抛物线直线与抛物线

1、抛物线直线与抛物线2010 年江苏高考模拟(二 )13设抛物线y2 2x 的焦点为 F ，过点 M(3 ，0)的直线与抛物线相交于A，B 两点，与抛物线的准线相交于C， | BF |2 ，则 BCF 与 ACF 的面积之比S BCF S ACF【解】由题知，SSBCFACFBCxB12xB12133 ，AC12xA，又 | BF | xB2 x ByBxA1222由 A 、 B 、 M 三 点 共 线 有 yMyAyMyB即 02 xA03 ， 故 x A2 ， 故xMx AxMxB3 xA332S BCF2xB1314S ACF2xA1415如皋中学高三月考南通市重点中学2010 届联考23

2、已知抛物线y223x ，过其对称轴上一点P(23,0) 作一直线交抛物线于A, B 两点，若OBA60，求 OB 的斜率【 解 】 设 直 线 AB 方 程 为 tyx2 3， A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 由y223x， 得tyx2 3y2，则，12，故xx12yy120，故 OAOB，又OBA60 ，2 3t y 12 0 y1 y212 x1x2故 OA3OB ，故 x 2y 23( x2y2) ，故123122y243y22，故 y2243 32，故1122y24y224y223 y21kOB36 x2y2 22013 江苏高考压轴卷22抛物线 x 22y 上

3、有两点 A( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，且 OA OB0，OM(0,2)(O 为坐标原点 )求证： AM AB ；若 MA2MB ，求 AB 所在直线方程【解】设 A( x1 ,1 x12 ) ，B(x2,1 x22 ) ，因 OA OB0 ，故 x1 x21 ( x1 x2 )20 ，故 x1 x21，12211414而2222MA ( x1,2x12)，MB( x2 ,2 x22) ，故 x1 (2 x22) x2 (2 x12)(x1 x2 )( 1 x1x2 2) 0，故 AM MB ，即 AM AB；2因 MA 2MB ，故x12 x2 ,1212，解得， x

4、22，故 B(2, 1)或2x1 22(x22)2B( 2, 1) ，故 kAB2 或222苏北四市二模，故 AB 的方程为 y2 x 2 2华罗庚中学2013 冲刺模拟 如图，已知抛物线 M： x24 py( p 0)的准线为 l， N 为 l 上的一个动点，过点 N 作抛物线 M 的两条切线，切点分别为A， B，再分别过 A， B 两点作 l 的垂线，垂足分别为 C， D求证：直线AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q，并写出点 Q 的坐标；若ACN ,BDN , ANB 的面积依次构成等差数列，求此时点N 的坐标【解】因抛物线的准线 l 的方程为 y p，故可设点 N，A， B 的坐标分别

5、为 (m， p)， (x1， y1)， (x2， y2) ，由题设条件知， y1px1 ，即 x122mx1 4 p20 ，同理，x1m 2 px222mx24 p20 ，故 x1 和 x2 是关于 x 的方程 x2 2mx 4p2 0 两个实数根， 故 x1 ， 2 mm24 p2 ，由此可知直线 AB 必经过 y 轴上的一个定点Q(0， p)，即抛物线的焦点； 由 知， x1 x2 2m，故 N 为线段 CD 的中点，取线段AB 的中点 E，因 Q 是抛物线的焦点，故 AQ AC，BQ BD ，故 AC BD AB，故 SANB SANE SBNE 1 ENCN 1 ENDN 1 EN(C

6、N222 DN)，又 ENCN 1 ABCN， SAC N 1 AQCN，SBD N 1 BQ CN，故 1 AQCN， 1 BQCN，122222ABCN 成等差数列，即AQ， BQ， AB 成等差数列，故0x1，x20，x2x1 成等差数列，故2x2 2x12x2 ， x22x1 ， 故 x1 x24 p2 ， x12 p ， x12 p 时 ， x22 2 p ，mx1x22p ；x12 p 时， x2 22 p ， mx1x22N 的坐标222p ，故所求点2为2(p， p）2泰州中学2013 2014 第一学期 2013 8 31y18给定圆 P ： x2y22x及抛物线 S ： y

7、24x ，过圆心 P 作直线，A此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为A、B、C、D ，如果线段 AB、BC、CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求直线的方程B【解】圆 P 的方程为 (x 1)2y21，则其直径长 | CB | 2，圆心为 P(1,0) ，P设的方程为 kyx1，即 xky1，代入抛物线方程得：y24ky4 ，oxCDy1y24k,( y1 y2 )24 y1 y216( k 21) 故设 A(x1， y1)， D( x2， y2)，有4，则 ( y1 y2 ) 2y1 y2|AD |2( y1y2 )2( x1x2 )2( y1y2 ) 2( y12y22) 2(

8、y1y2 ) 21( y1y2 )2 16(k 21)2，故 |AD |4(k 21) 据等差，442|BC| | AB|CD | |AD|BC|，故 |AD|3|BC|6 ，即 4(k21)6 ， k2，即：2方程为2xy20或2xy2 0 盐城市 2010/2011 高三摸底18如图，已知抛物线 C : y22px( p0) 的焦点为 F ， A 是抛物线上横坐标为8 且位于 x 轴上方的点 A 到抛物线准线的距离等于10，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B ，OB 的中点为 M （ O为坐标原点）求抛物线 C 的方程；y过 M 作MNFA ，垂足为 N ，求点 N 的坐标；BA

9、以 M 为圆心， 4 为半径作圆 M ，点 P(m,0) 是 x轴上的一个动点，试讨论直线AP 与圆 M 的位置关系M【解】抛物线的准线为xp，于是 8pN210 ，故 p 4 ，2OFx故抛物线方程为y 28x；点 A 的坐标为 (8，8) ，由题意得B(0,8) ， M (0,4)，又 F ( 2,0)，故 kFA4MNFA ，故 kMN3FA 的方程为3， 又， 则直线第 18题4x164 ( x3 x5 ，故点 N 的坐标为y2)，直线 MN 的方程为 y4，联立方程组，解得34y85(16 ,8) ；55M 的圆心坐标为 (0,4)4当 m 8 时，直线 AP 的方程为 x8 ，此由

10、题意得，圆，半径为时，直线 AP 与圆M相 离 ， 当 m8 时 ， 直 线 AP 的 方 程 为 y8( x m) ， 即 为8m8x(8m) y8m0 ，故圆心 M (0,4) 到直线 AP 的距离 d| 324m |，令 d4 ，解64(m8)2得 m2；令 d4，解得 m2；令 d4 ，解得 m2综上所述， 当 m2 时，直线 AP 与圆 M 相离； 当 m2 时，直线 AP 与圆 M 相切；当 m 2时，直线 AP 与圆 M 相交 盐城市 2009-2010 第三次调研22已知动圆 P 过点 F (0, 1) 且与直线 y1相切44y求点 P 的轨迹 C 的方程；过点 F 作一条直线

11、交轨迹C 于 A,B 两点，轨迹 C 在 A,B 两点处的切线相交于点N ， M 为线段 AB 的中点，求证：MNx 轴F【解】根据抛物线的定义， 可得动圆圆心P 的轨迹 C 的方程为 x2y ，P设 A( x , x2 ) ， B( x , x2 ) ，因 yx2 ，故 y2x ，故 AN，BN 的斜Ox1122第22题率分别为 2x1， 2x2，故 AN 的方程为yx122x1( x x1 ) ， BN 的方程为 yx222x2 ( x x2 ) ，即y2x1x x12xx1x2，故 M ， N 的横坐标相等，于是MN x 轴，两式相减得，2y2x2 x x22考点二轨迹方程启东中学 20

12、11 届高三最后冲刺2011 5 28A ， B 两点，若 Q 在直线 l 上，已知 P 为抛物线y24x的焦点，过 P 的直线 l 与抛物线交与11且满足 | AP | QB | | AQ | PB | ，则点 Q 总在定直线 x1 上试猜测如果P 为椭圆 x2y21 的左259焦点，过 P 的直线 l 与椭圆交与A ， B 两点，若 Q 在直线 l 上，且满足 | AP | QB | | AQ | PB | ，则点 Q 总在定直线上 x254镇江市 2012 2013 高三上学期期末2013122 斜率为 1 的直线与抛物线y22 x 交于不同两点A, B ，求线段 AB 中点 M 的轨迹

13、方程【解】设直线方程： yxm ， A(x1, y1) ， B( x , y) ， M ( x, y) ，将 yx m 代入 y22x 得，228m40,1x1 x2x2(2m 2) x m20 ，故 x1 x222m, ，故 m，xx1x2m222线段 AB 中点 M 的轨迹方程为： y1(x1) 2苏州市 2011 高三调研测试 2011 121在平面直角坐标系xOy 中，动点 P 到定点 F(1， 0)的距离与定直线求动点 P 的轨迹 E 的方程；11m2 ，y x m 1 ，l ： x 1 的距离相等过点 F 作倾斜角为 45的直线 m 交轨迹 E 于点 A， B，求 ABO 的面积【

14、解】设 P(x， y)，由抛物线定义知，点P 的轨迹 E 为抛物线，方程为y2 4x；l ：x 1，代入 y2 4x，消去 x 得，y2 4y4 0设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 | y1y2| 42 ，故 SABO1 | FO | y1y2 | 22 2盐城市 2011 届高三二模22在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 x2y21在第一象限的部分为曲线C，曲线 C 在其上动点4P(x0， y0)，处切线 l 与 x 轴的交点分别为 A、 B，且向量 OMOAOB 求切线 l 的方程；求动点 M 的轨迹方程【解】因 y 2 1 x2 ，故 y2x，故切线 l 的方程为y2 1 x02

15、2 x0( xx0 )1 x21x02，即 y2 x0x2；1 x 2x2100设 A( x1 ,0) ， B(0, y2 ) ， M (x, y) 是轨迹上任一点，在y2x0x2中令 y 01 x021x02x112x0，得 x1；令 x0 ，得 y2，则由OMOAOB ，得，消去 x0 ，x0122yx01x02得动点 M 的轨迹 C2方程为141(x1) x2y2淮安市2011 高三第一次学情调研2011 123已知动圆 P 过点 F (0,1) 且与直线 y1相切44求点 P 的轨迹 C 的方程；过点 F 作一条直线交轨迹C 于 A， B 两点，轨迹 C 在 A ，B 两点处的切线相交

16、于点N ，求点 N 的轨迹方程【解】 设动圆 P 的半径为 r ，由动圆 P 过点 F (0, 1 ) ，故 PF r ，又由动圆 P 与直线 y144相切，若记点P 到直线 y1的距离为 d ，故 PFrd ，故x2( y1 )2| y1|，化简444得， x2y ；易知，直线 AB 的斜率存在，设其方程为ykx1，代入 x2y 得， 4x24kx10 ，设14A(x1， y1) ，B(x2，y2)，则 x1x2k ， x1 x2，易知， x2y 在 A ， B 两点处的切线的斜率分4别为 2x1 ，2x2 ，其在 A ，B 两点处的切线方程分别为yy12 x1 (xx1) ，yy22x2

17、( xx2 ) ，化简得， y2x1x x12 ，y2x2 xx22 ，解得，2xx1x2 ，将其代入或得， yx1x21，14即点 N 的轨迹方程为y4盐城中学 2010 届高三第一次模拟6 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点F、 T、 M 、P 满足 OF1，0 ， OT( 1，t) ，FMMT,PMFT,PT / /OF当 t 变化时，求点P 的轨迹 C 的方程；若过点F 的直线交曲线C 于 A， B 两点，求证：直线TA、 TF 、 TB 的斜率依次成等差数列【解】设点P 的坐标为( x, y )，由 FMMT ，得点 M 是线段 FT 的中点，则M (0, t )，2PM ( x

18、, ty) ， 又F TO T O (F 2 , ) ,t P T( 1，由 P MFT，得2,x tyt(t2xy)0，由 PT / OF ，得 (1x)0(ty)10,故 t y，由消去t ，得2y24x即为所求点 P 的轨迹 C 的方程；证明：设直线TA，TF ， TB 的斜率依次为k1， k2， k3，并记 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 kt，2设直线 AB 方程为xm y 1，y24x， 得y24 my4y1y24m， 故， 故xmy10y1y24y12y22( y1y2 )22 y1 y216m28 ，故 k1k2y1ty2tx11x21( y1t )( y221)

19、 ( y2t )( y121)4 y1 y2 ( y1y2 )2216( y1 y2 )32t444t( y1y2 )t2k ，y12y22y2 y24( y2y2) 16(1)(1)12124 4故 k1， k， k2 成等差数列南通市2011届高三第三次调研2011 52011 届高考仿真押题 江苏（ 11）过抛物线 y2 4x上一点 A(1， 2)作抛物线的切线，分别交x 轴于点 B，交 y轴于点 D ，点 C(异于点 A)在抛物线上，点 E 在线段 AC 上，满足 AE y1EC ；A点 F 在线段 BC 上，满足 BF 1，线段 CD 与 EF 交于点DE2 FC ，且 12BO P

20、xP设 DPPC，求 ；F当点 C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程C(第 23题图)【解】过点A 的切线方程为y x 1切线交 x 轴于点 B( 1， 0)，交 y轴交于点 D (0，1)，则 D 是 AB 的中点故CD1PCDPPC (1 )(CA CB ) 由 DP2PCCD(1)CP 同理由AE1 EC，得CA1CE，BF2 FC，得CB2 (1 ) (1 )CF 将、式代入得CP1(11 )CE(12 )CF 因 E、P、F 三点共线，故2(1)1+1 1+2 1，再由 1，解之得 12(1+ ) 2(1+ )122由得， CP 2PD， D 是 AB 的中点，故点P 为 ABC

21、 的重心故 x1-1+x0， y 2+0+y0解33得 x0 3x， y0 3y 2，代入y02 4x0 得， (3y 2)2 12x由于x01，故 x3所求轨迹方程为(3y 2)2 12x (x3)考点三定值问题2011 届高考仿真押题 江苏（ 10）南通市 2011 届高三第三次调研22 已知抛物线 y24x 的焦点为 F ，直线 l 过点 M (4,0) 若点 F 到直线 l 的距离为 3，求直线 l 的斜率；设 A, B 为抛物线上两点，且AB 不与 x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段 AB 中点的横坐标为定值【解】由已知，x 4 不合题意设直线 l 的方程为

22、y k(x4) ，由已知，抛物线 C 的焦点坐标为 (1,0) ，因点 F 到直线 l 的距离为3 ，故| 3k |2l 的斜率为3 ，解得 k，故直线1k 2222设线段 AB 中点的坐标为N (x0 , y0 ) ， A(x1，y1)，B(x2，y2)，因 AB 不垂直于x 轴，则直线 MN的斜率为y0，直线 AB 的斜率为 4x0 ，直线 AB 的方程为 yy04 x0(x x0 ) ，联立方x04y0y0y y04 x0 ( x x0 ),，消去 x 得， (1x0 ) y2y0 y y02x0 ( x04)0 ，故 y1 y2程y0y24x,44 y0，因Ny1 y22y0y0 ，故

23、 x0 2 即线段 AB 中点的横坐4 x0为 AB 中点，故y0 ，即224 x0标为定值泰州中学 2009 2010 高考模拟徐州市 2013 年考前信息卷222过直线y 1 上的动点A(a， 1)作抛物线y x 的两切线 AP， AQ， P， Q 为切点求证：直线PQ 过定点【解】设过 A 作抛物线yx2 的切线的斜率为k ，则切线的方程为 y1k ( xa)，与方程y x2 联立，消去 y 得， x 2kxak 1 0 因直线与抛物线相切， 故k 24( ak1)0 ，即 k 24ak 4 0 由题意知，此方程两根为k1， k2，故 k1k24 (定值 )设 P(x1 ， y1)， Q

24、(x2，y2)，由 yx2 得， y 2x 故在 P 点处的切线斜率为：y |xx12x1 ，因此，切线方程为： y y12x1 ( xx1 ) 由 y1x12 ，化简得， 2 x1 xy y1 0同理，在点Q 处 的 切 线 方 程 为 2x2 xyy20 因 两 切 线 的 交 点 为 A(a, 1)， 故2x1ay110 ，2x2 ay2 1 0 故 P，Q 两点在直线2ax y10 上，即直线 PQ 的方程为：2axy10 当x 0 时， y 1，故直线 PQ 经过定点 (0,1) 2010 南京二模1（扬州中学2013届高三3 月月考） 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C 的顶点在原

25、点，焦点F的坐标为 (1， 0)求抛物线C 的标准方程；设 M 、N 是抛物线C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为与抛物线的交点分别为点A、 B，求证：动直线AB 恒过一个定点4 ，直线MO 、NO【解】设抛物线C 的标准方程为 y22 px( p0)，则 p1，则 p2 ，故抛物线 C 的标准2方程为 y24x ；法一：抛物线 C 的准线方程为 x1，设M( 1,)y1，N(1, y2 ) ，其中 y1 y24，则直线 MOyy1x ，将 yy1 x 于 y24x44) ，同理的方程为：联立方程组，解得A 点的坐标为 ( 2,y1y1y4x444y12可得 B 点的坐标为，则直线 AB 的方程为：y1，整理得，( y22 ,y2 )4444y2y1y22y12( y1y2 ) y4 x40 由y0,x1,4x40，解得y，故动直线 AB 恒过定点 (1， 0)0法二：抛物线 C 的准线方程为 x1，设 M(1, y1) ， N (1, y2 ) ，其中 y1 y24 ，取 y1 2 ，则 y22，可得 M (1,2)， N(1, 2) 此时直线 MO 的方程为： y2x ，