艺术生高考数学专题讲义：考点20 正弦定理、余弦定理及解三角形

1、2 2 22222 2 22 2 2b c acos a ；abc2r 2r 2r2 2 22ab考点二十正弦定理、余弦定理及解三角形 知识梳理1正弦定理、余弦定理在abc 中，若角 a，b，c 所对的边分别是 a，b，c，r 为abc 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理 a b c 2bccos a；内容a b c 2r sin a sin b sin cbca 2cacos b；变形c a b 2abcos c(1)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c；2bca b c(2)sin a ，sin b ，sin c ； 2 2 2cos b ；2ac(3)abcsin asi

2、n bsin c；a b c(4)asin bbsin a，bsin ccsin b，asin ccsin a cos c2.三角形面积公式：1s ah(h 表示边 a 上的高) ；abc 21 1 1s absin c bcsin a acsin b；abc 2 2 2abcs ；abc 4r1s (abc) r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 r、r. abc 23三角形解的判断在abc 中，已知 a、b 和 a 时，三角形解的情况如下：a 为锐角图形a 为钝角或直角关系式解的个数absin a一解bsin aab一解22222 2 22 2 22 2abc2 2 222典例剖析

3、题型一 利用正弦定理解三角形1例 1 在abc 中，a3，b5，sin a ，则 sin b_.3答案5915a b bsin a 3 5解析 在abc 中，由正弦定理 ，得 sin b .sin a sin b a 3 9变式训练 在abc 中，若 a60，b45，bc3 2，则 ac_ 答案 2 3ac bc bcsinb解析 在abc 中， ， ac sinb sina sina3 23222 3.2解题要点 如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理题型二 利用余弦定理解题例 2 在abc 中，内角 a，b，c 所对的边分别是 a，b，c.若 c (ab) 6，c ， ab

4、c 的3面积是_.3 3答案2解析 c (ab) 6，c a b 2ab6. c ，c a b 2abcos a b ab.3 3由得ab60，即 ab6.1 1 3 3 3s absin c 6 .2 2 2 29变式训练 在abc 中，若 ab 5，ac5，且 cos c ，则 bc.10答案 4 或 5解析 设 bcx，则由余弦定理 ab ac bc 2ac bccos c 得 525x 25 x910，即 x 9x200，解得 x4 或 x5.解题要点 如果已知两边一角或是已知三边解三角形时，通常用余弦定理题型三 综合利用正余弦定理解题例 3 在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别

5、是 a，b，c.已知(b2a)cos cccos b0. (1)求 c；32 22 2 222222222222222(2)若 c 7，b3a，求abc 的面积解析 (1)由已知及正弦定理得：(sin b2sin a)cos csin ccos b0，sin bcos ccos bsin c2sin acos c，sin(bc)2sin acos c，sin a2sin acos c.1又 sin a0，得 cos c .2又 c(0，)，c .ab ab7，(2)由余弦定理得：c a b 2abcos c，b3a，解得 a1，b3.1 1 3 3 3故abc 的面积 s absin c 13

6、 .2 2 2 4变式训练 在abc 中，内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且 bsin a 3acos b.(1) 求角 b 的大小；(2) 若 b3，sin c2sin a，求 a，c 的值a b解析 (1)由 bsin a 3acos b 及正弦定理 ，得 sin b 3cos b.sin a sin b所以 tan b 3，所以 b .3a c(2)由 sin c2sin a 及 ，得 c2a.sin a sin c由 b3 及余弦定理 b2ac2accos b，得 9ac ac.所以 a 3，c2 3.解题要点 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定

7、理；如果式子中 含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有 可能用到当堂练习1在abc 中，内角 a，b，c 所对的边分别是 a，b，c.若 c 积是_.3 3答案2解析 由 c (ab) 6，可得 a bc 2ab6.(ab)6，c ， abc 的面 3由余弦定理及 c ，可得 a3bcab.所以由得 2ab6ab，即 ab6.abc6 4 6 4 122 2 21 1 3 3 3所以 absin 6 .2 3 2 2 22在abc 中，内角 a、b、c 所对的边分别是 a、b、c，已知 b2，b30，c15，则 a 等于 _.答案 2 2解析 a

8、1803015135，a b a 2由正弦定理 ，得 ，即 a2 2.sin a sin b 2 12 2 3. abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，已知 b2，b ，c ， abc 的面积为_.答案31 7解析 a(bc) ，a b由正弦定理得 ，sina sinb72sinbsina 12则 a 6 2，sinb sin61 1 2s absinc 2( 6 2) 31.abc 2 2 24(2015 重庆理)在abc 中，b120，ab 2，a 的角平分线 ad 3，则 ac_.答案6ab ad 2 3 2解析 由正弦定理得 ，即 ，解得 sinadb ，adb45，s

9、inadb sin b sinadb sin 120 2从而bad15dac，所以 c1801203030，ac2abcos 30 6.5(2015 江苏)在abc 中，已知 ab2，ac3，a60.(1) 求 bc 的长；(2) 求 sin 2c 的值1解析 (1)由余弦定理知，bc ab ac 2ab accos a49223 7，2所以 bc 7.ab bc(2)由正弦定理知， ，sin c sin aab 2sin 60 21所以 sin c sin a .bc 7 7因为 abbc，所以 c 为锐角，22 2 2222 222222 2 222223 2 7则 cos c 1sin

10、c1 .7 721 2 7 4 3因此 sin 2c2sin ccos c2 .7 7 7课后作业一、 填空题1 (2015 广东文)设abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c.若 a2，c2 3，cos a bc，则 b 等于_.答案 232且解析 由余弦定理 a b c 2bccos a，得 4b 122b2 332，即 b 6b80，b4 或 b2，又 ba，b60或 120.若 b60，c90，c a b 2 5.若 b120，c30，ac 5.3已知锐角abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c,23cos acos 2a0，a7，c6，则 b 等于_.答案 5

11、解析 由题意知，23cos a2cos a10，即 cos a125，1又因为abc 为锐角三角形，所以 cos a .51 12在abc 中，由余弦定理知 7 b 6 2b6 ，即 b b130，5 513即 b5 或 b (舍去).54设abc 的内角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，若 bcoscccosbasina， abc 的形状 为_.答案 直角三角形解析 bcoscccosbasina，由正弦定理得 sinbcoscsinccosbsin a，sin(bc)sin a，即 sinasina.2 2 2222 2 22222222又sina0，sina1，a ，2故abc

12、为直角三角形5在某次测量中，在 a 处测得同一平面方向的 b 点的仰角是 50，且到 a 的距离为 2，c 点的俯角 为 70，且到 a 的距离为 3，则 b、c 间的距离为_.答案19解析 bac120，ab2，ac3.bc ab ac 2ab accosbac49223cos12019.bc 19.6abc 的内角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c.若 b2a，a1，b 3，则 c_. 答案 2a b 1 3解析 由正弦定理 得： ，sina sinb sina sinb1 3 3又b2a， ，sina sin2a 2sinacosacosa3，a30， 2b60，c90，c1 (

13、3)2.7在abc 中，abc ，ab 2，bc3，则 sinbac_.4答案3 1010解析 在abc 中，由余弦定理得 ac ab bc 2ab bccosabc292 23225，ac bc 5 3即得 ac 5.由正弦定理 ，即 ，sinabc sinbac 2 sinbac23 10所以 sinbac .108(2014 年江西卷)在abc 中，内角 a，b，c 所对应的边分别是 a，b，c.若 c (ab) 6，c ，3则abc 的面积是_.3 3答案2解析 因为 c(ab) 6，c ，所以由余弦定理得：c a b 2abcos ，即2ab6ab， 3 31 3 3 3ab6，因此

14、abc 的面积为 absinc3 .2 2 29(2015 福建文)在abc 中，ac 3，a45，c75，则 bc_.答案222 24 6abc2 2 26解析 a45，c75，b60.ac bc由正弦定理 .sin b sin aac 3 2bc sin a 2.sin b 3 22110 (2015 重庆文)设abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且 a2，cos c ，3sin a42sin b，则 c_.答案 43 3解析 由 3sin a2sin b，得 3a2b，b a 23，在abc 中，由余弦定理，得 c a2 22b212abcos c2 3 223 16，

15、解得 c4.211 (2015 北京文)在abc 中，a3，b 6，a ，则 b_.3答案4解析 由正弦定理得 sin bbsin aa26sin332 ，因为 a 为钝角，所以 b . 2 4二、解答题12 (2015 天津文)在abc 中，内角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c.已 abc 的面积为 3 15，1bc2，cos a .4(1)求 a 和 sin c 的值；(2)求 cos 2a 的值1解析 (1)在abc 中，由 cos a ，4可得 sin a154.1由 bcsin a3 15，2得 bc24，又由 bc2，解得 b6，c4. 由 a b c 2bccos a，可得 a8.由a c 15 ，得 sin c .sin a sin c 8(2)cos 2a cos 2a cos sin 2asin6 62222 2 222 2 22 23 1 157 3 (2cos a1) 2sin acos a .2 2 1613(2015