set ice

39、1; resid1=lag(resid); run; proc reg data=tt1; model resid=resid1/noint; run;/*rh0=0.40063,R-square=0.1541*/; data bgt; bg=29*0.1541; chisq=cinv(0.95,1); if bgchisq then t=1;else t=0; put t=; run;/*t=0*/;,计量经济学的各种检验,50,Sas 程序,高阶的BG检验: /*高阶BG test p=3*/; data tt2; set ice1; resid1=lag(resid); resid2=l

40、ag(resid1); resid3=lag(resid2); run; proc reg data=tt2; model resid=resid1 resid2 resid3/noint; run;/*R-square=0.1792*/; data bgt2; bg=(29-3)*0.1792; chisq=cinv(0.95,3); if bgchisq then t=1;else t=0; put t= chisq= bg=; run;/*t=0,无高阶自相关*/;,计量经济学的各种检验,51,Sas 程序,/*yule-walker estimates*/; proc autoreg

41、data=ice; model cons=price income temp/nlag=1 method=yw ; run; * COCHRANE-ORCUTT; proc reg data=ice; model cons=price income temp/dw; output out=tt p=chat r=res; run; proc print data=tt;run; data tt; set tt; relag=Lag(res); run; proc print data=tt;run; proc reg data=tt outest=b1; model res=relag/noi

42、nt; run;/*可算出rh0=0.40063*/;,data pp; set tt; c1=lag(cons); t1=lag(temp); i1=lag(income); p1=lag(price); run; proc print data=pp;run; data pp1; set pp; if _n_=1 then delete; c2=cons-0.40063*c1; t2=temp-0.40063*t1; i2=income-0.40063*i1; p2=price-0.40063*p1; run; proc print data=pp1;run; proc reg data=

43、pp1; MODEL c2=t2 i2 p2/dw; run; /*dw=1.541.65,因此不拒绝平稳性假设*/;,计量经济学的各种检验,52,Sas 程序,上页的科克伦-奥科特迭代只用了1次; 对小样本情况,迭代多次的仍然很难收敛,我做了三次迭代发现仍然不收敛;所以说多次迭代效果和一次的效果相差不大.从理论上来说两者的渐进性一样. 大样本情况只需几步就可收敛;,/*下面采用fgls进行估计校正*/; data fgls; set tt1; if _n_=1 then int=sqrt(1-0.40063*0.40063);else int=1-0.40063; if _n_=1 then

44、 cons1=cons*sqrt(1-0.40063*0.40063);else cons1=cons-0.40063*cons; if _n_=1 then price1=price*sqrt(1-0.40063*0.40063);else price1=price-0.40063*price; if _n_=1 then income1=income*sqrt(1-0.40063*0.40063);else income1=income-0.40063*income; if _n_=1 then temp1=temp*sqrt(1-0.40063*0.40063);else temp1=t

45、emp-0.40063*temp; run; proc reg data=fgls; model cons1=int price1 income1 temp1/noint; run;,计量经济学的各种检验,53,Sas 程序,proc autoreg data=ice; model cons=price income temp/nlag=1 dwprob archtest; run; 估计方法缺省为yule-walker估计;又称为两步完全变换法;已知自回归参数下的GLS估计; 其他方法:在model /method=ML;ULS;ITYW; 分别为极大似然估计,无条件最小二乘估计,以及迭代y

46、ule-walker估计;自回归参数较大时ml方法uls(又称NLS)方法较好. 详见SAS/ETS中的autoreg过程.,计量经济学的各种检验,54,Yuler-walker estimate,The AUTOREG Procedure Dependent Variable cons Ordinary Least Squares Estimates SSE 0.03527284 DFE 26 MSE 0.00136 Root MSE 0.03683 SBC -103.63408 AIC -109.23887 Regress R-Square 0.7190 Total R-Square 0.

47、7190 Durbin-Watson 1.0212 Pr DW 0.9997 NOTE: PrDW is the p-value for testing negative autocorrelation Standard Approx Variable DF Estimate Error t Value Pr |t| Intercept 1 0.1973 0.2702 0.73 0.4718 price 1 -1.0444 0.8344 -1.25 0.2218 income 1 0.003308 0.001171 2.82 0.0090 temp 1 0.003458 0.000446 7.76 .0001 Preliminary MSE 0.00105 Estimates of Autoregressive Parameters Standard Lag Coefficient Error t Value 1 -0.329772 0.188812 -1.75,计量经济学的各种检验,55,EGLS(Cochrane-Orcutt 两步法) results(一次迭代),Dependent Variable: c2(general differenced) Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Squa