积分变换第3讲课件

1、积分变换第3讲,1,积分变换第3讲,积分变换第3讲,2,傅氏变换的性质,积分变换第3讲,3,这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.,积分变换第3讲,4,线性性质 设F1(w)=F f1(t), F2(w)=F f2(t), a,b是常数, 则 F af1(t)+bf2(t)=aF1(w)+bF2(w) (1.13) 这个性质的作用是很显然的, 它表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合. 它的证明只需根据定义就可推出.同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线

2、性性质, 即 F -1aF1(w)+bF2(w)=af1(t)+bf2(t) (1.14),积分变换第3讲,5,2. 位移性质,证傅氏变换由的定义, 可知,积分变换第3讲,6,微分性质 如果f(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则F f (t)=jwF f(t).(1.17)证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得,推论 F f(n)(t)=(jw)nF f(t).(1.18),积分变换第3讲,7,同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设F f(t)=F(w), 则,积分变换第3讲,8,本书中的积分的记号有不严格的写法, 即,积分变换第3讲,

3、9,4. 积分性质,积分变换第3讲,10,例2 求微分积分方程,的解, 其中t+, a,b,c均为常数. 根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记 F x(t)=X(w), F h(t)=H(w). 在方程两边取傅氏变换, 可得,积分变换第3讲,11,运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及积分性质, 可以把线性常系数微分方程转化为代数方程, 通过解代数方程与求傅氏逆变换, 就可以得到此微分方程的解. 另外, 傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一.,积分变换第3讲,12,此外还有,积分变换第3讲,13,性质小结: 若F f(t)=F(w), F g(t)=G(w),积分变换第3讲,14,乘积定

4、理 若F(w)=F f(t), G(w)=F g(t), 则,积分变换第3讲,15,能量积分 若F(w)=F f(t), 则有,这一等式又称为帕塞瓦尔(Parserval)等式 证 在(1.20)式中, 令f(t)=g(t), 则,积分变换第3讲,16,积分变换第3讲,17,实际上, 只要记住下面四个傅里叶变换, 则所有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从傅里叶变换的性质就可导出.,积分变换第3讲,18,注意第一类间断点处的求导数, 首先有,d(t),u(t),t,t,O,O,积分变换第3讲,19,a,假设函数f(t)在t0处有一个上升了a的第一类间断点, 则f(t)可以分为在此处连续的一个函

5、数f1(t)加上a u(t-t0),a,=,+,t,t0,t0,t0,t,t,f(t),f1(t),a u(t-t0),积分变换第3讲,20,例 求方波的傅氏变换,t/2,-t/2,E,t,f(t),t/2,-t/2,E,t,f (t),-E,积分变换第3讲,21,推导过程为,积分变换第3讲,22,习题二 14题 求如图所示的频谱函数,t/2,-t/2,A,O,t,f(t),t/2,-t/2,a,O,t,f (t),t/2,-t/2,a,O,t,f (t),a,-2a,-a,积分变换第3讲,23,因此有,积分变换第3讲,24,习题二,2.(1),t,O,f(t),1,-1,t,O,f (t),

6、1,-1,2,-2,积分变换第3讲,25,f(t)的二阶导和三阶导如下图:,t,O,f (t),1,-1,2,-2,t,O,f (t),1,-1,2,-2,积分变换第3讲,26,因此有,积分变换第3讲,27,习题二 2.(2),积分变换第3讲,28,积分变换第3讲,29,积分变换第3讲,30,习题二 2.(3),-1,-1,1,1,f(t),t,O,-1,2,1,f (t),t,O,-1,-1,积分变换第3讲,31,因此,积分变换第3讲,32,习题二 3.(1) f(t)=e-b|t| (b0)令g(t)=u(t)e-bt, 则f(t)=g(t)+g(-t),t,g(t),t,g(-t),t,f(t),O,O,O,积分变换第3讲,33,因此有,积分变换第3讲,34,习题二 3.(2) f(t)=e-|t|cos t,积分变换第3讲,35,积分变换第3讲,36,习题二 3.(3),积分变换第3讲,37,积分变换第3讲,38,习题二 4题,积分变换第3讲,39,习题二 5. F(w)=pd(w+w0)+d(w-w0),积分变换第3讲,40,习题二 6 f(t)=sgn t,1,-1,t,f(t),2,t,f (t),O,O,积分变换第3讲,41,