(2021年整理)《实变函数》试卷三与参考答案

1、实变函数试卷三与参考答案实变函数试卷三与参考答案 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（实变函数试卷三与参考答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为实变函数试卷三与参考答案的全部内容。（第12页，共12页）考生答题不得超此线 考生答题不得超此线 学院第 学年度第 学期实变函数试卷三题号一二三四五总分得

2、分专业_班级_ 姓名 学号 注 意 事 项1、本试卷共6页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。得 分 一、单项选择题（3分5=15分）1、设，则（ ）（a) （b） (c) （d)2、设是上有理点全体，则下列各式不成立的是（ ）（a) （b） （c） =0，1 (d) 3、下列说法不正确的是（ ）(a） 若，则 (b） 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 (c) 可测集的任何子集都可测 （d)凡开集、闭集皆可测4、设是一列可测集，,且,则有（ ）（a) （b) （c）；(d）以上都不对5、设f（x)是上绝对连续函数,则下面不成立的是( ）（a) 在上的

3、一致连续函数 (b) 在上处处可导（c）在上l可积 (d） 是有界变差函数得 分二. 填空题(3分5=15分）1、设集合，则_2、设为cantor集,则 ，_，=_。3、设是中点集,如果对任一点集都有_，则称是可测的4、叶果洛夫定理： _ 5、设在上可测，则在上可积的 条件是|在上可积.（填“充分，“必要”,“充要”）得 分三、下列命题是否成立？若成立,则证明之；若不成立,则举反例说明.(5分4=20分)1、任意多个开集之交集仍为开集。2、若，则一定是可数集。3、收敛的函数列必依测度收敛。 4、连续函数一定是有界变差函数。得 分四、解答题（8分2=16分)。1、（8分)设 ,则在上是否可积，是

4、否可积,若可积，求出积分值。2、求极限得 分五、证明题（6分4+10=34分）.1、（6分）试证 2、（6分）设是上的实值连续函数，则对任意常数 c， 是一开集。考 生 答 题 不 得 超 过 此 线3、（6分）设是可测集的非负可积函数，是的可测函数,且,则也是上的可积函数。4、（6分）设在上积分确定,且于，则在上也积分确定,且得 分阅卷人复查人5、（10分）设在上,而成立,则有考生答题不得超此线 试卷三(参考答案及评分标准） 一、一 单项选择题（3分5=15分）1、设，则( b ）(a） (b） (c) （d）2、设是上有理点全体，则下列各式不成立的是( d ）（a） (b) （c） =0，

5、1 (d) 3、下列说法不正确的是（ c ）（a) 若,则 （b） 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 （c） 可测集的任何子集都可测 (d）凡开集、闭集皆可测4、设是一列可测集，且，则有（ a ）（a） （b） （c）;（d）以上都不对5、设f(x）是上绝对连续函数，则下面不成立的是（ b ）(a） 在上的一致连续函数 (b) 在上处处可导（c)在上l可积 （d） 是有界变差函数 二。 二 填空题(3分5=15分)1、设集合，则_2、设为cantor集,则 ，_0_,=_。3、设是中点集，如果对任一点集都有_，则称是可测的4、叶果洛夫定理：设是上一列收敛于一个有限的函数 的可测函数,则

6、对任意存在子集，使在上一致收敛且.5、设在上可测，则在上可积的 充要 条件是|在上可积。（填“充分”，“必要”，“充要”）三、下列命题是否成立?若成立，则证明之；若不成立,则举反例说明.（5分4=20分)1、任意多个开集之交集仍为开集。解：不成立 2分反例：设gn=( )，n=1，2，l, 每个gn为开集 但 不是开集. 5分2、若，则一定是可数集。解：不成立 2分反例:设是集，则， 但c ， 故其为不可数集 。5分3、收敛的函数列必依测度收敛。解：不成立 2分例如:取作函数列:显然当。但当时，且这说明不测度收敛到1 5分4、连续函数一定是有界变差函数。解：不成立 2分例如：显然是的连续函数。

7、如果对取分划，则容易证明，从而得到 5分四、解答题（8分2=16分）.1、(8分)设 ,则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。解：在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集 .3分因为是有界可测函数，在上是可积的 6分因为与相等，进一步， 8分2、求极限 解：记则在0，1上连续，因而在0,1上（r）可积和(l)可积. .2分又 4分 。6分 且在上非负可积，故由lebesgue控制收敛定理得 、。8分五、证明题(6分4+10=34分）.1、(6分)试证证明：记中有理数全体，令显然 5分所以 6分2、（6分)设f（x）是上的实值连续函数，则对任意常数 c， 是一开集.证明： .1分因f（x）连续，故. 。4分即.所以是e的内点。 由的任意性，e的每一个点都是内点,从而e为开集。 6分考 生 答 题 不 得 超 过 此 线3、(6分）设是可测集的非负可积函数，是的可测函数，且,则也是上的可积函数。 证明:， 1分 是可测集的非负可积函数 是上的可积函数。 . 4分 同理，也是上的可积函数. 是上的可积函数。 6