导数证明不等式的问题(练习答案

1、“导数证明不等式问题”练习题答案1. 设 L 为曲线 C: yln x 在点 (1,0)处的切线 .x(I) 求 L的方程;(II) 证明 : 除切点 (1,0) 之外 , 曲线 C在直线 L 的下方 .解 : (I) 设 f ( x)ln x1 ln x. 所以 f(1) 1. 所以 L 的方程为 yx1.x, 则 f ( x)x2(II)令 g( x)x1f ( x) , 则除切点之外, 曲线C 在直线 l 的下方等价于g( x)0(x0, x1).g( x) 满足 g (1)0 , 且 g (x)1x2 1ln xf ( x).x2当 0x1时 , x210, ln x0 , 所以 g

2、( x)0, 故 g (x) 单调递减 ;当 x1 时 ,x210, ln x 0 ,所以 g (x) 0, 故 g (x) 单调递增 .所以 , g( x)g (1)0 ( x0, x1).所以除切点之外 , 曲线 C在直线 L 的下方 .又解 : g( x)0 即 x1ln x0 变形为 x2xln x 0, 记 h(x)x2xln x , 则xh (x) 2x 1 1 2x2x 1 (2 x 1)(x 1) ,xxx所以当 0x1时 , h ( x)0 , h( x) 在(0,1)上单调递减 ;当 x1 时 ,h (x)0 ,h(x) 在(1,+ ) 上单调递增 .所以 h( x)h(1

3、)0 .)2. ) 讨论函数 f (x)x2 e x 的单调性，并证明当 x0 时，(x 2)exx 2 0 ；x2( ) 证明：当 a0,1)时，函数 g（ x）= exaxa ( x0) 有最小值 . 设 g ( x) 的最x2小值为 h(a) ，求函数 h(a) 的值域解证明： f xx2 exx2fx ex x 242x2ex2x2x 2x 2当 x， 22 ,时， f x0 f x在， 2和 2 ,上单调递增 x 0 时， x 2 exf 0 = 1， x2 exx2 0x2 gexa x22 x exax axx4xxex2exax2ax4x2x2 ex ax 2x 3a 0，1由

4、(1)知，当 x0 时， fxx2ex 的值域为1，只有一解x2使得 t2eta ， t0 ，2t2当 x(0, t) 时 g ( x)0 ， g ( x) 单调减；当 x(t,) 时 g ( x)0 ， g (x) 单调增tat 1ett1t2etth aet2et 2t 2t2ettt 1记 kt，在 t0 , 2时， kte0 ， k t单调递增t2t22 hakt1 ， e2243. 设函数 fx1e x （）证明：当 x -1时， f xx；x1（）设当 x0 时，x，求 a 的取值范围f xax1解：（ 1）当x时，x当且仅当ex1 x.-1f ( x)x 1令 g( x) ex

5、1 x,则 g, (x)=ex 1.当x时，g,( x)，g( x)在0,+）是增函数；00当x时，g,( x)，g( x)在0,+）是减函数 .00g( x)在x处取到最小值，g( x)g(0)=0，即 x1 x.0e当x时，f ( x)x-1x.1（2）由题x，此时f (x)0.0当a时，若x1,则x0, f ( x)x0aax1;ax 1x当a时，令h(x)axf (x)f ( x)x,则f ( x)当且仅当h( x)0.0ax1h, ( x)af (x)axf ,(x)f ，(x)1af (x)axf ( x)axf ( x)1 当0a1 ,由（ 1）知 x( x1) f (x),h,

6、 ( x)2af ( x)axf ( x)a(x1) f ( x) f (x)(2a1) f ( x)0.h( x)在 0,+) 是减函数， h(x)h(0)=0，即 f ( x)x.ax12当a1 时,由上知， xf ( x),h, ( x)2af (x)axf ( x)axf (x)af (x)axf ( x)af (x)f ( x) (2a1 ax) f ( x)当0x2a1时， h, ( x)0,h( x) h(0)=0, 即f ( x)x.aax1综上， 的取值范围是 0, 1 .a24. 已知函数 f (x)( x1)ln xx1 .（）若 xf (x)x2ax1，求 a 的取值范

7、围；（）证明： ( x1) f ( x)0 .，x1ln x 1lnx1解：（ 1） f ( x)=x( xx，xlnx由，x2得，axf ( x)1.xf ( x)ax 1令g(x)ln xx,则,(x)=1，可得g( x) maxg-1x0).ln xx.g(1)1,a即 的取值范围是 -1,+).1,a(2) 由于（ 1）可知g( x)ln x x，ln xx+10.-1当时，f ( x) ( x 1)ln x x 1 xlnxlnx x10;0 x 1当x时，1)ln xx1 xln xln xx1ln x111(xx(ln1) 0.xx综上，（x）0.1 f (x)5. 设函数 f (x) = x311， x0,1 .x证明：（I ） f (x)1xx2 ；（ II） 3f ( x)3 .42441x解： ( ) 因为 1 x x2x31 x ,1x1x由于 x0,1 ，有 1x41, 即 1xx2x31，1x1x1x所以 f x1 x x2.( ) 由 0x1得 x